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2013年高考数学第一轮复习单元第14讲 数列概念及等差数列

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1 2013年高考数学第一轮复习单元 第14讲 数列概念及等差数列

一．【课标要求】 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系 二．【命题走向】 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高 预测2013年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题 三．【要点精讲】 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，„„，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作na； 数列的一般形式：1a，2a，3a，„„，na，„„，简记作 na。 （2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式 例如，数列①的通项公式是na= n（n7，nN），数列②的通项公式是na= 1n（nN）。 说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na= (1)n=1,21()1,2nkkZnk； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，„„ （3）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 （4）递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na

（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的递推公式 2

2．等差数列 （1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。 （2）等差数列的通项公式：1(1)naand； 说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d 为递减数列。

（3）等差中项的概念：a，A，b成等差数列2abA。

（4）等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnad。 四．【典例解析】 题型1：数列概念

例1（1）、已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 选B。 解：∵135105aaa即33105a∴335a同理可得433a∴公差432daa∴204(204)1aad. （2）、根据数列前4项，写出它的通项公式：

1）1，3，5，7……；2）2212，2313，2414，2515；3）11*2，12*3，13*4，14*5。

解：（1）na=21n； （2）na= 2(1)11nn； （3）na= (1)(1)nnn。 例2．数列na中，已知21()3nnnanN， （1）写出10a，1na，2na； （2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？ 解：（1）∵21()3nnnanN，∴10a21010110933，

1na221113133nnnn



，2na222421133nnnn；

2）令2793213nn，解得15,16nn或，∵nN，∴15n， 即2793为该数列的第15项。 题型2：数列的递推公式 例3．（1）已知数列na适合：11a，1na22nnaa，写出前五项并写出其通项公式； 3

2）用上面的数列na，通过等式1nnnbaa构造新数列nb，写出nb，并写出nb的前5项 解：（1）11a ，223a，324a，425a，526a，……，21nan；

（2）22212(1)(2)nbnnnn， 113b，216b，3110b，4115b，5121b． 点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。 题型3：数列的应用 例5、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差． (1)设数列{}na是公方差为p的等方差数列，求na和1na(2 )nnN，的关系式； (2)若数列{}na既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； (3) 设数列{}na是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将12310aaaa，，，，这种顺 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数． (1)解：由等方差数列的定义可知：221nnaap(2 )nnN， (2)证法一：∵{}na是等差数列，设公差为d，则11nnnnaaaad 又{}na是等方差数列，∴222211nnnnaaaa ∴ 1111()()()()nnnnnnnnaaaaaaaa 即211()20nnnndaaaad， ∴0d，即{}na是常数列． 证法二：∵{}na是等差数列，设公差为d，则1nnaad„„○1 又{}na是等方差数列，设公方差为p，则221nnaap„„○2 ○1代入○2得，220nddap„„○3 同理有，2120nddap„„○4 两式相减得：即212()20nndaad， ∴0d，即{}na是常数列． (3)依题意， 2212nnaa(2 )nnN，，214a，242(1)22nann ∴22nan，或22nan， 即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是92512种， 故，这种密码共512种． 。 4

例6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内

答案：140 85 解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，„照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85. 点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。 题型4：等差数列的概念 例7．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B；

解：an=)2( 12)1( 1)2( )1( 11nnnanSSnSnnn ∴an=2n－1（n∈N）

又an+1－an=2为常数，12121nnaann≠常数 ∴{an}是等差数列，但不是等比数列. 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－

1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活

例8．设数列}{na、}{nb、}{nc满足：2nnnaab，2132nnnnaaac（n=1,2,3,…）， 证明：}{na为等差数列的充分必要条件是}{nc为等差数列且1nnbb（n=1,2,3,…） 证明：1必要性：设数列}{na是公差为1d的等差数列，则： )(311nnnnaabb)(2nnaa=)(1nnaa)(23nnaa=1d-1d=0， ∴1nnbb（n=1,2,3,…）成立； 又2)(11nnnnaacc)(12nnaa)(323nnaa=61d（常数）（n=1,2,3,…） ∴数列}{nc为等差数列。 5

2充分性：设数列}{nc是公差为2d的等差数列，且1nnbb（n=1,2,3,…），

∵2132nnnnaaac……① ∴432232nnnnaaac……② ①－②得：)(22nnnnaacc)(231nnaa)(342nnaa=2132nnnbbb ∵)(12nnnncccc2212)(dccnn ∴2132nnnbbb22d……③ 从而有32132nnnbbb22d……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121nnnnnnbbbbbb……⑤ ∵0)(1nnbb，012nnbb，023nnbb，∴由⑤得：01nnbb（n=1,2,3,…）， 由此，不妨设3dbn（n=1,2,3,…），则2nnaa3d（常数） 故312132432daaaaacnnnnnn……⑥ 从而3211324daacnnn31524daann……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2daaccnnnn， 故311)(21dccaannnn3221dd（常数）（n=1,2,3,…），∴数列}{na为等差数列。 综上所述：}{na为等差数列的充分必要条件是}{nc为等差数列且1nnbb（n=1,2,3,…）。 点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果 题型5：等差数列通项公式 例9．已知等差数列}{na的公差d不为0，设121nnnqaqaaS

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第14讲 数阵问题(数列群问题)-新高考数学之数列综合讲义

第14讲 数阵问题(数列群问题)-新高考数学之数列综合讲义

第14讲数阵问题（数列群问题）一．选择题（共7小题）1．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，⋯，依次循环的规律分为（1），(3,5)，(7，9，11)，(13)，(15,17)，(19，21，23)，(25)，⋯，则第50个括号内各数之和为()A．98B．197C．390D．392【解析】解：由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{21}n-的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{21}n-的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，⨯-=，第二个数是2991197所以第50个括号内各数之和为195197392+=，故选：D．2．把数列{21}n+依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，⋯，循环分为：（3），(5,7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25,27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，⋯，则第60个括号内各数之和为()A．1112B．1168C．1176D．1192【解析】解：括号里的数有规律：即每四个一组，里面的数都是123410+++=，所以到第60个括号时共有数(1234)15150+++⨯=个数，第150个数是21501301+-+-+-=，⨯+=．所以第60个括号里的数之和为301(3012)(3014)(3016)1192故选：D．3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N：第2017行的第N项为2的正整数幂．已知10=，那么该款软件的激活码是()21024A ．1040B ．1045C ．1060D ．1065【解析】解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n 行的公差为12n -，记第n 行的第m 个数为(,)f n m ，则(f n ，1)(1f n =-，1)(1f n +-，2)2(1f n =-，21)2n -+，∴1(,1)(1,1)1224n n f n f n --=+， 算得(f n ，21)(1)2n n -=+(f n ⇒，)(m f n =，11)(1)2n m -+-22(21)()n m n n N -+=+-∈，第2017行的第N 项为2的正整数幂，201722(220171)2k N -∴+-=， 即20162(1008)2k N +=， N 最小四位整数．当1040N =，满足题意， 故选：A ．4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式02，12，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．110B ．220C ．330D ．440【解析】由题意可知：02第一项，012,2第二项，0122,2,2第三项，01212,2,2,2n n -⋯⋯第项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，⋯，21n -，每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n ， 总共的项数为(1)1232n n N n +=+++⋯+=， 所有项数的和为12312312(21):21212121(2222)2221n nnn n S n n n +--+-+-+⋯+-=+++⋯+-=-=---，由题意可知：12n +为2的整数幂．只需将2n --消去即可， 则①12(2)0n ++--=，解得：1n =，总共有(11)1232+⨯+=，不满足100N >， ②124(2)0n +++--=，解得：5n =，总共有(15)53182+⨯+=，不满足100N >， ③1248(2)0n ++++--=，解得：13n =，总共有(113)134952+⨯+=，不满足100N >， ④124816(2)0n +++++--=，解得：29n =，总共有(129)2954402+⨯+=，满足100N >， ∴该款软件的激活码440．故选：D ．5．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解析】解：第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的组合就是表中的一个数， 因为第一行数组成的数列1(1,2)j A j =⋯是以2为首相，公差为1的等差数列， 所以12(1)11j A j j =+-⨯=+，所以第j 列数组成的数列(1ij A i =，2，)⋯是以1j +为首项，公差为j 的等差数列， 所以(1)(1)1ij A j i j ij =++-⨯=+， 令1145ij A ij =+=， 则4214423ij ==⨯，所以145出现的次数为(41)(21)15++=． 故选：C ．6．设()f n *)n N ∈的整数，如f （1）1=，f （2）1=，f （3）2=，f （4）2=，f （5）2=，⋯，若正整数m 满足11114034(1)(2)(3)()f f f f m +++⋯+=，则(m = ) A ．20162017⨯ B ．22017 C ．20172018⨯ D ．20182019⨯【解析】解：第一组：11(1)f =，11(2)f =，共2个，之和为2； 第二组：11(3)2f =，11(4)2f =，11(5)2f =，11(6)2f =，共4个，之和为2； 第三组：11(7)3f =，11(8)3f =，11(9)3f =，11(10)3f =，11(11)3f =，11(12)3f =，6Fong 个，之和为2； 第四组：11(13)4f =，11(14)4f =，11(20)4f ⋯=，共8个，之和为2； ⋯第n 组：共2n 个，之和为2； ∴1111403422017(1)(2)(3)()f f f f m +++⋯+==⨯， 故一共有2017组， 则20172016201722201720182m ⨯=⨯+⨯=⨯， 故选：C ．7．如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．若2013是第m 行从左至右算的第n 个数字，则(,)m n 为( )A ．(63,60)B ．(63,4)C ．(64,61)D ．(64,4)【解析】解：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大，可得第63行的数字从左向右依次减小， 可求出第63行最左边的一个数是63(631)20162⨯+=，从左至右的第4个数应是201632013-=． 故2013在第63行，第4列， 故选：B．二．填空题（共8小题）8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合{}110110011|2222,,1,,,,01k k k k k k k A x x a a a a k N a a a a --+-==⨯+⨯+⋯+⨯+⨯∈=⋯=或．例如：1{2A =，3}，2{4A =，5，6，7}，若将集合4A 的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 376 ；定义()()0120120,,,,,11,,,,,1k k k x a a a a f x x A x a a a a ⋯⎧=∈⎨⋯⎩的表达式中等于的个数为偶数的表达式中等于的个数为奇数现指定5k =，将集合{|()1x f x =，}k x A ∈的元素从小到大排列组成数列{}n c ，若将{}n c 的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 ． 【解析】解：集合43210443210{|22222}A n n a a a a a ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 当41a =，01230a a a a ====时，16n =， 当012341a a a a a =====时，31n =，所以4{16A =，17，18，⋯，31}共有16个元素，故激活码为16(1631)3762⨯+=；结合二进制表示，当5k =时，{}n c 的各项可以看成首位为1的六位二进制数， 对于41a =，符合条件()1f x =的有8个数，同理，对于31a =，21a =，11a =，01a =时，符合条件的也分别有8个数， 故激活码为5432101628(22222)760⨯+⨯++++=， 故答案为376；760．9．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行：数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第5个数字为 195 ．【解析】解：由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，故前1n-行共有：(1)12(1)2n nn-++⋯+-=个整数，故第n行的第一个数为：(1)12n n-+，第20行的数字从左向右依次增大，可求出第20行最左边的一个数是191，第20行从左至右的第5个数字应是195．故答案为：195．10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第35项是136．【解析】解：奇数项是后一个数，每行2个数，则第35项在18行第3个数，从第3行开始斜行1，3，6，10，⋯，即为122⨯，232⨯，342⨯，⋯，(1)(2)2n n--，则18行第3个数为(181)(171)1362-⨯-=，故答案为：136．11．杨辉三角（如图）是二项式系数在三角形中的一种几何排列．它是我国古代数学的杰出研究成果之一，将二项式系数图形化，是一种离散型的数形结合．杨辉三角蕴含了许多有趣的规律，比如：除1以外，所有正整数在如图中都出现有限次，如2出现1次，3和4都出现2次，试判断数字120在图形中共出现 2 次．【解析】解：根据杨辉三角的排列规律： 1 11 2 1⋯，1 21 35 35 21 1 1 22 56 70 56 22 1 1 23 78 126 126 78 23 1 1 24 101 204 252 204 101 24 1根据杨辉三角，120只出现的位置为两边的数，中间不可能出现， 由于对称性的存在， 所以120出现的次数为2． 故答案为：2．12．“杨辉三角形”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623~1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年．“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来．下面数表类似“杨辉三角”，从上到下分别为第1行、第2行、第3行、⋯第n 行、⋯．它满足：①第n 行首尾的数均为n ；②第(3)n n 行除首尾的数外，每一个数都等于它肩上（即第1n -行）两个数之和．记第(2)n n 行的第二个数为()f n ，则(60)f = 1771 ．【解析】解：根据题意：f（3）f-（2）2=，f（4）f-（3）3=，f（5）f-（4）4=，⋯，()(1)1f n f n n--=-，以上2n-个式子左右分别相加，得2(2)(12)2 ()(2)234(1)22n n n nf n f n--+---=+++⋅⋅⋅+-==，所以22 ()2n nf n--=，于是(60)1771f=．故答案为：1771．13．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(16231662)-是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项和为18253-．【解析】解：杨辉三角形中各行的数字和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为122112nnnS-==--，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，⋯⋯，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则(1)2n n n T +=， 可得当15n =，即杨辉三角形中的第17行，再加上第18行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，⋯⋯，为个首项是2、公差为1的等差数列， 则第18行的第17项为17，则杨辉三角形的前18项的和为181821S =-， 则此数列前135项的和为181********S --=-， 故答案为：18253-．14．分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列 203490（或821)C ；并判断其奇偶性 ．（选填“奇”或“偶” )【解析】解：观察所给数据可得，第22行第9个数是(a +b 21)的第9项二项式系数，由二项式定理可知，(a +b 21)的第9项二项式系数为：821212019181716151420349087654321C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个数是偶数．故答案为：203490（或821)C ；偶． 15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，52S =，⋯⋯，则33S = 2【解析】解：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1 的是第1行，有1个1；第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1；第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第12n -行，有12n -个1，故6n =时，第6152232-==行有32个1，即3232S =，则下一行是2个1，即332S =， 故答案为：2．。

2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和

2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。

（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。

高三数学总复习《数列》知识点和经典试题解题方法总结

高三数学总复习《数列》知识点和经典试题解题方法总结

数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn ab n n n ⇔=+0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 11000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133== 5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，，()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

海南人教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数第14章14.4数列的通项公式

海南人教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数第14章14.4数列的通项公式

（n 1 ） ） an 1 （n 1 所以 n2 （n 2，n N *） . 2 （n 1 ）

3.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n, 则an= n2-n+2 . 因为an+1-an=2n, 所以an-an-1=2（n-1）, an-1-an-2=2（n-2）,…,a3-a2=4,a2-a1=2. 将上述各式相加，得an-a1=2［1+2+…+ （n-1）］=n（n-1）,所以an=n2-n+2.
1nc?331由121?na得所以是首项为2n公比为2的等比数列2n即ann22nn所以21121nnnaaan????22nann???22na342因为22a1111n11nnncnnnn???????22211112311123111112221ntnnnn??????????????所以35本节内容主要从三个方面考查一是直接利用等差等比数列的通项公式来求通项一般要根据已知条件先求出首项和公差或公比再代入公式求得结果
1 f （x ） 4 2数列 ， {a }的前n项和记 已知 n x 1 为Sn，点Pn（an， ）（n∈N*）在曲线 an1
y=f（x）上，且a1=1,an>0.
（1）求数列{an}的通项公式an； （2）数列{bn}的首项b1=1，前n项和记为Tn， 且 项公式bn.
Tn1 Tn 2 求数列 {bn}的通 16 n 8n 3 ， 2 2 an an 1
7
4.在数列{an}中，已知a1=1， 则数列{an}的通项公式是 _______________________________. an=n（n-1）（n-2）·…×2×1 an 1 因为 n 1， a 故an=nan-1=n（n-1n）an-2=…=n（n-1）（n2）·…·2a1=n（n-1）（n-2）·…×2×1.