四川省新津中学2021届高三数学上学期开学考试试题文【含答案】

2021年四川省新津中学高三一诊模拟理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,3)C ．(0,3)D ．(0,4)2．若复数3(R,12a i a i i +∈-为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．6-B ．2-C ．4D ．6 3．函数2cos(2)2y x π=-是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 4．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，则使得0n a >的最小正整数n 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m <6．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在首位，3不在百位的五位数共有（ ）A ．72B ．78C ．96D ．547．定义某种运算⊕，a ⊕b 的运算原理如图所示，设S =1⊕x ，x ∈[−2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为（ ）A ．2B ．−1C ．4D ．38．下列命题：①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |=4，则直线AF 的倾斜角等于A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π610．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（ ）A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<二、填空题11．二项式(1−2x )5的展开式中第四项的系数为 .12．一个几何体的三视图如图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 .13．点P(x,y)在不等式组{x ≥0x +y ≤3y ≥x +1表示的平面区域内，若点P(x,y)到直线y =kx −1(k >0)的最大距离为2√2，则实数k = .14．ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅的值为 .15．已知函数()ln f x x x =，且120x x <<，给出下列命题：①()()12121f x f x x x -<-；②()()1221f x x f x x +<+；③()()2112x f x x f x <；④当1ln 1x >-时， ()()()1122212x f x x f x x f x +>.其中所有正确命题的序号为 .三、解答题16．已知{a n }为等比数列，其中a 1=1，且a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(2n −1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．17．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,1),(cos ,cos 1)m x n x x x ==-，函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f B =，b =，sin 3sin A C =，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）在2014年10月，某市进行了“居民幸福度”的调查，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“狮子山”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.（1）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有3人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望.19．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.（1）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ?若存在，求出PG GA的值；若不存在，请说明理由； （2）若PA 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的平面角的余弦值.20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)过点A(a 2,a 2)和点B(√3,1).（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P(x 0,y 0)在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为x 0x +3y 0y −6=0. （i ）求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；（ii ）若点F 关于直线l 的对称点为Q ，探索：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 是否过定点?若过定点，求出此定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数f(x)=e x (ax 2−2x −2)，a ∈R 且a ≠0.（1）若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a>0时，求函数f(|sinx|)的最小值；（3）在（1）的条件下，若y=kx与y=f(x)的图像存在三个交点，求k的取值范围.参考答案1．C【解析】试题分析：解一元二次不等式x 2−2x −3<0，得−1<x <3，∴A =(−1,3)，而B =(0,4)， ∴A ∩B =(0,3).考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2．D【解析】 试题分析：由题意可设3()12a i bi b R i+=∈-，∴32a i b bi +=+，∴2{63a b a b =⇒==. 考点：复数的计算.3．A【解析】 试题分析：22T ππ==，而2cos(2)2sin 22y x x π=-=为奇函数. 考点：三角函数的性质.4．B.【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴1131311313()1300122a a S a a a +⋅==⇒+=⇒=， ∴131212a a d -==，∴1(1)214n a a n d n =+-=-，∴满足0n a >的最小正整数n 为8. 考点：等差数列基本量的计算.5．C【解析】直线x-y+m=0与22x y ＋－2x －1＝0有两个不同交点的充要条件为31m <∴-<<,因为(0,1)(3,1)⊂-,所以0＜m ＜1是直线与圆相交的充分不必要条件6．B.【解析】试题分析：若3在首位：共有4424A =个百位数，若3不在首位：则首位共有133C =种选法，百位共有133C =种选法，剩下的三个数位共有336A =种选法，综上，符合题意的五位数共有2433678+⋅⋅=个.考点：排列组合.7．A【解析】试题分析：由题意可得，S(x)={|x|,-2≤x ≤11,1<x ≤2，∴S(x)max =2，S(x)min =0，∴S(x)max −S(x)min =0.考点：1.分段函数的值域；2.读程序框图.8．A.【解析】试题分析：①：l 与α相交或平行，∴①错误；②：l 与α内的任意一条直线平行或异面，∴②错误；③：另一条直线与这个平面平行或在平面内，∴③错误；④：l 与α内的任意一条直线平行或异面，即没有交点，∴④正确.考点：直线与平面的位置关系.9．B【解析】试题分析：设P(x 1,y 1)，由题意得，F(1,0)，∴|PF|=x 1+1=4⇒x 1=3，∴y 1=2√3， ∴A(−1,2√3)，k AF =2√3−0−1−1=−√3，∴倾斜角为23π. 考点：1.抛物线的性质；2.直线的倾斜角与斜率.10．C.【解析】试题分析：∵()2()xf x f x ''>，∴(2)'()0x f x ->，∴()f x 在(,2)-∞上单调递减，(2,)+∞上单调递增，当24a <<时，21log 2a <<，4216a <<，∴224log 3a <-<，∴2(log )(3)(2)a f a f f <<.考点：利用导数判断函数单调性.11．−80.【解析】试题分析：二项展开式的第r+1项为T r+1=(−1)r2r C5r x−r，∴第四项的系数为(−1)323C53=−80.考点：二项式定理.12．2503.【解析】试题分析：由三视图可知，几何体表示的是正四棱锥，从而体积. 考点：空间几何体的体积.13．1.【解析】试题分析：如图，画出不等式组所表示的区域，即可行域，易得，，，直线过定点，由图可得点P(x,y)到直线y=kx−1(k>0)的最大距离即为点到直线的距离，∴（负值舍去）.考点：1.线性规划；2.点到直线距离公式.14．15 .【解析】试题分析：由题意得：||||||1OA OB OC ===，∵3450OA OB OC ++=，∴345OA OB OC +=-，即22(34)(5)0OA OB OC OA OB +=-⇒⋅=，∴1(34)()5OC AB OA OB OB OA ⋅=-+⋅- 2211(34)55OA OA OB OB =---⋅+=-. 考点：平面向量的数量积.15．③④.【解析】试题分析：①： ()()()()()()1212121122121f x f x f x f x x x f x x f x x x x -⇔--⇔->--，令，∴，∴在上单调递减，上单调递增，故与的大小无法判断，∴①错误；②：令，∴， ∴在上单调递减，上单调递增，故与的大小无法判断，∴②错误；③：()()()()122112121212ln ln 0f x f x x f x x f x x x x x x x <⇔<⇔<⇔<<，∴③正确； ④：，∴单调递增，∴()()1221x f x x f x >+，由③可知，()()()1221212x f x x f x x f x +>，∴()()()1122212x f x x f x x f x +>，∴④正确，故正确的结论为③④.考点：利用导数判断函数单调性. 16．（1）a n =(12)n−1(n ∈N *)；（2）T n =6−(2n +3)⋅(12)n−1(n ∈N *).【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a 2+a 4=2(a 3+a 5)，再由等比数列可得，从而，因此数列的通项公式为a n =(12)n−1(n ∈N *)；（2）由（1）可得b n =(2n −1)⋅(12)n−1，这是一个等比数列与一个等差数列的乘积，因此可以考虑用错位相减法来求数列的前项和：T n =1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n −1)⋅(12)n−1，12T n=0+1×12+3×(12)2+⋯+(2n −3)⋅(12)n−1+(2n −1)⋅(12)n ， 12T n =1+2×12+2×(12)2+⋯+2⋅(12)n−1−(2n −1)⋅(12)n =3−(2n +3)⋅(12)n ，T n =6−(2n +3)⋅(12)n−1(n ∈N *).试题解析：（1）∵a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列，∴a 2+a 4=2(a 3+a 5)， 又∵等比数列，∴，又∵，∴，∴数列{a n }的通项公式为a n =(12)n−1(n ∈N *)；（2）∵b n =(2n −1)⋅(12)n−1，∴T n =1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n −1)⋅(12)n−1，∵12T n =0+1×12+3×(12)2+⋯+(2n −3)⋅(12)n−1+(2n −1)⋅(12)n ，∴12T n =1+2×12+2×(12)2+⋯+2⋅(12)n−1−(2n −1)⋅(12)n =3−(2n +3)⋅(12)n ， ∴T n =6−(2n +3)⋅(12)n−1(n ∈N *).考点：1.等差等比数列的通项公式与性质；2.错位相减法求数列的和.17．（1）[,](Z)36k k k ππππ-++∈；（2）ABC S ∆=【解析】试题分析：（1）首先根据平面向量数量积的坐标运算得到)(x f 的表达式，再由二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式将)(x f 的表达式进行化简，从而可得()2sin(2)6f x x π=+，再由正弦函数x y sin =的单调性，可知要求)(x f 的单调递增区间，只需令222262k x k πππππ-+≤+≤+，即可得)(x f 的单调递增区间为[,](Z)36k k k ππππ-++∈；（2）由（1）及条件1)(=B f 可得π65=B ，再由正弦定理可将条件C A sin 3sin =变形为c a 3=，再结合余弦定理B ac c a b cos 2222-+=联立方程组即可解得3=a ，1=c，从而1sin 2ABC S ac B ∆==试题解析：（1）∵2()2cos cos 12cos 2f x m n x x x x x =⋅=+-=+，∴()2sin(2)6f x x π=+，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，(Z)k ∈∴[,](Z)36x k k k ππππ∈-++∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[,](Z)36k k k ππππ-++∈；（2）∵()2sin(2)16f B B π=+=，∴15sin(2)26266B B πππ+=⇒+=，∴3π=B ，∵C A sin 3sin =，∴c a 3=，又∵7=b ，B ac c a b cos 2222-+=， ∴3=a ，1=c ，∴1sin 2ABC S ac B ∆==考点：1.三角恒等变形；2.函数)sin(ϕω+=x A y 的性质；3.正余弦定理解三角形. 18．（1）121140；（2）ξ的分布列为：Eξ=34. 【解析】试题分析：（1）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，根据互斥事件的概率加法公式，则P(A)=P(A 0)+P(A 1)，由此能求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分析题意可知ξ服从二项分布，求出对应的概率，即可求得其分布列及其期望.试题解析：（1）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P(A)=P(A 0)+P(A 1)=C 123+C 41C 122C 363=121140；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=(34)3=2764，P(ξ=1)=C 31⋅14⋅(34)2=2764，P(ξ=2)=C 32⋅(14)3⋅34=964，P(ξ=3)=(14)3=164， ξ的分布列为：∴Eξ=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34.考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.古典概型及其概率计算公式；3.二项分布. 19．（1）存在，3PG GA =；（2）6【详解】试题分析：（1）根据四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形可知，可以通过建立空间直角坐标系来求解问题，设PA a =，GA b =，根据条件中给出的数据可得(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ，从而可求得平面PFD 的一个法向量(,,2)m a a =，再由//EG 平面PFD ，可知1202GE m a b ⋅=-=，可得14b a =，因此存在满足条件的点G ，且3PGGA=； （2）由PB 与平面ABCD 所成的角为45︒可知1==PA AB ，结合（1）可知平面PDF 的一个法向量为(1,1,2)m =，再取平面APD 的一个法向量为(1,0,0)n =，可求得6cos ,m n m n m n ⋅==⋅，即二面角A PD F --的平面角的余弦值为6. 试题解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设PA a =，GA b =，∵(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ，∴(1,1,0)DF =-，(0,2,)PD a =-，1(,0,)2GE b =-，设平面PFD 的一个法向量(,,)m x a z =，∴0{20m DF x a m PD a az ⋅=-=⋅=-=，∴{2x a z ==，∴(,,2)m a a =，∵1202GE m a b ⋅=-=，∴14b a =，∴3PGGA =； （2）∵PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴45PBA ∠=︒，∵1AB =，∴1PA =，由（1）知，平面PDF 的一个法向量为(1,1,2)m =， 取平面APD 的一个法向量为(1,0,0)n =，∴6cos ,6m n m n m n⋅==⋅，∴二面角A PD F --考点：1.空间直角坐标系的建立；2.二面角与法向量的运用. 20．（1）x 26+y 22=1；（2）（i ）详见解析；（ii ）定点坐标为.【解析】试题分析：（1）根据题意，将A(a 2,a2)和点B(√3,1)分别代入椭圆方程，即可得到关于，的方程组：(a2)2a 2+(a 2)2b 2=1，3a 2+1b 2=1，从而可以解得，，即椭圆的方程为x 26+y 22=1；（2）（ii ）分析题意可知，要证直线与椭圆只有一个公共点，等价于将直线方程与椭圆方程联立所得的方程组只有唯一的解，因此考虑将方程联立，化简变形可得x 2−2x 0x +x 02=0，易知其，从而得证；（ii ）由题意可知为线段的中垂线，因此利用线段与直线垂直以及线段的中点在直线上可求得点的坐标为(4x 0−63−x 0,6y3−x 0)，以下需分类讨论列出直线的解析式：当x 0≠2时，直线的斜率k =6y 03−x 0−y 04x 0−63−x 0−x 0=y 0x0−2，直线的方程为y −y 0=y 0x0−2(x −x 0)，即(x −2)x 0−x 0y +2y =0，直线过定点M(2,0)，当x 0=2时，y 0=±√63，此时Q(2,±2√6)，直线过点，即可证明直线恒过定点.试题解析：（1）∵(a2)2a 2+(a 2)2b 2=1，且3a 2+1b 2=1，∴，，∴椭圆的方程为x 26+y 22=1.（2）（i ）联立方程组{x 2+3y 2=6x 0x +3y 0y −6=0，整理为(x 02+3y 02)x 2−12x 0x +36−18y 02=0…①， ∵P 在椭圆上，∴x 026+y 022=1，即3y 02=6−x 02，∴方程①为x 2−2x 0x +x 02=0，即，∴直线与椭圆有唯一的公共点； （ii ）∵F(−2,0)，∴过点F 且与垂直的直线方程为3y 0y −x 0x −6=0，∵联立方程组{3y 0y −x 0x −6=0x 0x +3y 0y −6=0 ，∴{x =6x 0−18y 02x 02+9y 02y =18y 0+6x 0y 0x 02+9y 02，∵3y 02=6−x 02，且{2x =−2+x Q 2y =y Q ，∴点坐标为(4x 0−63−x 0,6y 03−x 0)，当x 0≠2时，直线的斜率k =6y 03−x 0−y 04x 0−63−x 0−x 0=y 0x 0−2，∵直线的方程为y −y 0=y 0x 0−2(x −x 0)，即(x −2)x 0−x 0y +2y =0，∴直线过定点M(2,0)，当x 0=2时，y 0=±√63，此时Q(2,±2√6)，直线过点M(2,0)，综上所述，直线过定点M(2,0)．考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线中的对称问题.21．（1）a =1；（2）当0<a ≤2时，f(x)的最小值为(a −4)e ，当a >2时，f(x)的最小值为−2e 2a ；（3）实数k 的取值范围是(−2e √2,−3e)∪(−2e −√2,0). 【解析】试题分析：（1）结合导数的几何意义，可知y =f(x)在P(2,f(2))处的切线垂直于y 轴等价于f′(2)=0，从而可列出关于a 的方程，即可求得a 的值；（2）分析题意可知，问题等价于求当a >0时，求函数f(x)在[0,1]上的值域，分类讨论a 的取值范围，利用导数判断f(x)的单调性即可求得其最小值；（3）欲使y =kx 与y =f(x)的图象存在三个交点，只需kx =e x (x 2−2x −2)有三解，分离参数，则将问题等价于研究函数g(x)=e x (x 2−2x−2)x的取值情况，可得到其大致的图象，结合图象可求出k 的取值范围. 试题解析：（1）∵f(x)=e x (ax 2−2x −2)，∴f ′(x)=e x (ax 2−2x −2)+e x (2ax −2)=e x [ax 2+2(a −1)x −4]， ∵f ′(2)=e 2(8a −8)=0，∴a =1；（2）由（1）知f ′(x)=ae x (x −2a )(x +2)，当0<a ≤2时，∵2a ≥1，∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，∴f(x)的最小值为f(1)=(a −4)e ，当a >2时，∵0<2a <1，∴f(x)在区间(0,2a )上单调递减，在区间(2a ,1)上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(2a )=−2e 2a，综上所述，当0<a ≤2时，函数f(|sinx|)的最小值为(a −4)e ，当a >2时,函数f(|sinx|)的最小值为−2e 2a ；（3）由f(x)=kx ⇒k =e x (x 2−2x−2)x，设g(x)=e x (x 2−2x−2)x，∵g ′(x)=e x x 2(x −√2)(x −1)(x +√2)，∴函数g(x)的单调递增区间为(−√2,0),(0,1),(√2,+∞)，单调递减区间为(−∞,−√2),(1,√2)， ∵x →−∞时，函数g(x)的图象在x 轴下方且无限靠近x 轴，大致图象如下图所示， g(−√2)=−2e −√2，g(1)=−3e ，g(√2)=−2e √2，∴实数k 的取值范围是(−2e √2,−3e )∪(−2e −√2,0).考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.函数的值域；3.根的存在性及根的个数判断.。

2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。

四川省新津中学2021届高三下学期入学考试数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02（i 为虚数单位））A ．2B ．1C ．12D3．如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12 C ．1π D ．3π4 ） A ．4- B ．4 C ．13-D ．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．4+6．已知实数x ，y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()201720162018201721f x xx x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,+∞D ．()3,49．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A．BC．3D．310．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2B．(0,3+C．(2+ D．(212．若关于x 的方程e 0e e xx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1B ．eC ．1m -D ．1m +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新津实验高中2022级高三11月月考数学试题（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合满足，则（ ）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.4.据统计，第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭（，）（ ）A.1530只B.1636只C.1830只D.1930只5.若函数在处取最小值，则等于（ ）A. B. C.3D.46.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知，，则（ ）A.B. C. D.8.已知函数，下列说法错误的是（ ）A.图像关于对称B.只有一个零点且C.若，则D.不等式的解集二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(,2]-∞-{1,2,3,4,5}U =M U {1,3}M =ð2M ∈3M∈4M ∉5M∉α∈R sin cos αα=sin 21α=0a b <<ln ln a b>22b a <11a b<1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y 3log (1)y k x =+ln 20.7≈ln 3 1.1≈1()(2)2f x x x x =+>-x a =a 1+1+()()2x x a f x -=(0,1)a [2,0)-(0,2][2,)+∞()1sin 3αβ-=1cos sin 6αβ=()cos 22αβ+=791919-79-()21xxf x e e x -=--+()f x (0,1)()f x 0x 0(1,0)x ∈-()()g x f x '=π(sin )cos 2g x g x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(23)()2f x f x -+>(1,)+∞9.下列命题正确的是（ ）A.命题“，都有”的否定为“，使得”B.若的定义域是，则的定义域为C.“为锐角”是“”的充分不必要条件D.对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件10.函数的图象以中心对称，则（ ）A.在单调递减 B.在有2个极值点C.直线是一条对称轴 D.直线是一条切线11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则的最小值为2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12..已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形面积为__________.13.若函数在处有极大值，则实数的值为__________.14.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是__________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（13分）已知（1）若过原点的直线与函数相切，切点的横坐标为，求证：；（2）若，，求的值.16.（15分）在四棱锥中，底面是正方形，若，.1x ∀>215x +>1x ∃≤215x +≤()f x (1,2)-(1)f x +(1,3)αsin(π)sin αα-=()f x ()00f x '=()f x 0x x =()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<2π,03⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭7π6x =y x =-21()e xx x f x +-=()f x ()f x e 0k -<≤()f x k =[,)x t ∈+∞max 25()ef x =t 2π2()()f x x x a =+1x =a ()cos 1(0)f x x ωω=->[0,2π]ω()sin cos f x x x=-l ()f x ()001x x ≠0001tan 1x x x +=-1()5f α=0πα≤≤πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭Q ABCD -ABCD 2AD =QD QA ==3QC =（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.17.（15分）已知函数在区间上的最大值为6.（1）求常数的值；（2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合.18.（17分）已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数的单调性；（3）设，证明：对任意，，.19.（17分）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数.（2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；（3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值.QAD ⊥ABCD B QD A --2()22cos f x x x m =++π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m x ∈R ()f x x 2()(1)ln 1f x a x ax =+++0a =()f x x ≤()f x 2a ≤-1x 2(0,)x ∈+∞()()12124f x f x x x -≥-X ()2,N μσμ14σ≈a b 18P P附：若随机变量服从正态分布，则，，.X ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈新津实验高中2022级高三11月月考数学试题答案题号1234567891011答案ACD BCD BBCDADAB12.13.14.15.（1）（2.【详解】（1）设切点为，，.，.（2）将平方得，所以，所以.所以，从而.联立，得.所以，.故.16（1）证明：，，又，.平面，又平面，平面平面.内，过作，交BC 于，则，（2）在平面 内, 过 作 , 交B C 于 , 则 ,结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.3π3-[2,3)1y x =-()000,sin cos A x x x -()cos sin f x x x '=+()000000sin cos cos sin AO x x f x x x k x -'=+==()()00001cos 1sin x x x x ∴+=-0001tan 1x x x +∴=-1sin cos 5αα-=112sin cos 25αα-=242sin cos 25αα=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22449(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=+=7sin cos 5αα+=1sin cos 57sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24sin 22sin cos 25ααα==2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π247sin 22cos 2)42525ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222CD QD QC += CD QD ∴⊥CD AD ⊥ QD AD D = CD ∴⊥QAD CD ⊆ABCD ∴QAD ⊥ABCD ABCD O //OT CD T OT AD ⊥ABCD O //OT CD T OT AD ⊥QO ⊥ABCD则，，，故，.设平面的法向量，则即，取，则，，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.17.（1）；（2）2，.【详解】解：，，，.所以函数的最大值为，，.（2）由（1）得，当时，函数的最小值为2，此时，解得，即时取最小值. 18题（1）证明：，，，(0,1,0)D (0,0,2)Q (2,1,0)B -(2,1,2)BQ =- (2,2,0)BD =-QBD (,,)n x y z = 00n BQ n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩1x =1y =12z =11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ QAD (1,0,0)m =12cos ,3312m n 〈〉==⨯ B QD A --233m =2π,3x x k k Z π⎧⎫⎨⎬⎩⎭=+∈2()22cos f x x x m =++π21cos 22sin 216x x m x m ⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x 3m +36m ∴+=3m =π()2sin 246f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x ∈R ()f x π3π22π62x k +=+2ππ()3x k k Z =+∈2ππ,3x x k k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ln 10x x --≥()ln 1(0)g x x x x =-->()1x g x x-'=令，得；令，得，设在，，，成立，即成立.（2）解的定义域为，.当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，令，解得当时，；时，，故在上单调递增，在上单调递减.（2）证明不妨设，由于，由（1）可得在上单调递减.所以等价于，即.令，则.于是.从而在上单调递减，故，即，故对任意，，.19.解（1）设样本平均数的估计值为，则，所以样本平均数的估计值为62.设第40百分位数为，，（2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，.()0g x '>1x >()0g x '>10x >>()g x ∴(0,1)↓(1,)+∞↑min ()(1)0g x g ∴==()0g x ∴≥()f x x ≤()f x (0,)+∞()21212a ax a f x ax x x+++'=+=0a ≥()0f x '>()f x (0,)+∞1a ≤-()0f x '<()f x (0,)+∞10a -<<()0f x '=x =x ⎛∈ ⎝()0f x '>x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭12x x ≥2a ≤-()f x (0,)+∞()()12124f x f x x x -≥-()()()21124f x f x x x -≥-()()221144f x x f x x +≥+()()4g x f x x =+()2124124a ax x a g x ax x x ++++'=++=()22441(21)0x x x g x x x-+---'≤=≤()g x (0,)+∞()()12g x g x ≤()()112244f x x f x x +≤+1x 2(0,)x ∈+∞()()12124f x f x x x -≥-x 10(400.01500.02600.03700.024800.012900.004)62x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,0.03(55)10(0.010.02)0.4x x -++=1583x ∴=X ()2,N μσ62μ=14σ≈所以，所以.所以估计能参加复试的人数为.（3）由该生获一等奖的概率为可知，，则.令，，则当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以的最小值为.26221490μσ+≈+⨯=1(90)(2)(10.9545)0.022752P X P X μσ≥=≥+≈⨯-=0.022*********⨯=18218a b =222313(1)C2(1)2848P a b a a b a ab a a =-+-=+-=+-213()48P f a a a ==+-01a <<()23222(21)421181()2,444a a a a f a a a a a -++-'=-==102a <<()0f a '<112a <<()0f a '>()f a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭min 11133()24288f a f ⎛⎫==+-=⎪⎝⎭P 38。