函数周期性分类解析
一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立)x?f(f(x?T)则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论
??????xyf?x?faxf?是以1、为周期的周期函数；，则aT?2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
??????xf是以，则为周期的周期函数3、若函数a?f?fxx?a a?2T1 (a>0),则f(x)=为周期函数且2a是它的一个周期。4、y=f(x)满足f(x+a)??xf1(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ???xf期。1?f(x)??xf是以为周期的周期函数，则6、.
?a)f(x?a2T?1?f(x)1?f(x)??xf是以为周期的周期函数.，则7、f(x?a)??aT?4 )x(1?f)x1?f(8f(x)a>0),则为周期函数且4a是它的、若函数y=f(x)满足
f(x+a)=
(x∈R，)f(x1?一个周期。
9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。
????????b,ya,yaB?bx?RA都对称，则、10、函数的图象关于两点)y?f(x00??ab2?为周期的周期函数；函数是以)f(x??????b?a,yax?RA都对称，则函、函数11的图象关于和直线bx?)y?fx(0??ab4?为周期的周期函数；是以数)(fx a是它2对称，则y=f(x)的图像关于直线x=af(x)为周期函数且若偶函数12、
的一个周期。
a是它的一为周期函数且4对称，若奇函数13、y=f(x)的图像关于直线x=a则f(x)个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
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T)=0. f(0),TRx f(x+T)=f(x)y=f(x)15、若奇函数满足(∈，≠则22 / 13
函数的周期性练习题高一
一．选择题（共15小题）
1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x ∈x+，则f（log20））（x=2=（）（﹣1，0）时，f2．﹣1 D CB．﹣A．1 ．
]﹣3，﹣2，且当，都有．设偶函数f（x）对任意x∈Rf（x+3）=x﹣∈[2D．﹣A．10 BC．．﹣10
（时，f（x）=4x，则f107.5）=（）
f]时且当3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣x∈[﹣3，﹣2．CD．，则f（119.5）=（）A10 B．﹣10
．﹣（x）=4x4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
x+logx）=2，2]时，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，5．已
知f（x2．C．2
2 BD．5
f（2015）=（）A．﹣则
6．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣
）（2015）=（2，1]上的图象，则f（2014）+f ．02 C．1 DA．3 B．上的
偶函数，并满足：Rx）是定义在7．已知f（=）（5.5=x，则fx≤3，f（x）2，当≤2.5
．C．﹣2.5
D）A．5.5 B．﹣5.5
（
x，则）=3+0，1）时，f（xxx）满足f（x+2）=﹣f（），当x∈（8．奇函数f（
2
．．2
B ．﹣CD （）A．﹣）f（log54=3
）1f（）=0，且周期是4，若+f上的函数f（x）满足f（﹣x）（x9．定义在R 3．5 C．0 D（）A．5 B．﹣2015=5，则f（），则=﹣5，若x+2）=f（1））
对于任意实数10．f（xx满足条件f（C．D．B ）=（f（f5））（A．﹣5
5
．
）xf（时，，且0≤x≤55=fff11．已知定义在R上的函数（x）满足（x+5）（x﹣）2
D．0 B．﹣（）（，则﹣=4xf1003=）A1 ．C1 ．3 / 13
2﹣x=x，时f（x））是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜212．函数f （x则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log（x+1），则f（2014）+f2（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
2=|2xx）3）时，f（上且周期为3的函数，当x∈[0，14．已知f（x）是定义在R=在[﹣3，4]解的个数（）A．4x+1|﹣，则方程f（x）4B．8C．9 D．10
2，）=xf（x[﹣1，1]上的解析式是215．已知最小正周期为的函数f（x）在区间则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|logx|的图象的交点的个数5是（）A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共10小题）
=，且对任意的x都有），满足f（1）（16．已知定义在R上的函数fx=，则f（2014）=f（x+3）．
17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x ∈[0，x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log|x|的零点个数为）1]时，f（x=2．5
=，则x）x）满足f（f18．定义在R上的函数（．f（2013）的值为
=x）0）对称，且满足f （．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，19）（2010+…+f （2）+f （3）1）=1，f （0）=﹣2，则f （）+f ﹣f （f x+），（1 ．的
值为=
）时，4（0x，）满足：，当x∈（20．定义在R上的函数f2﹣1，则f（2011）=）f（x=x．
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=2，当﹣1≤x＜3时，）f（x）=x．则﹣（x+2 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2012）=．
22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（8）﹣f（14）=．
23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）
=，则实数a的取值范围是．
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24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则
=．
+2）?（f﹣14）=（f．若25．（fx+2）=，则三．解答题（共5小题）
26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f（x+2）=﹣f（x），2（1）求证：f（x）是周期函数；（时，fx）=2x﹣x 当x∈[0，2]（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．
x﹣1=3．]时，f（x）∈27．函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x[0，1（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；
）求的值．（2
28．已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），
x当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣1．
（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；
（2）求f（24）的值．
29．已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为3，且x∈[0，1]时，f（x）2﹣x+2，求f=x（﹣2014）的值．
30．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，
xx﹣．+2（fx）=2 ，x 且当∈（01）时，（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性，并给予证明．
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函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x﹣2）=f（x+2）
∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log32＞log20＞log16 222∴4＜log20＜5
2）log ﹣f﹣f（﹣log（）=f20）（log20﹣4）=f（log=）=∴f（log22222x+，）=2 ，0）时，f（xx又∵∈（﹣1）=1 故f（log20）=﹣1 ∴f
（log故选C 22﹣=f﹣=故有（fx+6）【解答】解：因为（fx+3）==﹣，2．（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．
﹣==5.5）=﹣﹣=f（107.5）=f（6×17+5.5）（f B
故选=．
﹣=x）R都有f（x3．，【解答】解：∵函数f（）对任意x∈﹣，= f（x+3）∴则f（x+6）=f（x），
即函数f（x）的周期为6，
﹣，==﹣﹣0.5）=f（﹣0.5）（∴f（119.5）=f20×6 ，（又∵偶函数fx），]时，
有f（x）=4x当x∈[﹣3，﹣2=．故选：﹣∴f（119.5）=C﹣=﹣=．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，
因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，
∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，
f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，
∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；
5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，
∴f（2015）=f（﹣1），
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又f（x）是定义在R上的奇函数，
1﹣log1=﹣2﹣2，故选：A．=所以f（2015）=﹣f（1）26．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，
∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，
∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，
故选：A
==f【解答】解：∴∵，．7（x）
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4
∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）
∵f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）
∵当2≤x≤3，f（x）=x
∴f（2.5）=2.5
∴f（5.5）=2.5 故选D
8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的奇函数，
又∵
，
，∴，∵
∴f（log54）=﹣2，故选：A．39．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0
则：f（﹣x）=﹣f（x）
所以函数是奇函数
由于函数周期是4，
所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B
= x+2）．【解答】解：∵f（10x））==f（∴f（x+2+2∴f（x）是以4为周期的函数
∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5
f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）
﹣=1f又∵（﹣）==
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﹣））=∴f（f（5
B 故选f解：∵11．【解答】，﹣5）x+5）=f（x（，）=f（x∴f（x+10）的周期函数，）是周期为10（则函数fx ．故选：C，（1000+3）=f（3）=4﹣3=1则f（1003）=f2，或x=1﹣x=0解得＜2时，f（x）=xx=0．12【解答】解：当0≤x 的周期函数，上最小正周期为2（x）是R因为f 6，[0，6）上解的个数为故
f（x）=0在区间7，6]上解的个数为[0f（x）=0在区间，f又因为（6）=f（0）=0，故B．轴的交点的个数为7，故选：）的图象在区间[0，6]上与x即函数y=f （x ，）=log1=0（2016）=f（0）（x+2=f（x），∴f（2014）=f13．【解答】解：∵f2．﹣1f（1）=2015（﹣）=﹣f（2015）=﹣f∵（x）为R上的奇函数，∴f A．1+0=﹣1．故选=0（﹣2015）+f（2016）﹣+f∴f（2014）3的函数，x）是定义在R 上且周期为14．【解答】解：由题意知，f（2，﹣4x+1|）3）时，f（x=|2x∈当
x[0，）与的图象如下图：y=在同一坐标系中画出函数f（x
，10上有个交点（互不相同）3，4]由图象可知：函数y=f（x）与在区间y=[﹣．10个，故选：D4在[﹣3，]）所以方程f（x解的个数是= 2）的最小正周期为，【解答】解：∵函数f（x15．，（x）=ff∴（x+2）2x| ）=|logxy=g）（∵fx=x，（5∴
作图如下：8 / 13
∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|logx|的图象的交点的个数5为5，故选：C
二．填空题（共10小题）
=，x+3）【解答】解：∵对任意的x都有f（16．x）），==f（∴f （x+6∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，
∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）
==﹣5 =f（1+3）故答案为：﹣5
x﹣1，函数y=f（=2x）的周期为2，）[017【解答】解：当x∈，1]时，f（x x﹣﹣1，可作出函数的图象；图象关于）=2y轴对称的偶函数x﹣x∈[1，0]时，f （y=log|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，5当x＞5时，y=log|x|＞1，此时函数图象无交点，5如图：