北京市海淀区2012-2013高二上学期期末数学理科试题(word)

2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ={x|(x −1)(x +2)≤0}，B ={x|x <0}，则A ∪B =( ) A (−∞, 0] B (−∞, 1] C [1, 2] D [1, +∞)2. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1⋅a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为（ ） A 3 B 2 C 3或−2 D 3或−33. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）Ama nB nam Cma 2nDna 2m4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 180B 120C 276D 3005. 在四边形ABCD 中，“∃λ∈R ，使得AB →=λDC →，AD →=λBC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ） A 32 B 36 C 42 D 487. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A √2 B 1+√2 C 1+√3 D 2+√38. 若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T ．已知数列{a n }满足a 1=m(m >0)，a n+1={a n −1，a n >1，1an，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A 若a 3=4，则m 可以取3个不同的值B 若m =√2，则数列{a n }是周期为3的数列 C ∀T ∈N ∗且T ≥2，存在m >1，使得{a n }是周期为T 的数列 D ∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为________．10. 已知a =ln 12，b =sin 12，c =2−12，则a ，b ，c 按照从大到小排列为________．11. 直线l 1过点(−2, 0)且倾斜角为30∘，直线l 2过点(2, 0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．12. 在△ABC 中，∠A =30∘，∠B =45∘，a =√2，则b =________；S △ABC =________． 13. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →⋅AP →的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系中，动点P(x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (I)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________；(II)曲线W 上的点到原点距离的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=1−√2sin(x−π4)．（1）求函数f(x)的定义域； （2）求函数f(x)的单调增区间．16. 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%．（1）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p 的取值范围．17. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠DAB =90∘，∠CAB =30∘，BC =2，AD =4．把△DAC 沿对角线AC 折起到△PAC 的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，PB 的中点．（1）求证：平面EFH // 平面PBC ；（2）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．18. 已知函数f(x)=e x，A(a, 0)为一定点，直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S(t)．（1）当a=0时，求函数S(t)的单调区间；（2）当a>2时，若∃t0∈[0, 2]，使得S(t0)≥e，求a的取值范围．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,−12)，求△AOB（O为原点）面积的最大值．20. 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；表2（3）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. C4. B5. C6. A7. B8. D9. 210. c>b>a11. (1,√3)12. 2,√3+1213. [0, 1]14. ②③,2−√215. 解：（1）∵ sin(x−π4)≠0，∴ x−π4≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+π4, k∈Z}；（2）∵ f(x)=1−cos 2x−sin2xsinx−cosx =1+(cosx+sinx)=1+sinx+cosx=1+√2sin(x+π4)，又∵ y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，令2kπ−π2<x+π4<2kπ+π2，解得：2kπ−3π4<x<2kπ+π4，又注意到x≠kπ+π4，则f(x)的单调递增区间为(2kπ−3π4, 2kπ+π4)，k∈Z．16. 解：（1）设至少一张中奖为事件A，则P(A)=1−0.52=0.75…（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，−45，−145…故ξ的分布列为所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×(50%−2%−p)+(−45)×2%+(−145)×p=2.5−90%−145p…所以当1.6−145p>0时，即p<8725…所以当0<p<8725时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…17. 解：（1）∵ 点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，∵ 在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=2，AD=4，∴ AC=4，∠CAB=60∘，∴ △ADC是等边三角形，故H是AC的中点，∴ HE // PC同理可证EF // PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴ 平面EFH // 平面PBC；（2）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A(0, −2, 0)，P(0, 0, 2√3)，B(√3, 1, 0)因为E(0, −1, √3)，HE →=(0, −1, √3)，设平面PHB 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ HB →=(√3, 1, 0)，HP →=(0, 0, 2√3)，∴ {HP →⋅n →=0˙，即{√3x +y =0z =0，令x =√3，则y =−3， ∴ n →=(√3, −3, 0)…8分 cos <n →，HE →>=|n →|⋅|HE →|˙=32×2√3=√34∴ 直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为√34 （3）存在，事实上记点E 为M 即可因为在直角三角形PHA 中，EH =PE =EA =12PA =2在直角△PHB 中，PB =4，EF =12PB =2，所以点E 到P ，H ，A ，F 四点的距离相等 18. 解：（1） 因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a…当a =0，S(t)=12|t|e t ，其中t ≠0当t >0时，S(t)=12te t ，S′(t)=12(t +1)e t ，所以S ′(t)>0，所以S(t)在(0, +∞)上递增，… 当t <0时，S(t)=−12te t ，S′(t)=−12(t +1)e t ，令S′(t)=−12(t +1)e t >0，解得t <−1，所以S(t)在(−∞, −1)上递增令S′(t)=−12(t +1)e t <0，解得t >−1，所以S(t)在(−1, 0)上递减 …综上，S(t)的单调递增区间为(0, +∞)，(−∞, −1)，S(t)的单调递增区间为(−1, 0) （2）因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a 当a >2，t ∈[0, 2]时，S(t)=12(a −t)e t因为∃t 0∈[0, 2]，使得S(t 0)≥e ，所以S(t)在[0, 2]上的最大值一定大于等于e ， S′(t)=−12[t −(a −1)]e t ，令S ′(t)=0，得t =a −1…当a −1≥2时，即a ≥3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, 2)成立，S(t)单调递增，所以当t =2时，S(t)取得最大值S(2)=12(a −2)e 2令12(a −2)e 2≥e ，解得 a ≥2e +2， 所以a ≥3…当a −1<2时，即a <3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, a −1)成立，S(t)单调递增，S′(t)=−12[t −(a −1)]e t <0对t ∈(a −1, 2)成立，S(t)单调递减， 所以当t =a −1时，S(t)取得最大值S(a −1)=12e a−1，令S(a −1)=12e a−1≥e ，解得a ≥ln2+2，所以ln2+2≤a <3… 综上所述，ln2+2≤a… 19. 解：（1）因为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点，∴ a =√3，b =1，椭圆M 的方程为：x 23+y 2=1...4分（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，因为AB 的垂直平分线经过点(0, −12)，显然直线AB 有斜率， 当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线为y 轴，则x 1=−x 2，y 1=y 2， 所以S △AOB=12|2x 1||y 1|=|x 1||y 1|=|x 1|⋅√1−x 123=√x 12(1−x 123)=√13x 12(3−x 12)，∵ √x 12(3−x 12)≤x 12+(3−x 12)2=32，∴ S △AOB ≤√32，当且仅不当|x 1|=√62时，S △AOB 取得最大值为√32...7分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y =kx +t ， 所以{y =kx +tx 23+y 2=1，代入得到(3k 2+1)x 2+6ktx +3t 2−3=0， 当△=4(9k 2+3−3t 2)>0，即3k 2+1>t 2①，方程有两个不同的实数解； 又x 1+x 2=−6kt3k 2+1，x 1+x 22=−3kt3k 2+1...8分所以y 1+y 22=t 3k 2+1，又y 1+y 22+12x 1+x 22−0=−1k ，化简得到3k 2+1=4t②代入①，得到0<t <4，…10分 又原点到直线的距离为d =√k 2+1，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，所以S △AOB =12|AB||d|=2√k 2+1√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，化简得：S △AOB =14√3(4t −t 2)...12分∵ 0<t <4，所以当t =2时，即k =±√73时，S △AOB 取得最大值为√32． 综上，S △AOB 取得最大值为√32...14分法3：改变第1列得：改变第4列得：（写出一种即可） …（2） 每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；则第一行之和为2a −1，第二行之和为5−2a ，{2a −1≥05−2a ≥0，解得a =1，a =2．… ②如果操作第一行则每一列之和分别为2−2a ，2−2a ，2a −2，2a 解得a =1 … 综上a =1 …（3） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2， 但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于∑∑|nj=1m i=1a ij |， 可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …。

2012-2013学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合U={x∈Z|0≤x＜7}，A={1，2，3}，B={5，4，3，2，1}，则A∩∁U B=（）A．∅B．{1，2，3}C．{1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，6}2．（4分）已知a=31.2，b=1.20，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 3．（4分）已知向量=（x，1），=（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．﹣2B．2C．0D．4．（4分）已知向量，满足||=2，||=1，且•（+）=3，则＜，＞=（）A．60°B．75°C．90°D．120°5．（4分）函数y=lnx2的部分图象可能是（）A．B．C．D．6．（4分）如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，则=（）A．B．C．D．7．（4分）函数f（x）=xsinx﹣1在上的零点个数为（）A．5B．4C．3D．28．（4分）已知动点P1（x1，cosx1），P2（x2，cosx2），O为坐标原点，则当﹣1≤x1≤x2≤1时，下列说法正确的是（）A．有最小值1B．有最小值，且最小值小于1C．恒成立D．存在x1，x2使得二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 9．（4分）如果，且α为第四象限角，那么tanα的值是．10．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2x+1）的图象，则φ的值是．11．（4分）已知直角三角形ABC的直角顶点C（1，1），点A（﹣2，3），B（0，y），则y=．12．（4分）已知，则tanα•sinα=．13．（4分）已知函数，则f（100）=，f（f（））=．14．（4分）已知数集X={x1，x2，…，x n}（其中x i＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的x k∈X（k=1，2，…n），都存在x i，x j∈X（x i≠x j），使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量（x i，x k）与向量（x k，x j）；②向量（x i，x j）与向量（x j，x k）；③向量（x k，x i）与向量（x i，x j），则称X具有性质P，例如{1，2，4}具有性质P．（1）若{1，3，x}具有性质P，则x的取值为（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）的解析式．16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），点M是直线OP上的一个动点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标；（Ⅲ）求的最小值．17．（10分）已知函数f（x）=x2+bx+c，且函数f（x+1）是偶函数．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若函数g（x）=|f（x）|（x∈[﹣1，2]）的最小值为1，求函数g（x）的最大值．18．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y）；②f（1）=2；③f（x）在[0，1]上为增函数．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f （c）也是某个三角形三边的长；（ⅱ）解不等式f（x）＞1．2012-2013学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合U={x∈Z|0≤x＜7}，A={1，2，3}，B={5，4，3，2，1}，则A∩∁U B=（）A．∅B．{1，2，3}C．{1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，6}【分析】利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出A∩∁U B．【解答】解：∵U=U={x∈Z|0≤x＜7}={0，1，2，3，4，5，6}，B={5，4，3，2，1}，∴∁U B={0，6}∵A={1，2，3}，∴A∩∁U B=∅，故选：A．【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．2．（4分）已知a=31.2，b=1.20，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】直接判断a，b，c的值的范围，即可半径三者的大小．【解答】解：因为a=31.2＞1；b=1.20=1；=30.9＞1；因为y=3x是增函数，所以31.2＞30.9，所以：b＜c＜a，故选：A．【点评】本题考查指数运算的基本知识，指数大小范围的判定，掌握指数函数的单调性是解题的关键．3．（4分）已知向量=（x，1），=（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．﹣2B．2C．0D．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．当x=﹣2时，，满足向量和方向相反，应舍去．当x=2时，，满足向量和方向相同．因此，实数x的值是2．故选：B．【点评】熟练掌握向量共线定理是解题的关键．4．（4分）已知向量，满足||=2，||=1，且•（+）=3，则＜，＞=（）A．60°B．75°C．90°D．120°【分析】设＜，＞=θ，由题意可得+=3，解得co sθ 的值，即可求得＜，＞的值．【解答】解：设＜，＞=θ，则0°≤θ≤180°，由题意可得+=4+2×1×cosθ=3，解得cosθ=﹣．故θ=120°，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．（4分）函数y=lnx2的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性排除C，D，最后利用函数在（1，+∞）上的单调性即可得到答案．【解答】解：∵x2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f（﹣x）=f（x），∴函数y=lnx2为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x＞1时，y=lnx2＞0，可排除A．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性，考查排除法在解选择题中的作用，属于中档题．6．（4分）如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，则=（）A．B．C．D．【分析】利用向量的三角形法则即可得出．【解答】解：∵BC=3CD，∴．∵==，∴=．故选：C．【点评】熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．7．（4分）函数f（x）=xsinx﹣1在上的零点个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】令f（x）=xsinx﹣1=0得sinx=，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=的图象，利用图象得结论．【解答】解：令f（x）=xsinx﹣1=0得sinx=，因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=的图象，由图得交点2个，故函数f（x）=xsinx﹣1在上的零点个数为2．故选：D．【点评】本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．8．（4分）已知动点P1（x1，cosx1），P2（x2，cosx2），O为坐标原点，则当﹣1≤x1≤x2≤1时，下列说法正确的是（）A．有最小值1B．有最小值，且最小值小于1C．恒成立D．存在x1，x2使得【分析】先根据向量的坐标运算及向量模、向量数量积公式表示出，，接下来利用导数工具研究表达式的最小值；利用特殊值法考察的取值情况，从而得出正确答案．【解答】解：∵P1（x1，cosx1），P2（x2，cosx2），∴=（x1，cosx1）•（x2，cosx2）=x1x2+cosx1cosx2，对于A、B：知||2=x12+cos2x1（﹣1≤x1≤1）令||2=f（x）=x2+cos2x（﹣1≤x≤1）考虑到f（x）为偶函数，不妨仅讨论0≤x≤1时f（x）的最小值，因f（x）=1+x2﹣sin2x=1+（x+sinx）（x﹣sinx）而当0≤x≤1时x≥sinx≥0，则f（x）≥1（当且仅当x=0时取得等号）即当0≤x≤1时f（x）min=1所以有最小值1，由此可见选项A对B错；对于C：=（x1，cosx1）•（x2，cosx2）=x1x2+cosx1cosx2，因﹣1≤x1≤x2≤1，则﹣1≤x1x2≤1而0＜（cos1）2≤cosx1cosx2≤1注意到一个极限位置：x1=﹣1，x2=1向量=﹣1+（cos1）2＜0所以C选项并不恒成立．故错；对于D：=（x1，cosx1）•（x2，cosx2）=x1x2+cosx1cosx2，其中x1x2≤1，cosx1cosx2≤1，但x2与cosx2不可能同时为1，而x1≤x2，所以应＜2；故D错．故选：A．【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、向量的坐标的应用、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 9．（4分）如果，且α为第四象限角，那么tanα的值是﹣．【分析】由题意可得sinα=﹣=﹣，再根据tanα= 求得结果．【解答】解：如果，且α为第四象限角，那么sinα=﹣=﹣，tanα==﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，注意三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．10．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2x+1）的图象，则φ的值是．【分析】由于函数y=sin（2x+1）=sin2（x+），将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2x+1）的图象，由此可得φ的值．【解答】解：由于函数y=sin（2x+1）=sin2（x+），将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2x+1）的图象，故所求的φ的值是，故答案为．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．11．（4分）已知直角三角形ABC的直角顶点C（1，1），点A（﹣2，3），B（0，y），则y=﹣．【分析】先求出直线AC、BC的斜率，再根据直线垂直的条件求解．【解答】解：K AC==﹣；K BC==1﹣y，∵∠C=90°，∴（﹣）（1﹣y）=﹣1⇒y=﹣．故答案是﹣【点评】本题考查直线的斜率坐标公式及两条直线垂直的判定．12．（4分）已知，则tanα•sinα=．【分析】利用诱导公式求出cosα的值，然后利用同角三角函数的基本关系式化简表达式求解即可．【解答】解：因为，所以cosα=．所以tanα•sinα====．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．13．（4分）已知函数，则f（100）=2，f（f（））=．【分析】根据函数f（x）当x＞0时的对应法则，结合对数的定义算出f（100）=2，且f（）=lg．由于lg＜0，所以f （lg）=，再利用对数恒等式得到f（f（））=．【解答】解：∵100＞0，∴f（100）=lg100=2同理可得f（）=lg＜0∴f（f（））=f （lg）==故答案为：2，【点评】本题给出分段函数，求函数的值．着重考查了分段函数的理解、对数的运算法则和对数恒等式等知识，属于基础题．14．（4分）已知数集X={x1，x2，…，x n}（其中x i＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的x k∈X（k=1，2，…n），都存在x i，x j∈X（x i≠x j），使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量（x i，x k）与向量（x k，x j）；②向量（x i，x j）与向量（x j，x k）；③向量（x k，x i）与向量（x i，x j），则称X具有性质P，例如{1，2，4}具有性质P．（1）若{1，3，x}具有性质P，则x的取值为（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为．【分析】（1）由题意可得：（1，3）与（3，x）；（1，x）与（x，3）；（3，1）与（1，x）中恰有一组共线，分别求出相应的x的值即可；（2）由（1）知，可得x1=，，9，再利用新定义验证，得到{1，3，，x2}具有性质P时的x2=，，，，9，27，同理分别得到{1，3，，x2}以及{1，3，9，x2}具有性质P时的x2的值，即可得到x1+x2的最大值与最小值之积．【解答】解：（1）由题意可得：（1，3）与（3，x）；（1，x）与（x，3）；（3，1）与（1，x）中恰有一组共线，当（1，3）与（3，x）共线时，可得x=9，此时另外两组不共线，符合题意，当（1，x）与（x，3）共线时，可得x=，此时另外两组不共线，符合题意，当（3，1）与（1，x）共线时，可得x=，此时另外两组不共线，符合题意，故x的取值为：，，9；（2）由（1）的求解方法可得x1=，，9，当x1=时，由数集{1，3，，x2}具有性质P，①若（1，3）与（3，x2）；（1，x2）与（x2，3）；（3，1）与（1，x2）中恰有一组共线，可得x2=9，；②若（1，）与（，x2）；（1，x2）与（x2，）；（，1）与（1，x2）中恰有一组共线，可得x2=，；③若（3，）与（，x2）；（3，x2）与（x2，）；（，3）与（3，x2）中恰有一组共线，可得x2=，27；故{1，3，，x2}具有性质P可得x2=，，，，9，27；同理当x1=时，{1，3，，x2}具有性质P可得x2=，，，，3，9；同理当x1=9时，可得x2=，，，，3，27，81；则x1+x2的最大值为90，最小值为，故x1+x2的最大值与最小值之积为90×=．故答案为：（1），，9；（2）．【点评】本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）的解析式．【分析】（Ⅰ）根据函数的图象可得=，由此求得周期T的值．设所给的图象中最低点的横坐标为a，由函数的周期性求得a的值，结合图象写出函数的单调减区间．（Ⅱ）由周期T求得ω=2，再由点（，0）在函数的图象上可得sin（2×+φ）=0，根据φ的范围求得φ的值．【解答】解：（Ⅰ）根据函数的部分图象可得=，由此解得函数的最小正周期为T=π．设所给的图象中最低点的横坐标为a，由题意可得=，a=﹣．由于﹣﹣=﹣﹣=﹣，故函数的一个单调减区间为[﹣，﹣]，故函数的单调减区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．（Ⅱ）T=π=，可得ω=2．再由点（，0）在函数的图象上，可得sin（2×+φ）=0．由于|φ|＜，∴φ=﹣，故．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，属于中档题．16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），点M是直线OP上的一个动点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标；（Ⅲ）求的最小值．【分析】（Ⅰ）利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出；（Ⅱ）利用平行四边形的性质、向量共线的性质及其坐标坐标运算即可得出；（Ⅲ）利用向量共线和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（3，3），B（5，1），P（2，1），∴，，∴，∴=．（Ⅱ）设点M（x，y）．∵四边形APBM是平行四边形，∴，∴（1，2）=（x﹣5，y﹣1），∴，解得．∴M（6，3）．（Ⅲ）设点M（x，y）．则．由题意．∴x﹣2y=0，即x=2y．∴M（2y，y）．∴=（3﹣2y，3﹣y）•（5﹣2y，1﹣y）=5y2﹣20y+18=5（y﹣2）2﹣2．∴当y=2时，取得最小值﹣2，此时M（4，2）．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和模的计算公式、平行四边形的性质、向量共线的性质、向量共线定理和二次函数的单调性是解题的关键．17．（10分）已知函数f（x）=x2+bx+c，且函数f（x+1）是偶函数．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若函数g（x）=|f（x）|（x∈[﹣1，2]）的最小值为1，求函数g（x）的最大值．【分析】（I）由f（x+1）为偶函数可得f（﹣x+1）=f（x+1）对任意x都成立，代入已知函数解析式可求b（II）由（I）可得g（x），x∈[﹣1，2]，而（1）为f（x）的最小值，故考虑讨论①当f（1）=c﹣1＞0时，g（x）的最小值f（1）=c﹣1可求c，进而可求g（x）的最大值②若f（1）≤0，f（﹣1）≥0，函数f（x）在[﹣1，2]上至少有一零点，此时g（x）的最小值0，可求【解答】解：（I）∵f（x+1）为偶函数∴f（﹣x+1）=f（x+1）对任意x都成立∵f（x）=x2+bx++c∴（1﹣x）2+b（1﹣x）+c=（1+x）2+b（1+x）+c整理可得（b+2）x=0对任意x都成立∴b=﹣2（II）由（I）可得g（x）=|x2﹣2x+c|=|（x﹣1）2+c﹣1|，x∈[﹣1，2]①当f（1）=c﹣1＞0即c＞1时，y=（x﹣1）2+c﹣1＞0，则g（x）=x2﹣2x+c=（x﹣1）2+c﹣1＞0，x∈[﹣1，2]则g（x）=（x﹣1）2+c﹣1的最小值f（1）=c﹣1=1∴c=2，此时g（x）=（x﹣1）2+1在[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）的最大值g（﹣1）=5②若f（1）≤0，f（﹣1）≥0，即﹣3≤c≤1时，函数f（x）在[﹣1，2]上至少有一零点，此时g（x）=|f（x）|的最小值0，不合题意故当c＞1时，函数g（x）有最大值g（﹣1）=5【点评】本题主要考查了二次函数的性质、偶函数的定义在求解参数中的应用，试题具有一定的综合性18．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y）；②f（1）=2；③f（x）在[0，1]上为增函数．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f （c）也是某个三角形三边的长；（ⅱ）解不等式f（x）＞1．【分析】（Ⅰ）赋值法：由①取x=y=0，可求得f（0），取x=﹣1，y=1及条件②可求得f（﹣1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，在①中取x=﹣1，根据奇函数定义即可证明；（Ⅲ）因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，只需证f（a）+f （b）＞f（c），由a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度可得1≥1﹣＞1﹣＞0，由f（x）在[0，1]上的单调性及①即可证明；【解答】解：（Ⅰ）因为对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y），取x=y=0，得f（1）=f（1）﹣[f（0）]2，解得f（0）=0，取x=﹣1，y=1，得f（1）=f（﹣1）﹣f（﹣1）f（1），又f（1）=2，所以2=f（﹣1）﹣2f（﹣1），解得f（﹣1）=﹣2，所以f（﹣1）=﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，证明如下：取x=﹣1，得f（y）=f（﹣y）﹣f（﹣1）f（y），即f（y）=f（﹣y）+2f（y），所以f（﹣y）=﹣f（y），即对任意实数y，有f（﹣y）=﹣f（y）；所以函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）（i）证明：因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，为了证明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三边的长”，只需证f（a）+f（b）＞f （c），因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以1＞＞＞0，1≥1﹣＞1﹣＞0，又因为f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（）＞f（）＞0，f（1﹣）＞f（1﹣）＞0，所以f（a）+f（b）=f（a）﹣f（﹣b）=f（1﹣）•f（）＞f（1﹣）•f（）=f（2﹣c）﹣f（2），在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1﹣c得f（2﹣c）=f（c）；【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，对能力要求较高．。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --（2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD+（B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD-（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12-（B ）1- （C ）32- （D ）3-FEDC BA 开始 i =1,s =0 s =s +2 i -1is ≤100i = i +1 输出i 结束 是否（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+- ïïï+- íïï- ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应甲城市 乙城市9 08 77 3 1 2 4 72 2 0 4 743的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，3sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长. (16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AC BD O = . （Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDO AP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分） 若集合A 具有以下性质：①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙 （13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分 因为3sin 3B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以26cos 1sin 3B B =-=. ………………………………………5分 所以 22sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =，所以232233a=. 所以463a =. ………………………………………10分 由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D . 所以466110cos cos 23333c a Bb A=????. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. ………………………………………2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D = ，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.因为 平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分 因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分 因为 底面ABCD 是菱形， 所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分 假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ， 因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分 因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B = ，所以 平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分MBCDOAP当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表x(0,(2))a -+(2)a -+ ((2),)a -++∞'()f x-+()f x(0)f↘((2))f a -+↗由上表可知函数()f x 的最小值为24((2))ea a f a ++-+=. ……………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以 椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-.……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积21212121113()422S PF y y y y y y =-=创+-……………………………………9分222223636181()2343434m m m m m +=-+=+++.………………………………………10分 因为PAB ∆的面积为3613， 所以22123413m m +=+. 令21t m =+，则22(1)3113t t t = +. 解得116t =（舍），22t =. 所以3m =.所以直线AB 的方程为+310x y -=或310x y --=.……………………………………13分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B - ，B ∈1，所以112B --=- . 这与2B - 矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y - Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分 （Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分 （Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分 对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î， 若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x- -，即1(1)A x x Î-.所以 (1)x x A - .由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+ ，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A + . 若0x y + 且1x y + ，则2()x y A + . 所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211. 所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。

2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数21−i的值为（ ）A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i2. 向量a →=(1, 1)，b →=(2, t)，若a →⊥b →，则实数t 的值为（ ） A.−2 B.−1 C.1 D.23. 在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是（ ） A.13 B.12C.23D.564. 点P 是抛物线y 2=4x 上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ） A.2 B.3C.4D.55. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P 为24，则输出的n ，S 的值分别为（ ）A.n =4，S =30B.n =4，S =45C.n =5，S =30D.n =5，S =456. 已知点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，则直线AB 的方程为（ ） A.y =√3x +√3或y =−√3x −√3 B.y =√33x +√33或y =−√33x −√33C.y =x +1或y =−x −1D.y =√2x +√2或y =−√2x −√27. 已知函数f(x)={sin x,sin x ≥cos xcos x,sin x <cos x 则下面结论中正确的是（ ）A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域是[−1, 1]C.f(x)是偶函数D.f(x)的值域是[−√22, 1]8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P // 平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A.[1, √52]B.[3√24, √52] C.[√52, √2]D.[√2, √3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.tan 225∘的值为________． 双曲线x 23−y 23=1的渐近线方程为________；离心率为________．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2+a 6=a 8，则S5a 5=________．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx −1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．三棱锥S −ABC 及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为________．任給实数a ，b 定义a ⊕b ={a ×b,a ×b ≥0a b，a ×b <0 设函数f(x)=ln x ⊕x ，则f(2)+f(12)=________；若{a n }是公比大于0的等比数列，且a5=1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1，则a1=________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f(A)=1．（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=5，求c的值．某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车(I)试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝AA1，且E是BC中点．(Ⅰ)求证：A1B // 平面AEC1；(Ⅱ)求证：B1C⊥平面AEC1．已知函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，设F(x)＝f(x)−mg(x)(m≠0)．（1）求a的值（2）求F(x)在区间[1, e]上的最小值．已知椭圆M：：x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F(−1, 0)，左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45∘时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的最大值．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，若y=f(x)x在(0, +∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”．（1）若f(x)=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f(x)是“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈(0, +∞)，f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)；（3）若f(x)是“一阶比增函数”，且f(x)有零点，求证：f(x)>2013有解．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a +bi(a 、b ∈R)，可得选项． 【解答】解：21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i 2=1+i ．故选B ． 2.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】由题意可得a →⋅b →=1×2+1×t =0，解之即可． 【解答】解：∵ a →=(1, 1)，b →=(2, t)，且a →⊥b →， ∴ a →⋅b →=1×2+1×t =0，解得t =−2 故选A 3.【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】利用三角形的面积公式，判断P 所在的位置，利用几何概型求出结果即可． 【解答】解：因为等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC ， 所以PB ≤PC ，所以P 在BC 的中点靠近B 的一侧，所以等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是：S △ABP S △ABC=PB BC =12．故选B ． 4.【答案】 B【考点】 抛物线的求解 【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4，则M 到准线的距离也为2，即点M 的横坐标x +p2=4，将p 的值代入，进而求出x ． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x =2px ， ∴ p =2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴ P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x +p2=4，∴ x =3， 故选B ． 5.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图及已知中输入24，可得：进入循环的条件为S <24，即S =0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的n ，S 值． 【解答】解：开始S =0时，S =0+3=3，n =2； S =3+6=9，n =3； S =9+9=18，n =4； S =18+12=30，n =5；此时S >24，退出循环，故最后输出的n ，S 的值分别为n =5，S =30． 故选C ． 6. 【答案】 B【考点】两点间的距离公式 直线的一般式方程【解析】通过AB 的距离，求出cos α，与sin α，然后求出AB 的斜率，利用点斜式求出直线的方程． 【解答】解：因为点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，所以(cos α+1)2+sin 2α=3，所以2cos α=1，cos α=12，sin α=±√32， 所以K AB =sin αcos α+1=±√33， 所以直线AB 的方程：y =±√33(x +1)．即y =√33x +√33或y =−√33x −√33． 故选B ．7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的值域及其求法 【解析】由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，再根据三角函数的图象与性质可得正确答案．【解答】解：由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，其图象如图所示，所以f(x)的值域是[−√22, 1]． 故选D ． 8.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN // 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵ M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴ MN // BC 1，EF // BC 1， ∴ MN // EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴ MN // 平面AEF ；∵ AA 1 // NE ，AA 1=NE ，∴ 四边形AENA 1为平行四边形， ∴ A 1N // AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴ A 1N // 平面AEF ，又A 1N ∩MN =N ，∴ 平面A 1MN // 平面AEF ， ∵ P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P // 平面AEF ， 则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√1+(12)2=√52， 同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N =√52， ∴ △A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长， A 1O =√A 1M 2−OM 2=√(√52)2−(√24)2=3√24， A 1M =A 1N =√52， 所以线段A 1P 长度的取值范围是[3√24, √52]． 故选B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 1【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】利用诱导公式即可求得答案． 【解答】解：∵ tan 225∘=tan (180∘+45∘)=tan 45∘=1，故答案为：1．【答案】y=±x,√2【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，能求出双曲线x23−y23=1的渐近线方程和离心率．【解答】解：∵双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，∴双曲线x23−y23=1的渐近线方程为y=±x；离心率e=ca =√3+3√3=√2．故答案为：y=±x，√2．【答案】3【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】设出等差数列的首项和公差，然后由a2+a6=a8列式求得a1和d的关系，最后把要求的比式S5a5转化为仅含有公差d的式子，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以S5a5=5a1+5×(5−1)d2a1+4d=5a1+10da1+4d=15d5d=3．故答案为3．【答案】[3, +∞)【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，所以当直线y＝kx−1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A(0, 1)，B(0, 3)，C(1, 2)∵直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，∴当直线y＝kx−1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k3∴直线y＝kx−1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3, +∞)【答案】4√2【考点】点、线、面间的距离计算简单空间图形的三视图【解析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BD的长．【解答】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由左视图知CD＝4，BE＝2√3，在Rt△BCE中，BC=√BE2+EC2=√(2√3)2+22=4，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+42=4√2．【答案】0,e【考点】数列的求和函数的求值【解析】由新定义可得f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，当q>1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=−q4ln q4<0，不合题意，当0<q<1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=1q，解之即可．【解答】解：∵a⊕b={a×b,a×b≥0ab，a×b<0，∴f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，∴f(2)+f(12)=2ln2+ln1212=2ln2+2ln12=2ln2−2ln2=0；∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5=1，故可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，故当q>1时，数列的前4项1q，1q，1q，1q均为(0, 1)之间的数，数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln1q4+q3ln1q3+q2ln1q2+q ln1q+0+q ln q+q2ln q2+q3ln q3=−q4ln q4<0，这与f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1=1q4>0矛盾；同理可得当0<q<1时，数列的前4项1q4，1q3，1q2，1q均为大于1，数列的6、7、8项q，q2，q3均为(0, 1)之间的数，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=a1=1q4，解得1q4=e，故a1=e故答案为：0；e三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【考点】求二倍角的余弦求二倍角的正弦余弦定理【解析】（1）由f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f(A)=1，及A∈(0, π)可求A；（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A可求c【解答】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【答案】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．【考点】古典概型及其概率计算公式极差、方差与标准差【解析】(Ⅰ)由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；(Ⅱ)利用古典概型的概率计算公式即可得出；(Ⅲ)可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．【解答】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以应购买A 型车． 【答案】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22，∵∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1， 又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【考点】直线与平面垂直 直线与平面平行【解析】对(I)，根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行． 对(II)，根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE 与B 1C 垂直； 利用平面几何与三角函数知识，证C 1E 与B 1C 垂直；再由线线垂直⇒线面垂直． 【解答】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22， ∵ ∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2 ∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1，又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【答案】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln 1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f ′(x)=x,g ′(x)=ax，所以f ′(1)＝1，g ′(1)＝a所以a ＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x 2−12−m ln x ，其定义域为{x|x >0}F ′(x)=x −m x=x 2−m x当m <0时，F ′(x)=x −m x=x 2−m x>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m ⋅ln 1=0． 当m >0时，令F ′(x)=x −m x=x 2−m x=0，得到x 1=√m >0,x 2=−√m <0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】（1）因为函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，且f(1)＝g(1)＝0，说明点(1, 0)在两条曲线上，把两函数求导后根据在(1, 0)处的导数值相等可得a的值；（2）把f(x)与g(x)代入函数F(x)的解析式，然后求其导函数，分m<0和m>0判断导函数的单调性，根据函数的单调性求得F(x)在区间[1, e]上的最小值．其中当m>0时需要由导函数的零点对区间[1, e]进行分段．【解答】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f′(x)=x,g′(x)=ax，所以f′(1)＝1，g′(1)＝a 所以a＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x2−12−m ln x，其定义域为{x|x>0}F′(x)=x−mx=x2−mx当m<0时，F′(x)=x−mx =x2−mx>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m⋅ln1=0．当m>0时，令F′(x)=x−mx =x2−mx=0，得到x1=√m>0,x2=−√m<0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【答案】解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为x24+y23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=x+1，消掉y，得到7x2+8x−8=0，所以△=288，x1+x2=−87，x1x2=−87，所以|CD|=√1+k2|x1−x2|=√2×√(x1+x2)2−4x1x2=247；（3）当直线l无斜率时，直线方程为x=−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD，△ABC面积相等，|S1−S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x+1)(k≠0)，设C(x1, y1)，D(x2, y2)，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=k(x+1)，消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，显然△>0，方程有根，且x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，此时|S1−S2|=2||y1|−|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√|k|×4|k|=2√12=√3，（k=±√32时等号成立）所以|S1−S2|的最大值为√3．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（3）当直线l不存在斜率时可得，|S1−S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x +1)(k ≠0)，与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1−S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 【解答】 解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c =1，又b 2=3， 所以a 2=4，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y =x +1，和椭圆方程联立得到 {x 24+y 23=1y =x +1，消掉y ，得到7x 2+8x −8=0， 所以△=288，x 1+x 2=−87，x 1x 2=−87，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=247；（3）当直线l 无斜率时，直线方程为x =−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1−S 2|=0， 当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y =k(x +1)(k ≠0)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，和椭圆方程联立得到{x 24+y 23=1y =k(x +1)，消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， 显然△>0，方程有根，且x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，此时|S 1−S 2|=2||y 1|−|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k(x 2+1)+k(x 1+1)|=2|k(x 2+x 1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√3|k|×4|k|=2√12=√3，（k =±√32时等号成立） 所以|S 1−S 2|的最大值为√3． 【答案】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x >t 时，f(x)x>f(t)t=k ，所以f(x)>kx 对x >t 成立．只要 x >2013k，则有f(x)>kx >2013，所以f(x)>2013 一定有解．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义及一次函数的单调性即可得出； （2）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明； （3）利用“一阶比增函数”的意义和（2）的结论即可证明． 【解答】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x>t时，f(x)x >f(t)t=k，所以f(x)>kx对x>t成立．只要x>2013k，则有f(x)>kx>2013，所以f(x)>2013一定有解．。