组合数学第七章

(5)(方法一
直接法)可分为三类:
第 1 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C31 C94 种选法;
第 2 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C32 C93 种选法;
第 3 类,甲、乙、丙 3 人均参加,有C33 C92 种选法.
所以,共有C31 C94 + C32 C93 + C33 C92 =666(种)不同的选法.
(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务,
有多少种不同的选法?
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法?
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(2)“10人相互通一次电话,共通多少次电话?”是组合问题.( √ )
(3)组合概念中的“n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的”,即从n
个不同的元素中进行m次不放回地取出.( √ )
(2)从 1,3,5,7 中任取两个数相乘,所得不同的积为
1×3=3,1×5=5,1×7=7,3×5=15,3×7=21,5×7=35,共 6 个.
(3)问题(1)所求的解与取出元素的先后顺序有关.如取出元素 1 和
3
和 1=3
1
3,则商为
3
两个不同结果,是排列问题.问题(2)所求的解与取出元素的先后顺序
98
②C100
(1)解①3C83 -2C52

也就是：机智+精巧。
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数

G a b H b a c d d c a b c d K
但是我们不难看出这三个图描述的四个对象 之间的关系是相同的，实质上是同一个图。 它们也就是同构的图。
2019/2/17 离散数学 14
图同构的定义
定义7.2.1 设G和H是两个图。如果存在两个双射 ：V(G) V(H) (顶点集之间的双射) ： E(G) E(H)(边集之间的双射)， 使得 (在下)对应边的端点是(在下) 对应的： G(e)=uv当且仅当H((e))= (u) (v)， 则称G和H是同构的。记为GH。 如果V(G)=V(H)，E(G)=E(H)且G= H ，则称G 和H是相等的，记为G=H。 显然G=H，则G≌H，反之不然。
2019/2/17 离散数学 1
组合数学所研究的中心问题与“按照一定的规 则来安排一些物件”的数学问题有关，包括存 在性问题、计数问题、构造问题、最优化问题 等。 我国古代就已开始了对组合学的研究，并对一 些有趣的组合问题给出了正确的答案. 越来越 多的学者认为中国是早期组合数学的发源地. 本篇主要介绍组合数学中的计数问题，以及解 决计数问题的数学工具，如加法法则、乘法法 则、容斥原理、递推关系和母函数等.
G
G
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离散数学
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两种特殊的图
零图: G(p,0) ，即无边的图。 平凡图: G(1,0)，即只有一个孤立点 的图。
2019/2/17
离散数学
13
§7.2 图的同构
图描述客观对象间的关系，几何形状不是重要的。 同一个图的图形不是唯一的，其差异可以是很大。 比如，下面的三个图在图形上是完全不相同的：
图的定义
定义7.1.1 一个图G是一个有序三元组 G=<V，E，>, 其中: (1)V是非空顶点集合； (2)E是边集，E∩V= ； (3)是E到{uv | u、v∈V}的映射，称为关联函 数。uv=vu， u、v∈V。 通常用V(G)、E(G)和G分别表示图G的顶 点集、边集和关联函数。 一个图可以用平面上的一个图形表示。常将 一个图与表示它的图形等同起来。

求它落到地面时的速度和所需时间
两端积分得
因此有
注意“－”号
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
思考与练习
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6
例7
作业
P309 2 (2); P315 1 (3), (6); 2 (5); P323 1 (5), (7); 2 (3); 4
运动,
在开始时刻
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
直到 t = T 时 F(T) = 0 .
如果开始时质点在原点,
解: 据题意有
t = 0 时
设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .