2018中考数学专题相似形(共40题)1.如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90, 点P为射线BD, CE的交点.(1)求证：BD=CE(2)若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转，当/ EAC=90时，求PB的长；备用图备坪圏2.如图，直角△ ABC中，/ BAC=90，D在BC上，连接AD,作BF丄AD分别交AD 于E, AC于F.(1)如图1,若BD=BA 求证：△ ABE^A DBE;(2)如图2，若BD=4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC; ② A*AF?AC圍1 亂3.如图，在锐角三角形ABC中，点D, E分别在边AC, AB上, AG丄BC于点G, AF丄DE于点F,Z EAFK GAC(1)求证：△ ADE^A ABC;4•如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B作BF 丄DE,垂足为F, BF分别交AC于H,交CD于G.(1)求证：BG=DE(2)若点G为CD的中点，求二的值.5. (1)如图1在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上, AE±BF于点M , 求证：AE=BF(2)如图2,将 (1 中的正方形ABCD改为矩形ABCD, AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.置n 阖＜6. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分/ BAD,点P是AC延长线上点，且PD丄AD.(1)证明：/ BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.7. A ABC 和△ DEF 是两个全等的等腰直角三角形，/ BACK EDF=90, △ DEF 的 顶点E 与厶ABC 的斜边BC 的中点重合，将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线 段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点 Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^A CQE(2) 如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ 并求当 BP=2 CQ=9时 BC 的长.8. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分/ DEB F 为CE 的中点, 连接AF ，BF,过点E 作EH// BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点.(1) 求证：DE=DC(2) 求证：AF 丄BF ;(3) 当AF?GF=28寸，请直接写出 CE 的长.9. 在Rt A ABC 中，/ BAC=90,过点B 的直线MN // AC, D 为BC 边上一点，连 接AD ，作 DE 丄AD 交MN 于点E,连接AE(1) 如图 1,当/ ABC=45时，求证：AD=DE(2) 如图2,当/ABC=30时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由.图① 圍②10•如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB点P 从点D出发，以每秒1个单位长度沿XC-B向终点B运动，直线EP交AD 于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1)求证：AF=AR(2)设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2,连接PB•请直接写出使厶PRB是等腰三角形时t的值.图1 图211 •如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,延长CB至点F，使CF=CA 连接AF,Z ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接EO.(1) 已知BD=二求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.12.将两块全等的三角板如图1摆放，其中/ A1CB=/ ACB=90, / A = / A=30°. (1)将图1中厶A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP=CQ(2)在图2中，若AP1=a,贝U CQ等于多少？(3)将图2中厶A1B1C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3),点P2是A2C与APi 的交点•当旋转角为多少度时，有△ AP i C sA CPP 2?这时线段CP 与P 1P 2之 间存在一个怎样的数量关系？13•把Rt A ABC 和Rt ^ DEF 按如图(1)摆放(点C 与E 重合)，点B 、C (E )、F 在同一条直线上.已知：/ ACBN EDF=90, / DEF=45, AC=8cm, BC=6cm EF=10cm 如图(2), △ DEF 从图(1)的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向厶ABC 匀速移动，在△ DEF 移动的同时，点P 从厶ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的 速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△ DEF 也随 之停止移动.DE 与AC 交于点Q ,连接PQ,设移动时间为t (s ).(1) 用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2) 连接PE,设四边形APEQ 的面积为y (cm 2),试探究y 的最大值;14. A ABC, / A 、/ B 、/ C 的对边分别是a 、b 、c , 一条直线DE 与边AC 相交(1)如图①，若DE 将△ ABC 分成周长相等的两部分，贝U AD+AE 等于多少；(用 a 、b 、c 表示)(2)如图②，若AC=3 AB=5, BC=4. DE 将厶ABC 分成周长、面积相等的两部 分，求AD;图1 砂 图3(3)当t 为何值时，△ APQ 是等腰三角形.于点D ,与边AB 相交于点E.(3)如图③，若DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE// BC,则a、b、c满足什么关系？15. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，/ PAQ=45,将/ PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角/ EBC和/FDC的平分线分别交于点M 和N,连接MN.(1) 求证：△ ABM s^ NDA;(2) 连接BD，当/BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明.16. 如图，在锐角厶ABC中，D，E分别为AB, BC中点，F为AC上一点，且/ AFE=/ A，DM / EF交AC于点M .(1)点G 在BE上，且/ BDG=/ C,求证：DG?CF=DM?EG(2)在图中，取CE上一点H,使/ CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.17. A ABC中，AB=AC 点D、E、F分别在BC AB AC上，/ EDF=/ B.(1)如图1,求证：DE?CD=DF?BE(2)D为BC中点如图2,连接EF.①求证：ED平分/ BEF；②若四边形AEDF为菱形，求/ BAC的度数及竺的值.18. 如图，在厶ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ, 交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且丄Q，点GCD BD在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.(1)求证：PC=PE(2)当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.19•如图，已知△ ABC中，AC=BC点D、E、F分别是线段AC BC AD的中点, BF、ED的延长线交于点G,连接GC(1)求证：AB=GD20•如图，在△ ABC中，D、E分别为AB AC上的点，线段BE CD相交于点O, 且/ DCB=/ EBC二/ A.2(1)求证：△ BOR A BAE(2) 求证：BD=CE(3) 若M 、N 分别是BE 、CE 的中点，过MN 的直线交AB 于P ,交AC 于Q ,线 段AP 、AQ 相等吗？为什么？21. 如图，在矩形 ABCD 和矩形 PEFG 中, AB=8, BC=6 PE=2 PG=4 PE 与 AC 交于点M , EF 与AC 交于点N ,动点P 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速 度向点B 匀速运动，伴随点P 的运动，矩形PEFG 在射线AB 上滑动；动点K 从 点P 出发沿折线PE-- EF 以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P 、K 同时开始 运动，当点K 到达点F 时停止运动，点P 也随之停止.设点P 、K 运动的时间是 t 秒(t > 0).(1) 当 t=1 时，KE ______ , EN= ______;(2) 当t 为何值时，△ APM 的面积与厶MNE 的面积相等？(3) 当点K 到达点N 时，求出t 的值；(4) 当t 为何值时，△ PKB 是直角三角形？22. 如图(1),在厶ABC 中，AD 是BC 边的中线，过 A 点作AE// BC 与过D 点作 DE// AB 交于点E,连接CE(1) 求证：四边形ADCE 是平行四边形.(2) 连接BE, AC 分别与BE 、DE 交于点F 、G ,如图(2),若AC=6求FG的J3 G — F 貝V D23 •已知：在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是CB CD 延长线上的点，且 BE=DF 联结AE 、AF 、DE 、DE 交AB 于点M .(1)如图1,当E 、A 、F 在一直线上时，求证：点 M 为ED 中点;(2)已知，如图2,在厶ABC 中，点D 为边AC 上任意一点，连结 BD ,取BD 中 (3) 在(2)的条件下，若AB=AC AF=CD 求卑的值. Ar 1(2)如图2,点E ，F 在AB 及其延长线上，/ A=60°, AB=4, BE=3求BF 的长.第9页(共78页)点E ,连结CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证: BF 工AF AC(1)求证：DE// BC.(1) 求证：AD 2=BG?DH (2) 求证：CE= PG; (3) 求证:EF= HG .27. 如图，C 为线段BD 上一动点，过B 、D 分别作BD 的垂线，使AB=BC DE=DB 连接AD 、AC BE,过B 作AD 的垂线，垂足为F ,连接CE EF.（1）求证:AC?DF= :BF?BDF ,交 BD 于 H 、G.D（2）点C运动的过程中，/ CFE的度数保持不变，求出这个度数; CE// BF?并说明理由.28. 如图，在△ ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE/ BC交AC于点巳将厶ADE沿直线DE翻折，得到△ A D,E直线DA，EA分别交直线BC于点M，第10页（共78页）N .(1) 求证：DB=DM.(2) 若如=2，DE=6,求线段MN 的长.29. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A 、D 、G 在同一直线上，且 AD=3, DE=1,连接AC 、CG AE,并延长AE 交OG 于点 H .(1) 求证：/ DAE=Z DCG (2) 求线段HE 的长.30. 如图，△ ABC 中，点E 、F 分别在边AB, AC 上, BF 与CE 相交于点P ,且/ 仁/2丄/ A .(用含n 的代数式表示).DB(1)如图1,若AB=AC 求证：BE=CF(2)若图2,若AB M AC,①(1)中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：二.CE AC31 •如图1,在锐角△ ABC中，D、E分别是AB BC的中点，点F在AC上，且满足/ AFEN A, DM // EF交AC于点M .(1) 证明：DM=DA;(2) 点G在BE上，且/ BDGd C,如图2,求证：△ DES A ECF(3) 在图2中，取CE上一点H,使得/ CFHN B,若BG=5,求EH的长.32. 如图，正方形ABCD中，边长为12, DE±DC交AB于点E, DF平分/ EDC 交BC于点F,连接EF.(1)求证：EF=CF33. 如图，已知在厶ABC中，P为边AB上一点，连接CP, M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D, N为AP的中点，连接MN .若/ ACP玄ABD.(1)求证：AC?MN=BN?AP(2)若AB=3, AC=2,求AP 的长.DC34. 如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG勺对角线，点E在厶ABC 内, / CAEn Z CBE=90,当四边形ABCD和EFCG匀为正方形时，连接BF.（1）求证：△ CA0A CBF（2）若BE=1, AE=2 求CE的长.35. 如图①，矩形ABCD中, AB=2, BC=5 BP=1, Z MPN=90，将Z MPN 绕点P 从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB （或AD）于点E, PN交边AD （或CD）于点F,当PN旋转至PC处时，Z MPN的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D,此时，△ ABP △PCD（填么”或Q”；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，二丄的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.36. 如图，点M是厶ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、出、厶3 （图中阴影部分）的面积分别是1、4、25.则△ ABC的面积是 _____ .37. 如图，△ ABC中，/ ACB=90, AC=5, BC=12 CO丄AB于点O, D 是线段OB 上一点，DE=2 ED// AC (Z ADE< 90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长；(2)求PQ的长；(3)设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM- MQ|的值.38. 尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是厶ABC的中线, 且AF丄BE,垂足为P,设BC=a AC=b, AB=c.求证：a2+b2=5c?该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF,利用EFABC的中位线得到△ EPF^A BPA故寻書曙# ,Dr 1 A. LJL L£设PF=m PE=n用m , n把PA PB分别表示出来,再在Rt A APE Rt A BPF中利用勾股定理计算，消去m, n即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.(2)禾I」用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC, BD的交点，E, F分别为线段AO, DO 的中点，连接BE, CF并延长交于点M , BM, CM分别交AD于点G, H,如图2所示，求MG2+MH2的值.39•如图，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB, AC 上，/ AEDN B ,射线AG 分 别交线段D E BC 于点F , G ,且- (1)求证：△ ADF ^A ACQ长线上的任意一点，PF 交AD 于M , PE 交BC 于N , EF 交MN 于K.E, F 分别是AB, CD 的中点，P 为对角线AC 延的值.(2)若 FG坐4,求世AC ~2参考答案与试题解析（共40题）1. （2017?阿坝州）如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90,点P为射线BD, CE的交点.（1）求证：BD=CE（2）若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转，当/ EAC=90时，求PB的长；备用囹备坪圍【解答】解：（1厂.上ABC和厶ADE是等腰直角三角形，/ BACK DAE=90，••• AB=AC AD=AE / DAB=Z CAE•••△ADB^A AEC••• BD=CE（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB- AE=1.vZ EAC=90,二CE=「；I L - ' = !,.同（1）可证△ADB^A AEC•••Z DBA=Z ECAvZ PEB=Z AEC，• △PEB^A AECPB_BEACPB_ 12PB=—L§②当点E在BA延长线上时，BE=3图二vZ EAC=90,同（1）可证△ADB^A AEC.Z DBA=Z ECAvZ BEP Z CEA.△PEB^A AECB£AC CEL-'_ 一；PB_综上所述，PB的长为二或'_ '.5 52. (2017?常德)如图，直角△ ABC中，Z BAC_90, D在BC上，连接AD,作BF 丄AD分别交AD于E，AC于F.(1)如图1,若BD_BA 求证：△ ABE^A DBE;(2)如图2，若BD_4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证：①GM_2MC;② A G_AF?AC图1亂【解答】证明：(1)在Rt A ABE和Rt A DBE中，/BA=BD 应二BE •••△ABE^A DBE(2)①过G作GH// AD交BC于H,••• AG=BG••• BH=DH••• BD=4DC设DC=1, BD=4,••• BH=DH=2••• GH// AD ,G!L-HD.2m DC r••• GM=2MC;②过C作CN丄AC交AD的延长线于N ,贝U CN// AG, •••△AGM s^ NCM ,AG..GJ/lNC MC '由①知GM=2MC ,••• 2NC=AGvZ BACK AEB=90 ,•••/ ABF=Z CAN=90 -Z BAE,•••△ACN SA BAF,AF.-ABCN ACv AB=2AGAF.2AGCN AC••• 2CN?AG=AF?C,••• A*AF?AC3. （2017?杭州）如图，在锐角三角形 ABC 中，点D , E 分别在边AC, AB 上，AG 丄 BC 于点 G , AF 丄 DE 于点 F ,Z EAF=Z GAC【解答】 解：（1）v AG 丄BC, AF 丄DE,• / AFE=/ AGC=90,vZ EAF=/ GAC ,• / AED=/ ACBvZ EAD=/ BAC ,• △ ADE^A ABC,（2）由（1）可知：△ ADE^A ABC,•坐型=1•.忑氓=5由（1）可知：Z AFE=/ AGC=90 ,• Z EAF=/ GAC ,• △ EAF^A CAQ（1）求证：△ AD3A ABC;的值.4. （2017?眉山）如图，点 E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结 DE, 过顶点B 作BF 丄DE,垂足为F , BF 分别交AC 于H ,交CD 于G.（1） 求证：BG=DE（2） 若点G 为CD 的中点，求亠的值.【解答】解：(1)v BF 丄DE,•••/ GFD=90,vZ BCG=90,Z BGC=/ DGF,•••/ CBG Z CDE在^ BCG 与△ DCE 中，ZCBG=ZCDEBC 二 CDZ BCG =Z DCE•••△ BCG^A DCE( ASA ,••• BG=DE(2)设 CG=1,v G 为CD 的中点，A GD=CG=1由(1)可知：△ BCG^A DCE( ASA ),A CG=CE=,1A 由勾股定理可知：DE=BG=儿,[••• si n/ CDE J L J-,DE GD•••GF亠,5••• AB// CG• △ABH^A CGHAB BH._2• BH= n, GH= n,w J=5GF35. （2017?可池）（1）如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上，AE丄BF于点M，求证：AE=BF（2）如图2,将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是正方形,•/ ABC2 C, AB=BC••• AE 丄BF,•/ AMB=/ BAM+/ ABM=90 ,v/ ABM+/ CBF=90,•/ BAM=/ CBF.在厶ABE ftA BCF中,AB=CB ,k ZABE=ZBCF•••△ ABE^A BCF( ASA ,••• AE=BF(2)解:AE J BF,3理由：•••四边形ABCD是矩形，•••/ ABC=/ C,••• AE 丄BF,•••/ AMB=Z BAM+Z ABM=90 ,vZ ABM+Z CBF=90,•••Z BAM=Z CBF,•••△ ABE^A BCF6. (2017?泰安)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分Z BAD,点P是AC 延长线上一点，且PD丄AD.(1)证明：Z BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.【解答】(1)证明：v AB=AD, AC平分Z BAD,•AC丄BD,•Z AC&Z BDC=90,••• AC=AD•••/ ACD=/ ADC,•••/ ADC+Z BDC=90,••• PD 丄AD,•••Z ADC+Z PDC=90,•••Z BDC=/ PDQ(2)解：过点C作CM丄PD于点M ,vZ BDC=/ PDC•CE=CMvZ CMP=Z ADP=90 , Z P=Z P,•△CPM^A APD,设CM=CE=xv CE CP=2 3,• PC^x,v AB=AD=AC=13r.\1\■37. (2017?天水)△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，/ BACKEDF=90,△ DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合，将厶DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△ BPE^A CQE(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ并求当BP=2 CQ=9时BC 的长.F【解答】（1）证明：•••△ ABC是等腰直角三角形,•••/ B=Z C=45 , AB二AC，••• AP=AQ••• BP=CQ••• E是BC的中点，••• BE=CE在厶BPE ft^ CQE中，BE=CE一…厶，BP=CQ•••△ BPE^A CQE( SAS ;(2)解：DEF是两个全等的等腰直角三角形,.•./ B=Z C=Z DEF=45,vZ BEQ=/ EQC+Z C,即/ BEF+Z DEF=Z EQG Z C,.Z BEF+45°=Z EQC+450,.Z BEP Z EQC.△BPE^A CEQv BP=2 CQ=9 BE=CE.BW=18 ,.BE=CE=3 :,.BC=6：:.8. (2017?绥化)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分Z DEB F 为CE 的中点，连接AF, BF,过点E作EH// BC分别交AF , CD于G , H两点.(1)求证：DE=DC(2)求证：AF丄BF;(3)当AF?GF=28时,请直接写出CE的长.【解答】解：(1)v四边形ABCD是矩形, ••• AB// CD,•••/ DCE=/ CEB••• EC平分/ DEB•••/ DEC=/ CEB•••/ DCE=/ DEC••• DE=DC(2)如图,连接DF ,•••DE二DC F为CE的中点,••• DF 丄EC,•••/ DFC=90 ,在矩形ABCD中 , AB二DC / ABC=90 ,••• BF=CF=EF=EC,•••/ ABFN CEB• Z DCE=/ CEB•••/ ABF=Z DCF,在厶ABFft^ DCF中,•••△ ABF ^A DCF ( SAS ,•••/ AFBN DFC=90, ••• AF 丄 BF ;(3) CE=4 ：理由如下：••• AF 丄BF,•••/ BAF+Z ABF=90,••• EH// BC,Z ABC=90,•••Z BEH=90,•••Z FEF+Z CEB=90,vZ ABF=Z CEB• Z BAF=Z FEHvZ EFG Z AFE• △ EF3A AFE_,即 EP=AF?GFEF AF v AF?GF=28• EF=2 一 ,• CE=2EF=4：9. (2017?雨城区校级自主招生)在 Rt A ABC 中,Z BAC=90 °过点B 的直线MN // AC, D 为BC 边上一点,连接 AD ，作DEX AD 交MN 于点E,连接AE.(1)如图 1,当Z ABC=45时,求证：AD 二DEBF^CF. ■:-,AB 二 DC贝U/ BDE+Z FDE=90,••• DE 丄 AD ,•••Z FDE+Z ADF=90, •••Z BDE=/ ADF, vZ BAC=90,Z ABC=45, • Z C=45, v MN // AC,• Z EBD=180-Z C=135 , vZ BFD=45 , DF 丄 BC, • Z BFD=45 , BD=DF • Z AFD=135 , • Z EBD=/ AFD,在△BDE 和△ FDA 中ZEBD=ZAFDBD 二DF ,Z BDE =Z AD ?• △ BDE^A FDA (ASA ),• AD=DE(2)解:DE=「；AD ,理由：如图2,过点D 作DG 丄BC,交AB 于点G , 贝UZ BDE F Z GDE=90 ,v DE 丄 AD , •••/ GDE+Z ADG=90,[?并请说明理由.【解答】(1)证明：如图1,过点D 作DF 丄BC,交AB 于点F ,•••/ BDE=/ ADG,vZ BAC=90,Z ABC=30,:丄 C=60,v MN // AC,•••Z EBD=180-Z C=120,vZ ABC=30, DG丄BC,•Z BGD=60,•Z AGD=120,•Z EBD=/ AGD,•△BD0A GDA在Rf B DG中，一希30 =_ ,• DE= 'AD.10. （2017?深圳模拟）如图1,边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D^C^B向终点B运动，直线EP交AD于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1) 求证：AF=AR（2）设点P 运动的时间为t ,①求当t 为何值时，四边形PRBC 是矩形?【解答】(1)证明：如图，在正方形 ABCD 中，AD=AB=2 ••• AE=AB ••• AD=AE•••/ AED=/ ADE=45, 又••• FG 丄 DE,•••在 RtAEGR 中,/ GER / GRE=45, •••在 RtAARF 中,/ FRANAFR=45, • / FRA=/ RFA=45, • AF=AR（2）解：①如图，当四边形PRBC 是矩形时, 贝U 有 PR// BC, • AF / PR,• △ EAF^A ERPAF EAAR 2AF -二由2 '2 ~2+AR ，解得：匕-1- 或（不合题意，舍去），I '「 I 7,•••点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度沿D^CF 向终点B 运动,（秒）;②如图2,连接PB •请直接写出使厶PRB 是等腰三角形时t 的值.即:(1)得 AF=AR②若PR=PB过点P作PK L AB于K,设FA=x 贝U RK J BR J (2 -x),2 2•••△ EFA^A EPK解得：x=±近^-3 （舍去负值）;••• t=」I （秒）；2若PB=RB则厶EFA^A EPBBP」AB=- X 2—3 3 3.CP=BC- BP=2-2县,33，.谒(秒)-综上所述，当PR=PB时，t= [ •;当PB=RB时，t--秒.2 '--111. (2017?江汉区校级模拟)如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, 延长CB至点F，使CF=CA连接AF, / ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接E0.(1) 已知BD=T:，求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.【解答】解：(1)v四边形ABCD是正方形,•••△ ABD是等腰直角三角形，••• 2AB^=BD2, ••• BD=]:, ••• AB=1,•••正方形ABCD的边长为1;(2) CN=2EM证明方法一、理由：•••四边形ABCD是正方形,••• AC丄BD, 0A=0CV CF=CA CE是/ ACF的平分线,••• CELAF, AE=FE••• EO%A AFC的中位线••• EO// BC-BC ~CN•••在Rt A AEN中，OA=OCEO=OC=AC,2PC BM J•CM=「EMV CE平分/ ACF,•/ OCM=Z BCN,V Z NBC=/ COM=90 ,•△CBN^A COM ,•CM 二CC_ 1••苛BC二占,•CN= [CM ,即CN=2EM.证明方法二、V四边形ABCD是正方形，•Z BAC=45=Z DBC,由（1）知,在Rt A ACE中,EO」AC=CO •Z OEC Z OCEV CE平分Z ACF,•Z OCE Z ECB Z OEC•EO// BC,•Z EOM=Z DBC=45 ,V Z OEM=Z OCE•△EOM^A CAN,•EM EO 1CN~CA'2•CN=2CM12. (2017?济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放，其中/ A i CB = / ACB=90, /A i=Z A=30°.(1)将图1中厶A i B i C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P i是A i C与AB的交点，点Q是A i B i与BC的交点，求证：CR=CQ(2)在图2中，若AP i=a,贝U CQ等于多少？(3)将图2中厶A i B i C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3)，点P2是A2C与APi的交点•当旋转角为多少度时，有△ AP i C sA CPP2?这时线段CP与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？.【解答】(1)证明：I / BiCB=45, / B i CA=90°,B i CQ=/ BCP=45°;又B i C=BC / B i=/ B,B i CQ^A BCP (ASA)--CQ=CP；(2)解：如图：作P i D丄AC于D，v/ A=30°，• P i D^-AP i;v/ P i CD=45，•••CRMP I D Q A P I;2又AP i=a, CQ=CP,• CQ=「a；2(3)解：当/ P i CR=/ P I AC=30时，由于/ CPF2=/AP i C,则厶AP i C s^ CPR, 所以将图2中厶A i B i C绕点C顺时针旋转30°到厶A2B2C时，有△ AP i C sA CPP2.P1巳CP-V2i3. (20i7?惠阳区模拟)把Rt A ABC和Rt A DEF按如图(i)摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F 在同一条直线上.已知：/ ACB=/ EDF=90, / DEF=45,AC=8cm BC=6cm EF=i0cm 如图(2), △ DEF从图(i)的位置出发，以icm/s 的速度沿CB向厶ABC匀速移动，在△ DEF移动的同时，点P从厶ABC的顶点A 出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t (s).(1) 用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2) 连接PE,设四边形APEQ的面积为y (cm2),试探究y的最大值;(3) 当t为何值时，△ APQ是等腰三角形.这时【解答】(1)解：AP=2t vZ EDF=90, / DEF=45,•••/ CQE=45=Z DEF, ••• CQ=CE=t••• AQ=8- t,t的取值范围是：O W t<5;(2)过点P 作PG丄x 轴于G,可求得AB=1O, SinB二,PB=1O- 2t,5• PG=PBSinB= (10 - 2t)• y=S\ ABC—S\ PBE—S\QC冷心X诸(5) X啟10如寺2=罟，罟伕普"詈)若AP=PQ 如图①：过点P作PH丄AC,贝U AH=QH」,PH// BCAP ABAH-'AC 52t108-t_82解得：-二上-(s) 若AQ=PQ如图②：过点Q作QI丄AB,则AI=P=AP=tvZ AIQ=Z ACB=90Z A=Z A ,EB=6-t, 265•••当-二亠(在O W t< 5内)，y有最大值，y最大值二…‘一(cm2)(3)若AP=AQ则有2t=8 - t解得:14. (2017?庐阳区一模)△ ABC, / A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a b 、c , 一条 直线DE 与边AC 相交于点D ,与边AB 相交于点E.(1)如图①，若DE 将△ ABC 分成周长相等的两部分，贝U AD+AE 等于多少；(用 a 、b 、c 表示)(2) 如图②，若AC=3 AB=5, BC=4. DE 将厶ABC 分成周长、面积相等的两部 分，求AD ;(3) 如图③，若DE 将△ ABC 分成周长、面积相等的两部分，且 DE// BC,则a 、 b 、c 满足什么关系?【解答】解：(1)v DE 将厶ABC 分成周长相等的两部分, ••• AD+AE=CBBGBE 丄(AB+AGBC )丄(a+b+c );(2)设 AD=x, AE=6- x ,••• S ADE =-AD?AE?si nA=3 即：丄x (6-x ) ?_=3, 解得：沪斗(舍去)，x 2 J ••• AD=」;2综上所述, 8或辿 或 32 t_3 或时，△ APQ 是等腰三角形.C J3图3(3)v DE// BC,•••△ ADE^A ABC,15. （2017?嘉兴模拟）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，/ PAQ=45,将/ PAQ 绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形 ABCD 的两个外角/ EBC 和/FDC 的平分线分别交于点M 和N ,连接MN .（1） 求证：△ ABM s^ NDA ;（2） 连接BD ,当/BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD 是正方形,•••/ ABC=/ ADC=Z BAD=90 ,••• BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，•••/ ABM=Z ADN=135 ,vZ MAN=4° ,•••/ BAM=Z AND=45 -Z DAN,c,2 (a+b+c ),•••△ABM s^ NDA;(2)解：当Z BAM=22.5时，四边形BMND为矩形；理由如下:vZ BAM=22.5，Z EBM=45,•••Z AMB=22.5 ,•••Z BAM=Z AMB,•AB=BM,同理AD=DN,v AB=AD • BM=DN,v四边形ABCD是正方形•Z ABD=Z ADB=45,•Z BDN=Z DBM=9°•Z BDN+Z DBM=18° ,•BM// DN•四边形BMND为平行四边形，vZ BDN=90 ,•四边形BMND为矩形.16. (2017?肥城市三模)如图，在锐角厶ABC中，D, E分别为AB, BC中点，F 为AC上一点，且Z AFE=/ A, DM // EF交AC于点M .(1)点G 在BE上，且Z BDG=/ C,求证：DG?CF=DM?EG(2)在图中,取CE上一点H ,使Z CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.【解答】(1)证明：如图1所示,••• D, E分别为AB, BC中点，••• DE// ACv DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形，••• DM=EF如图2所示，v D、E分别是AB BC的中点，••• DE/ AC,•••/ BDE=/ A,Z DEG=/ C,vZ AFE=/ A,•••/ BDE=/ AFE,•••Z BDGb Z GDE=/ C+Z FECv/ BDG=Z C,•Z GDE=/ FEC•△DEa A ECF•丄亠•x 一丨，••二二DM CF•DG?CF=DM?EG(2)解：如图3所示,vZ BDG=Z C=Z DEB Z B=Z B ,•△BDG^^ BED,•二」—一•- BD2=BG?BEvZ AFE=/ A, Z CFH=/ B ,•Z C=180 -Z A-Z B=180°-Z AFE-Z CFH=/ EFH 又vZ FEH=/ CEFEH =-EF_EF••• EP=EH?EC•••DE// AC, DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形,••• EF=DM=DA=BD••• BG?BE=EH?EC• BE=EC17. (2017?肥城市模拟)△ ABC中，AB=AC 点D、E、F分别在BC AB、AC上, / EDF玄 B.(1)如图1,求证：DE?CD=DF?BE(2) D为BC中点如图2,连接EF.①求证：ED平分/ BEF；v D 为BC 中点,••• BD=CD BE.DEBD DFvZ B=Z EDF,•••△ BDPA DFE•••Z BED=/ DEF , ••• ED 平分Z BEF ；②v四边形AEDF 为菱形,• Z AEF=/ DEF ,vZ BED=/ DEF ,• Z AEF=60 ,v AE=AF:丄 BAC=60,②若四边形AEDF 为菱形，求/ BAC 的度数及 【解答】（1）证明:：△ ABC 中，AB=AC•••/ B=Z C.vZ B+Z BDE F Z DEB=180,Z BDE^Z EDF+Z FDC=180,Z EDF=/ B,•••/ FDC=/ DEB•••△ BDE^^ CFD ,即 DE?CD=DF?B ；（2）解：①由（1）证得△ BD0A CFD ,的值.vZ BAC=60,•••△ ABC是等边三角形,•••Z B=60°,•••△ BED是等边三角形,•BE=DEv AE=DE•AE丄AB,2=1AB218. （2017?长宁区二模）如图,在厶ABC中，点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段BC上,联接AD交线段PQ于点E ,且—,点G在BC延长线上,Z ACG的平分线交直线PQ于点F.（1）求证：PC=PE（2）当P是边AC的中点时,求证：四边形AECF是矩形.【解答】（1）证明：v PQ// BC,△AQE^^ABD, △AEF^A ADC,QE AB PE AEBD AD CD _AD'PE QECD BDCP QECD BDCP PECD~CD••• PC=PE(2)v PF// DG,•••/ PFC玄FCGv CF平分/ PCG•••/ PCF玄FCG•••/ PFC玄FCG••• PF=PC••• PF=PEv P是边AC的中点,••• AP=CP•••四边形AECF是平行四边形,v PQ// CD,•••/ PEC2 DCE•••/ PCE2 DCE•••/ PCE■/PCF二(/ PCD F Z PCG =90。
