第 2 课时 函数的最值课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．1．函数的最大值、最小值最值最大值 最小值设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：(3) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．条件(1) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．(4) 存在 x 0∈ I ，使得 __________ ．(2) 存在 x 0∈ I ，使得 __________.结论 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值2.函数最值与单一性的联系(1) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为________．(2)若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ，b]上单一递减， 则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．一、选择题1．若函数 f(x) ＝x 2＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A ． a ≤－ 3B ．a ≥－ 3C ． a ≤ 5D ．a ≥32．函数 y ＝ x ＋ 2x － 1()A ．有最小值 1，无最大值21，无最小值B ．有最大值 2C ．有最小值 1，最大值 22D ．无最大值，也无最小值3．已知函数 y＝x2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 () A． [1，＋∞ ) B ． [0,2]C． ( －∞， 2]D． [1,2]4．假如函数 f(x) ＝ x2＋ bx＋ c对随意的实数x，都有 f(1＋ x)＝ f( － x)，那么 ()A． f(－ 2)<f(0)<f(2)B． f(0)<f( － 2)<f(2)C． f(2)<f(0)<f( －2)D． f(0)<f(2)<f( －2)5．函数 y＝ |x－ 3|－ |x＋ 1|的 ()A．最小值是 0，最大值是 4B．最小值是－ 4，最大值是 0C．最小值是－ 4，最大值是 4D．没有最大值也没有最小值1的最大值是 ()6．函数 f(x) ＝1－x(1－x)45A. 5B. 434C.4D. 3题号 1 2 3 4 56答案二、填空题2的值域是 ________．7．函数 y＝|x|＋18．函数 y＝－ x2＋ 6x＋ 9 在区间 [a，b](a<b<3) 有最大值9，最小值－ 7，则 a＝ ________，b＝ __________.9．若 y＝－2， x∈ [－ 4，－ 1]，则函数y 的最大值为 ________．x三、解答题10．已知函数f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2.(1)求f(x) 在区间[1， 3]上的最大值和最小值；2(2)若g(x) ＝ f(x) －mx在 [2,4] 上是单一函数，求m 的取值范围．11．若二次函数知足f(x ＋1)－ f(x) ＝ 2x 且 f(0) ＝1.(1)求 f(x) 的分析式；(2)若在区间 [ －1,1] 上不等式f(x)>2x ＋m 恒建立，务实数m 的取值范围．能力提高12．已知函数 f(x) ＝ 3－ 2|x|， g(x) ＝ x2－ 2x，结构函数 F(x)，定义以下：当f(x) ≥g(x)时，F(x) ＝ g(x) ；当 f(x)<g(x) 时， F(x) ＝f(x) ，那么 F(x)()A．有最大值 3，最小值－ 1B．有最大值 3，无最小值C．有最大值 7－ 2 7，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数 f(x) ＝ ax2－ |x|＋ 2a－ 1，此中 a≥0， a∈R.(1)若 a＝ 1，作函数 f(x) 的图象；(2)设 f(x) 在区间 [1,2] 上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式．1．函数的最大(小 )值(1)定义中 M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x) ＝－ x2(x∈ R)的最大值为 0，有 f(0)＝ 0，注意对“存在”的理解．(2)关于定义域内随意元素，都有 f(x) ≤M或 f(x) ≥M建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y＝ f(x) 的最值，可简记以下：最大值： y max或 f(x) max；最小值： y min或 f(x) min.2．函数的最值与值域、单一性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有1最值，如函数y＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x) 在闭区间 [a， b]上单一，则f(x) 的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b) ，最小值是f(b) 或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝ f(x) 的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小 )值不必定在极点处获得．第 2 课时函数的最大 (小)值知识梳理1． (1)f(x) ≤M (2)f(x 0)＝ M (3)f(x)≥M (4)f(x 0)＝ M2． (1)f(b) f(a)(2)f(a) f(b)作业设计1．A [ 由二次函数的性质，可知 4≤－ (a －1) ，解得 a ≤－ 3.]2．A [ ∵ y ＝ x ＋2x － 1在定义域 [1，＋ ∞)上是增函数，21 1 1∴ y ≥f( )＝ ，即函数最小值为，无最大值，选 A.]2223．D[ 由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3＝ (x － 1)2＋ 2 知，当 x ＝1 时， y 的最小值为 2，当 y ＝ 3 时， x 2－2x ＋ 3＝ 3，解得 x ＝0 或 x ＝ 2.由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3 的图象知，当 m ∈ [1,2] 时，能保证 y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [ 依题意，由f(1＋ x)＝ f( － x)知，二次函数的对称轴为x ＝ 1，由于 f(x) ＝ x 2＋ bx2＋ c 张口向上，且 f(0) ＝ f(1)， f(－ 2)＝ f(3) ，由函数 f(x) 的图象可知， [1，＋ ∞)为 f(x) 的2 增区间，因此 f(1)<f(2)<f(3) ，即 f(0)<f(2)<f( － 2)． ]－4(x ≥3)5． C [y ＝ |x － 3|－ |x ＋ 1|＝ － 2x ＋2(－ 1≤x<3) .4 (x< －1)由于 [－1,3)是函数 y ＝－ 2x ＋ 2 的减区间，因此－ 4<y ≤4，综上可知 C 正确． ]6．D [f(x) ＝ 1 41 23 ≤ .]＋ 3(x － ) 42 7． (0,2]分析 察看可知 y>0 ，当 |x|取最小值时， y 有最大值，因此当 x ＝ 0 时， y 的最大值为 2，即 0<y ≤2，故函数 y 的值域为 (0,2] ．8．－2 0分析y ＝－ (x －3) 2＋ 18，∵ a<b<3，∴函数 y 在区间 [a ， b]上单一递加，即－b 2＋ 6b ＋ 9＝9，得 b ＝0(b ＝ 6 不合题意，舍去 )2－ a ＋ 6a ＋9＝－ 7，得 a ＝－ 2(a ＝8 不合题意，舍去 )．分析函数 y ＝－ 2x 在 [ － 4，－ 1]上是单一递加函数，2故 ymax＝－－1＝2.10．解(1)∵ f(x) ＝ x 2 －2x ＋ 2＝ (x －1) 2＋1， x ∈ [1， 3]，2∴ f(x) 的最小值是 f(1) ＝ 1，又 f(1)＝ 54， f(3) ＝ 5，2因此， f(x) 的最大值是 f(3)＝ 5，即 f(x) 在区间 [ 1，3] 上的最大值是 5，最小值是 1.2 (2)∵ g(x) ＝ f(x) － mx ＝ x 2－ (m ＋ 2)x ＋ 2，∴ m ＋ 2m ＋ 2≥4，即 m ≤2或 m ≥ 6.2 ≤2或2 故 m 的取值范围是 (－ ∞， 2]∪ [6，＋ ∞)．11．解(1) 设 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 1，∴ c ＝ 1，∴ f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋1.∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ，2a ＝ 2 ，∴a ＝ 1 2－ x ＋ 1.∴，∴ f(x) ＝ x a ＋ b ＝ 0b ＝－ 1(2)由题意： x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [ － 1,1] 上恒建立，即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－1,1] 上恒建立．令 g(x) ＝ x 2－ 3x ＋ 1－ m ＝ (x －3)2－ 5－m ， 2 4其对称轴为 x ＝32，∴ g(x) 在区间 [－ 1,1]上是减函数，∴ g(x) min ＝ g(1)＝ 1－ 3＋ 1－ m>0，∴ m<－1.12．C [绘图获得 F(x) 的图象：射线 AC 、抛物线 AB 及射线 BD 三段， y ＝ 2x ＋3， 联立方程组y ＝ x 2－ 2x ，得 x A ＝ 2－ 7，代入得 F(x) 的最大值为 7－ 2 7，由图可得 F(x) 无最小值，进而选C.]13．解 (1)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2x 2＋x ＋ 1， x<0－ |x|＋ 1＝2－x ＋ 1，.x x ≥0作图 (如右所示 )．(2)当 x ∈ [1,2] 时， f(x) ＝ ax 2－ x ＋2a － 1.若 a ＝0，则 f(x) ＝－ x － 1 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝－ 3.若 a>0，则 f(x) ＝ a(x － 2a 1)2＋ 2a － 4a 1－ 1，f(x) 图象的对称轴是直线x ＝ 1 .2a 1 1时， f(x) 在区间 [1,2] 上是增函数， 当 0<<1 ，即 a>2a2g(a)＝ f(1) ＝3a － 2.当 1≤111时，≤2，即 ≤ a ≤2a42g(a)＝ f( 1) ＝ 2a － 1－ 1，2a 4a当 2a 1>2，即 0<a<14时， f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝6a － 3.6a－ 3，1 0≤ a<4综上可得 g(a)＝2a－1－1，11≤ a≤4a4213a－ 2， a>2。
