四川省资阳市2016届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |2x －4x ＜0，x ∈*N }，B ＝{x |81x *∈-N ，x ∈*N }，则A R ð B 中元素的 个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【命题意图】考查集合概念及运算，意在考查学生的运算能力.【解析】解不等式2x －4x ＜0可得0＜x ＜4，所以A R ð＝{x |x ≤0或x ≥4，x ∈*N }＝{x |x ≥4，x ∈*N }.由81x *∈-N ，x ∈*N ，知x 可以为2,3,5,9，所以B ＝{2,3,5,9}，所以A R ð B ＝{5,9}，即A R ð B 中元素的个数为2.故选B.2．已知复数z ＝2i1i-++ (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为 ( ) A.(1,23-) B.(25,23-) C.(21,23-) D.(21,2) 【答案】C【命题意图】考查复数概念及运算，意在考查学生的运算能力.3．命题“任意x ∈[41,3]，2x －a －2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a ≥9 B.a ≤8 C.a ≥6 D.a ≤11 【答案】A【命题意图】考查命题及充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力. 【解析】命题“任意x ∈[41,3]，2x －a －2≤0”为真命题的充要条件是a ≥7，故充分不必要条件是集合[7，＋∞)的真子集，故选A.4．一个盒内有5个月饼，其中两个为果浆馅、三个为五仁馅，现从盒内随机取出两个月饼，若事件A =“取到的两个月饼为同一种馅”，B =“取到的两个月饼都是五仁馅”，则概率()A B P = ( ) A.51 B.53 C.41 D.43【答案】D【命题意图】考查排列、组合的应用及条件概率的求法，意在考查学生的计算能力.5．已知()x f 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()x f ＝－2x ＋2x ，若实数a 是由不等式()()a f a f 282-≥-获得的解中的最大整数，则()121d ax x --⎰的值为( )A.6B.10C.14D.20【答案】B【命题意图】考查函数的性质：利用函数的奇偶性确定函数解析式、利用函数的单调性解不等式以及求定积分.【解析】∵()x f 是奇函数，∴当x ＞0时，()x f ＝2x ＋2x .作出函数()x f 的大致图象如图中实线所示，结合图象可知()x f 是R 上的增函数，由()()a f a f 282-≥-，得8－2a≥－2a ，解得－2≤a ≤4，故a＝4，因此()121d ax x --⎰=()4121d x x --⎰=()412--xx=10.故选B.6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为( )A.1B.21C.41D.81 【答案】A【命题意图】本题考查程序框图的读图、数列求值.意在考查学生的运算能力和识图能力．【解析】依题意得，运行程序后输出的是数列{n a }的第 2 017项，其中数列{n a }满足：1a ＝1，12111.8n n n n n a a a a a +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，，，注意到2a ＝81，3a ＝41，4a ＝21，5a ＝1，6a ＝81，…，该数列中的项以4为周期重复出现，且2 017＝4×504＋1，因此201711a a ==，即运行程序后输出的S 的值为1.故选A. 7．将函数3π4sin(6)5y x =+图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，再向右平移π5个单位长度得 到函数()x g y =的图象，则函数()x g y =图象的一条对称轴方程可以是（ ） A.=x 2π9 B.=x 5π24 C.=x 3π20 D.=x 7π10【答案】C【命题意图】考查三角函数的图象与性质：图象平移及对称性.8．某校高三在一轮复习完成以后，为了巩固学生的复习成果，就一轮复习中暴露出来的问题连续 对学生进行了九次跟踪测试，考试成绩统计如下表：A.8B.26C.58D.526【答案】B【命题意图】考查回归直线、两条平行直线间的距离，意在考查学生的计算能力.【解析】因为120,5==y x ，所以回归直线ˆy =bx +a 过点（5，120），则5b +a =120,由此可得点（a ，b ）在直线x +5y －120=0上.于是两条平行直线x +5y －94=0与x +5y －120=0间的距离即为点（a ，b ）到直线x +5y －94=0的距离，而两条平行直线x +5y －94=0与x +5y －120=0间的距离为262626519412022==+-.故选B.9．设x ，y 满足约束条件222x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，，且z ＝x ＋a y 的最小值为6，则a ＝( )A.-3B.2C.-3或2D.3或-2【答案】B【命题意图】本题考查线性规划，意在考查学生利用数形结合思想解答问题的能力和计算能力.10．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正 方形).若削去的几何体中原正方体的顶点到截面的距离为h ，且削去的几何体中内切球的半径为R ，则Rh的值为 ( )A.26 B.23 C.1+3 D.321+【答案】C【命题意图】本题考查三视图、球的内切问题以及多面体的体积问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【解析】由题设所给的三视图，可知削去的几何体是一个以原正方体的顶点为顶点，正方体的三条棱为侧棱的三棱锥，且底面是一个以正方体面对角线为边的等边三角形，于是该三棱锥内切球球心到各面的距离为R .以内切球球心为顶点，三棱锥各面为底面把三棱锥分割为四个小三棱锥，于是有222131331⨯⨯⨯⨯=R hS +RS 31，即RS R hS +=6（其中S 为三棱锥的底面面积），又S = 60sin 222221⨯⨯⨯=23，所以R h =S S +6==+323261+3.故选C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线2y ＝8x 的准线相交于B A ,两点．若AOB △的面积为6，则双曲线的离心率为( ) A.213 B.2 C.3 D.324 【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生的计算能力.12．已知()x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若()1f ＜5，()11f ＝m ma ma +-2－1(m ≠0)， 其中a ∈[1,3]，则实数m 的取值范围是 （ ）A.6{|00}7m m m <<<或 B.1{|10}3m m m <<<或 C.5{|010}3m m m <<-<<或 D.11{|20}26m m m <<<<或 【答案】A【命题意图】本题是一个考查函数性质的综合性的函数与不等式题型，综合了函数的周期性、奇偶性、单调性以及利用恒成立不等式求解参数的取值范围问题，意在考查学生综合解决问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分.将答案填在答题纸上）13．已知9(a x -的展开式中，3x 的系数为83，则常数a 的值是_________.【答案】23【命题意图】考查二项式，利用二项展开式中项的系数确定参数值.【解析】919C ()(r r r r a T x -+=99922299C (1)()()C (1)22r r rr r r r r r rx a a x x-+---=-=-,当392=-+r r ，即r = 8时，888293C (1)28a --⋅=，解得 23a =.14．若平面向量,a b 满足|3|1-≤a b ，则·a b 的最小值是______. 【答案】112-【命题意图】本题考查平面向量、最小值，意在考查学生的计算能力. 【解析】由|3|1-≤a b ，得()2222|3|39|||61-=-=+-⋅≤a b a b a b |a b ，又229|||6||||6+≥⋅≥-⋅a b |a b a b ，则166+⋅≥-⋅a b a b ，所以112⋅≥-a b ，故当3||=||a b 且a,b 方向相反时，⋅a b 的最小值为112-. 15．已知函数()x f x x x 2sin 2cos 2++=，π()3a f '=，则过曲线x x y 2343-=上一点()b a P ,的切线方程为_________. 【答案】2890x y --=【命题意图】本题考查导数的运算，导数的几何意义，意在考查学生的计算能力.16．在△ABC 中，C ∠＝2A ∠，25tan =A ，且27 BA · CB ＝－176,则AC 的长度为______________.【命题意图】本题考查解三角形，其中涉及的知识点为三角恒等变换、正弦定理及向量数量积的应用，意在考查学生公式熟记能力及计算能力. 【解析】∵25tan =A ，∴49451tan 12=+=+A ，即94cos 2=A ，又025tan >=A ，故32cos =A ，∵C ∠＝2A ∠，∴281cos cos 22cos 1199C A A ==-=-=-，∴sin C =954，sin A =35. cos B =-cos()A C +=A sin ·sin C -A cos ·C cos ＝2722. ∵在△ABC 中，sin AB C =ABC sin ，∴AB =34BC .∵27BA ·CB =- 176，cos B =2722，∴| BA || CB |＝8，∴BC =6，AB =364，∴AC =B AB BC AB BC cos 222⋅⋅-+=2722364623326⨯⨯⨯-+.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和23231++-=n n S ，数列{}n b 满足()n n a n b 3log 11+=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本题考查利用数列的前n 项和公式求通项公式，运用裂项相消法求数列的前n 项和，意在考查学生的计算能力，分类讨论思想.18．（本小题满分12分）为了了解高中学生在校期间身体发育状况，某市对其120 000名在校男生进行身高统计，且所有男生的身高服从正态分布N (168,16).统计人员从市一中高二的男同学中随机抽取了80名进行身高测量，所得数据全部介于160 cm 和184 cm 之间，并将测量数据分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，然后按上述分组方式绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）评估市一中高二年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； （2）求这80名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；（3）在这80名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取3人，将该3人中身高排名(从高到低)在全市前156名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据：若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.【命题意图】本题主要考查统计与离散型随机变量分布列知识的交汇问题，意在考查学生识图和计算能力.19.（本小题满分12分）如图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2. （１）若点E ，H 分别为AB ，DC 的中点，求证：平面H BD !∥平面DE A 1； （２）在线段AB 上是否存在一点E ，使二面角1D -EC -D 的大小为π3？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【命题意图】本题考查了空间几何体中的平行关系以及利用空间向量求角，意在考查学生的空间想象能力及计算能力.【解析】（1）证明：四边形ADD 1A 1为正方形，连接AD 1，设A 1D ∩AD 1＝F ，则F 是AD 1的中点，又点E 为AB 的中点，连接EF ，则EF 为△ABD 1的中位线，所以EF ∥BD 1.又BD 1⊄平面A 1DE ，EF ⊂平面A 1DE ， 所以BD 1∥平面A 1DE .因为BH //DE ，且DE ⊂平面A 1DE ，BH ⊄平面A 1DE ，所以BH ∥平面A 1DE ，又BD 1 BH =B ，所以平面H BD !∥平面DE A 1.（2）根据题意，得DD 1⊥DA ，D 1D ⊥DC ，AD ⊥DC ，则以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)．20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为12F F ,，且离心率e =31，点P 在该椭圆上满足2PF =c 38(c 为焦半距).（1）是否存在点P ,使12PF F △的边长是由自然数构成的公差为2的等差数列,若存在,求出实数c 的值;若不存在，请说明理由；（2）当c =1时，A 是椭圆C 的左顶点，且M ，N 是椭圆C -+MN 是否过定点？若是，求出定点的坐标；否则说明理由.【命题意图】本题考查了椭圆要素的确定以及直线与圆锥曲线位置关系的探究，意在考查学生的计算、推理能力.由0=⋅AN AM 得()()0332121=+++y y x x ，整理可得()()()0931221212=++++++m x x km x x k . 将（ⅰ）（ⅱ）代入上式得()()098918389729122222=++++-+-+m k km km k m k ， 化简可得09541722=+-k km m ，则k m 3=或173k m =，此时，对于方程()07291889222=-+++m kmx x k ，均有0Δ>. 当k m 3=时，直线MN 过定点（-3，0），不符合要求； 当173k m =时，直线MN 过定点（173-，0）.综上所述，直线MN 过定点（173-，0）. 21. （本小题满分12分） 已知()x f ＝e x [3x ＋()21x a --2x +2]． （1）假设a ＝3，求()x f 的极大值与极小值；（2）是否存在实数a ，使()x f 在[]1,4--上单调递增？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．【命题意图】本题考查了利用导数探究极值、最值、单调区间以及求解参数取值范围，意在考查学生的分析计算能力.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .（1）求证：△ABC ∽△FCD ；（2）若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．【命题意图】该题考查了相似三角形的证明以及利用边角关系求解边长，意在考查学生的证明相似的能力及计算能力.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x (α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标方程化普通方程，利用参数方程求解最值问题，意在考查学生计算能力和转化思想及数形结合能力.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()x f ＝|2x ＋1|＋|2x －3|. （1）若关于x 的不等式()x f <|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程()20t f m ++=有实根，求实数m 的取值范围． 【命题意图】本题考查了绝对值不等式的应用，意在考查学生的运算能力和转化能力.【解析】（1）∵()x f ＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |>4，∴a <－32或a >52， ∴实数a 的取值范围为35(,)(,)22-∞-+∞ .（2）对于方程()20t f m ++=，Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0， 即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于()()3,221236m m m ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或()()13,2221236m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或()()1,221236,m m m ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩∴3131212222 m m m<≤-≤≤-≤<-或或，∴实数m的取值范围是[1,2]-．：。

高2016届零诊数学模拟试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集 {}{},|0,|1U R A x x B x x ==≤=>-，则集合（ ） A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|10x x -≤≤C ．{}|10x x x ≤-≥或 D ． {}|10x x x ≤->或2.不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ） A ．)3,0( B )2,3( C ．)4,3( D ．)4,2(3.若曲线002sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)与曲线ρ=相交于B ,C 两点，则||BC 的值为( ). A ．72 BC ．27D ．304.“||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．462π+B ．522π+C ．462π-D ．522π-6.甲、乙两名同学，在班级的演讲比赛中，得分情况如图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是 6 7 7 58 8 8 6 84 0 9 3 甲 乙A ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定7.执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CB A sin sin sin -=（ ） A ． 53 B ．53±C ． 54 D ． 54± 9.函数2()2ln f x x x bx a =+-+(0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A. B.2110.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y m n-=（0m >，0n >）有相同的焦点(),0c -和(),0c ，若c 是a 、m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A.41B.21 C.22 D. 33 11.已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈ 2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]1,3B. ()3,+∞C. ()1,3D.[)3,+∞12．已知数列{a n }满足a n =n ·p n （n ∈N +，0< p<l ），下面说法正确的是（ ）①当p=12时，数列{a n }为递减数列； ②当12<p<l 时，数列{a n }不一定有最大项；③当0<p<12时，数列{a n }为递减数列； ④当1p p-为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项 A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．②③第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.定义一种运算如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ＝ad －bc ，则复数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+i i 3211的共轭复数是__________． 14.如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=， E 为CD 的中点，则AB AE ⋅ 的值是 ． B CD E A15.如右上图所示，正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于 ．16.形如1(0)x y x x α=>的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数——两边对x 求导——代入还原；例如：(0)x y x x =>，取对数ln ln y x x =，对x 求导1ln 1y x y '=+，代入还原(ln 1)x y x x '=+；给出下列命题:①当1α=时，函数1(0)x y x x α=>的导函数是()121ln 0x x y x x x -'=⨯>；②当0α>时，函数1(0)x y x x α=>在10,e α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减；③当11e b e α>时，方程()0,1,0,0x b x b b x αα=>≠≠>有根；④当0α<时，若方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>有两根，则11e e b α<<；其中正确的命题是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点()2,2P ，倾斜角3πα=。

数学（理工农医类）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．设全集U=R ，集合{|1}A x x =≥-，集合{|13}B x x =-<<，则下列关系中正确的是（A ）B A ∈（B ）A B ⊂≠（C ）B A ⊂≠（D ）U ()A B =R ð2．设i 为虚数单位，复数21(1)1i i ++=-（A ）-i （B ）i （C ）-2i （D ）2i3．已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为T π=，则该函数图象的一个对称中心的坐标是（A ）(,0)3π（B ）(,0)6π（C ）(,0)12π（D ）(,0)3π-4．二项式61()x x -展开式中的第四项为（A ）-15 （B ）15（C ）-20 （D ）205．已知2()ln(1)f x x x =++，则0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆（A ）5 （B ）52 （C ）2 （D ）1 6．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AB 1与面ABC 1D 1所成的角等于（A ）30 （B ）45（C ）60（D ）907．在等差数列{}n a 中，21250a a +=，413a =，则数列{}n a 的公差等于 （A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）68．已知α、β是两个不重合的平面，l 是空间一条直线，命题p ：若α∥l ，β∥l ，则α∥β；命题q ：若α⊥l ，β⊥l ，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（A ）命题“p 且q ”为真 （B ）命题“p 或q ”为假（C ）命题“p 或q ”为真 （D ）命题“⌝p ”且“⌝q ”为真9．如图3，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，若以该椭圆的右焦点F 2为圆心的圆经过坐标原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于（A ）23 （B ）（C ）49 （D ）10．从A 、B 、C 、D 、E 、F 这6名运动员中选派4人参加4×100接力赛，参赛者每人只跑一棒，其中第一棒只能从A 、B 中选一人，第四棒只能从A 、C 中选一人，则不同的选派方案共有（A ）24种 （B ）36种 （C ）48种 （D ）72种11．过直线21y x =+上的一点作圆22(2)(5)5x y -++=的两条切线l 1、l 2，当直线l 1，l 2关于直线21y x =+对称时，则直线l 1、l 2之间的夹角为（A ）30 （B ）45 （C ）60（D ）9012．在区间[0，1]上任意取两个实数a 、b ，则函数31()2f x x ax b =+-在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为（A ）18 （B ）14 （C ）34（D ）78资阳市2008-2009学年度高三第三次模拟考试数学（理工农医类）试题第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．13．已知函数2()2(1)f x x x x =+≥-的反函数为1()f x -，则1(3)f -= . 14．抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为2，则点P 的坐标是 .15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱底面边长为1面积是_____________．16．△ABC 中 ，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，AH 为BC 边上的高，给出以下四个结论：①()0AH AC AB ⋅-=；②()AH AB BC AH AB ⋅+=⋅；③若0AB AC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形；④sin ||AHAC c B AH ⋅=．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知sin()4πα-=，tan 7β=，其中,(0,)2παβ∈． （Ⅰ）求sin α的值； （Ⅱ）求αβ+．18．（本小题满分12分）某校要组建一支篮球队，需要在高一各班选拔预备队员，按照投篮成绩确定入围选手，选拔过程中每人最多有5次投篮机会．若累计投中3次或累计3次未投中，则终止投篮，其中累计投中3次者直接入围，累计3次未投中者则被淘汰．已知某班学生甲每次投篮投中的概率为23，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求学生甲最多投篮4次就入围的概率；（Ⅱ）设学生甲投篮次数为随机变量ξ，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．（本小题满分12分）如图4，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD =CD =DE =2，AB =1，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥A -BCE 的体积．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x tx =+（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设不等式()0f x >的解集为P ，且集合{}|02x x P<≤⊆，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知动圆G过点(2, 0)M，并且与圆22(2)4N x y++=：相外切，记动圆圆心G的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l过点M且与轨迹E交于P、Q两点：①设点(0,4)H-，问：是否存在直线l，使||||HP HQ=成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．②过P、Q作直线12x=的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记||||||PA QBAB+=λ，求λ的取值范围．22．（本小题满分14分）数列{a n}中，11a=，232a=，且2112n n na a a c+=-+（其中n∈N*，c为常数，且1c>）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）证明不等式：112n na a+≤<<；（Ⅲ）比较11nk ka=∑与14039na+的大小，并加以证明．参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1-5：CDACB ； 6-10：ABCDB ； 11-12：CD.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13．1； 14．(1,2)±； 15．4π； 16．①②④．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）∵(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，∵sin()4πα-=，∴cos()4πα-=． ··············· 2分 则sin αsin[()]44ππα=-+))44ππαα=-+- ········· 4分45=+=． ····················· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，(0,)2πα∈，3cos 5α=，则4tan 3α=． ······ 8分则47tan tan 3tan()141tan tan 173αβαβαβ+++===---⨯． ·············· 10分∵,(0,)2παβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴34παβ+=-． ··········· 12分18．解：（Ⅰ）设“学生甲投篮3次入围”为事件A ；“学生甲投篮4次入围”为事件B ，且事件A 、B 互斥． ····························· 1分则328()()327P A ==； ························· 3分2232128()()33327P B C =⨯⨯⨯=． ····················· 5分故学生甲最多投篮4次就入围的概率为8816()272727P A B +=+=． ······ 6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则22211(3)()()333P ==+=ξ， ··· 7分 22223321212110(4)()()33333327P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， ············ 8分 2224218(5)()()13327P C ξ==⨯⨯⨯=． ··················· 9分则ξ10分故11081073453272727E ξ=⋅+⋅+⋅=． ··················· 12分19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF ．又∵AC =AD ，F 为CD 中点，∴AF ⊥CD ，因CD ∩DE =D ， ∴AF ⊥平面CDE . ··························· 4分（Ⅱ）延长DA ，EB 交于点H ，连结CH ，因为AB ∥DE ，AB =12DE ，所以A 为HD 的中点．因为F 为CD 中点，所以CH ∥AF ，因为AF ⊥平面CDE ，所以CH ⊥平面CDE ，故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角，而△CDE 是等腰直角三角形，则∠DCE =45°，则所求成锐二面角大小为45°． ············· 8分（Ⅲ）12112ABC S ∆=⨯⨯=，因DE ∥AB ，故点E 到平面ABC 的距离h 等于点D 到平面ABC 的距离，也即△AB C 中AC 边上的高2h == ················· 10分∴三棱锥体积A BCE E ABC V V --=三棱锥三棱锥113=⨯． · 12分 方法二 （Ⅱ）取CE 的中点Q ，连接FQ ，因为F 为CD 的中点，则FQ ∥DE ，故DE ⊥平面ACD ，∴FQ ⊥平面ACD ，又由（Ⅰ）可知FD ，FQ ，FA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图坐标系，则F （0，0，0），C （1-，0，0），A （0，0，B （0，1，E （1，2，0）．平面ACD 的一个法向量为(0,1,0)FQ =， ···················· 5分设面BCE 的法向量(,,)n x y z =，(1,1,3),(2,2,0)CB CE ==则0,0,n CB n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220,x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取(1,1,0)n =-．则0cos ,||||FQ n FQ n FQ n ⋅-<>==． ······· 7分∴面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小为45°． ·· 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE 的一个法向量为(1,1,0)n =-，(0,1,0)AB =．点A 到BCE的距离||0||AB n dn ⋅-===． ······················· 10分又BC ，BECE =，△BCE的面积12BCE S ∆=⨯ 11分三棱锥A -BCE 的体积13V ==． ··············· 12分20．解：（Ⅰ）当e t =-时，()e e x f x x =-，()e e xf x '=-． ·········· 1分由()e e >0x f x '=-，解得1x >；()e e <0xf x '=-，解得1x <． ······ 3分 ∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞． ······ 4分（Ⅱ）由不等式()0f x >的解集为P ，且{}|02x x P<≤⊆，可知，对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即e 0x tx +>即e xt x >-在(0,2]x ∈上恒成立． ······· 6分令e ()x g x x =-，∴2(1)e ()xx g x x -'=． ·················· 8分当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时，()0g x '<．∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减． ·········· 10分 所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)e g =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值． ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞． ··················· 12分21．解：（Ⅰ）由已知 ||||2||4GN GM MN -=<=，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支． ································· 2分设方程为22221()x y x a a b -=≥，则2c =，22a =，∴23b =． ·········· 3分 故轨迹E 的方程为221(1)3y x x -=≥． ·················· 4分（Ⅱ）①若存在．据题意，直线l 的斜率存在且不等于0，设为k （k ≠0），则l 的方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得2222(3)4430k x k x k --++=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，∴22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >． ·················· 5分由||||HP HQ =知，△HPQ 是等腰三角形，设PQ 的中点为00(,)K x y ，则HK PQ ⊥，即1HK PQ k k ⋅=-． ············· 6分而21202223x x k x k +==-，0026(2)3k y k x k =-=-，即22226(,)33k kK k k --． ∴222643123kk k k k +-⋅=--，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-，因23k >，故3k =-．故存在直线l ，使||||HP HQ =成立，此时l 的方程为36y x =-+． ····· 8分②∵1,2a c ==，∴直线12x =是双曲线的右准线，由双曲线定义得：11||||||2PA PM PM e ==，1||||2QB QM =，∴11||||(||||)||22PM QM PM QM PQ +=+=． ········· 9分方法一：当直线l的斜率存在时，∴21||2||PQ AB ==λ21===23k >，∴21103k <<，∴12<<λ. ····· 11分 当直线l 的斜率不存在时，||||PQ AB =，12λ=，综上1[2λ∈. ····· 12分 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有两个交点，∴233<<ππθ，过Q 作QC PA ⊥，垂足为C ，则||2PQC ∠=-πθ，∴||||2||2||PQ PQ AB CQ ==λ112sin 2cos()2==-πθθ，由233<<ππθ，得sin 1<≤θ，∴1[2λ∈． ··························· 12分22．（Ⅰ）解：11a =，2211113222a a a c c =-+=-=，∴2c =． ······ 2分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知21122n n n a a a +=-+， ∴2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=．∵a 1=1，故11n n a a +≤<． ······················· 4分 下面采用数学归纳法证明2n a <．当n =1时，a 1=1<2，结论成立． ···················· 5分 假设n =k 时，结论成立，即2k a <，则n =k +1时，2113(1)22k k a a +=-+，而函数213(1)22y x =-+在[1,)x ∈+∞上单调递增，由12k a ≤<， ∴2113(21)222k a +<-+=，即当n =k +1时结论也成立． ·········· 7分 综上可知：112n n a a +≤<<． ····················· 8分 （Ⅲ）解：由2112n n n a a a c +=-+，有11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，∴ 11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，∴111122n n n a a a +=---． ········ 10分 故1111111111111()22222n n n k k k n n n n a a a a a a a +==+++-=-=-=-----∑∑， 则1114039n n k k a a +=-∑2111111404139(53)(813)39(2)39(2)n n n n n n a a a a a a ++++++--+-==--． ······· 12分由11a =，232a =，求得3138a =． 当n =1时，2114039a a <；当n =2时，312114039a a a +=；当n ≥3时，由（Ⅱ）知311328n a a +=<<，有1114039n n k k a a +=>∑． ···························· 14分。

成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈Z|x2≤2x+3），集合A={0，1，2)，则=(A){-1，3）(B){-1，0）(C){0，3} (D){-1，0，3}2．复数z=(2+i)(1+i)的共轭复数为(A)3- 3i (B) 3+3i (C) 1+3i (D) 1- 3i3．已知函数f(x) =x3 +asinx，a∈R.若f(-l)=2，则f(l)的值等于(A)2 (B) -2 (C)1+a (D) 1-a4．如图，在正方体ABCD -A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E=EF=FG =GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC15．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)46．若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是(A)b>a (B)b<a (C)|b|<|a| (D)|b|>|a|7．已知，则slna的值等于(A)- (B)- (C) (D)8．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为(A)1 (B)2(C)3 (D)49．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-2)，N(l，0)．若动点M满足，则的取值范围是(A)[0，2] (B)[0，] (C)[-2，2] (D)[- ，]10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n ∈N*）”是由前n2个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“5阶幻方”的幻和为(A) 75 (B) 65 (C) 55 (D) 4511．已知双曲线C=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2= 2px(p>0) 与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且,则双曲线C的离心率为(A) 或(B) 或3 (C)2或(D)2或312.已知函数f(x)= ,若函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，则的值为(A) 250+2449 (B) 250 +2549 (C) 249 + 2449 (D) 249 +2549第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．(2+x)5的展开式中，含x2项的系数为（用数字作答）．14.已知公差大于零的等差数列{a n）中，a2，a6，a32依次成等比数列，则的值是____．15．某学习小组有4名男生和3名女生．若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为____．16．三棱柱ABC –A1B l C1中，AB =BC =AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3,若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为___ _______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且(I)求角A的大小；(Ⅱ)求sin2B+,sin2C+sinB sinC的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（I）证明：BD⊥平面PEF；(Ⅱ)若∠BAD =60°，求二面角B-PD-A的余弦值．19．（本小题满分12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50），[50，60)，[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，(I)用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；(Ⅱ)经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（I）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: =l(a >b >0)的短轴长为2，直线l与椭圆C 相交于A，B两点，线段AB的中点为M．当M与0连线的斜率为时，直线l的倾斜角为（I）求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若|AB|=2，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|≤.21．（本小题满分12分）已知函数f(x) =xlnx-2ax2 +3x-a，a∈Z.(I)当a=1时，判断x=1是否是函数f(x)的极值点，并说明理由；(Ⅱ)当x>0时，不等式f(x)≤0恒成立，求整数a的最小值，请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x) =x2 -a|x-1|-1，a∈R.(I)当a=4时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ) x0∈[0，2]，f(xo)≥a|x o+1|，求实数a的取值范围．。