线性代数新教材课件ch-5-1

D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
即
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22

a11a22

a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D a11 a21
a12 a22
(方程组的系数行列式)

a12 x2 a22 x2

b1 b2
其求解公式为

x1


x2

b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
原则：横行竖列
引进新的符号来表示“四
个数分成两对相乘再相
减”。
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,

03
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式 时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O(n·n!)。即使对于2×2系统，克 拉默的规则在数值上也是不稳定的。
03
向量与向量空间
向量的概念
80%
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常 用箭头表示，箭头的长度代表向 量的大小，箭头的指向代表向量 的方向。
二次型的规范形
当二次型的标准形中$lambda_i$取值为$pm 1$时，称为 规范形。
化为标准形的方法
通过配方法或正交变换法可以将二次型化为标准形。
正定矩阵的概念与性质
正定矩阵的定义
对于任意非零向量$x$，都有$x^TAx > 0$，则称对称矩阵$A$为正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于0；正定矩阵的特征值都大于0；正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的；正定矩阵的合 同标准形中主对角线上的元素都大于0。
消元法、克拉默法则等。
矩阵的概念
零矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
矩阵的行数和列数。
由m×n个数排成的m行n列的数 表。
矩阵的阶 矩阵的定义
特殊矩阵
矩阵的运算
矩阵的加法
对应元素相加。
矩阵的数乘
每个元素乘以该数。
矩阵的乘法
满足结合律和分配律，但不满足交换律。
矩阵的转置
行列互换。
矩阵的初等变换
初等行变换
行列式的定义包括按行展开和按列展开两种方式，这 两种方式是等价的。
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等 。
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
如果行列式有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。

第3.3 节 高斯消元法
本节介绍线性方程组 和矩阵的高斯消元法， 进而讨论线性方程组解 的存在性及判别方法.
返回
第3.3 节 高斯消元法
• 1.高斯消元法 • 2. 矩阵形式的线性方程组 • 3. 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存
在性
返回
1.高斯消元法
高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯 形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法.
x3 0
令 x21,x30,代入,原 得 x1 方 6; 程
x1 6
故x2 1或(6, 1, 0)T为方程组一个 ; 特解
x3 0
令 x20,x31,代入原 ,得 x1方 7 2;程
x1 故x2
x3
7
02或(7,
2 1
0,
1)T为 方 程 组 一 个; 特 解
三元线2x 性 14x 方 2x程 38
3.2.1
非 零 首 项 变） 量x为 （ p,则未 有知 元
（1）对jp的任一组值 xj,可以得到方程的一个特解；
这里称变量 xj为自由变量，自由变量即可以任意取值 的变量；
（2）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合， 这个解集合称为方程的通解或一般解.
即 对j p的一组自由变量 xj，可以任意取值xj＝ cj,
解 对任一变量取值，如 x= 2 ，将其代入方程
得y8，故xy82为 该 方 程 的 一 类似个 可得解
x 3
y
2
x 2
y
0
为该方程的二个特解.
8
6
方程图形
4
该方程的图形为一条 平面直线.
2
-2
-1
-2
1

线性代数教案课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用1.2 数学符号和基本概念1.3 矩阵和向量的基本运算1.4 线性方程组和矩阵的解法第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的定义和性质2.2 矩阵的运算规则2.3 行列式的定义和性质2.4 行列式的计算方法和应用第三章：向量空间和线性变换3.1 向量空间的概念和性质3.2 线性变换的定义和性质3.3 矩阵与线性变换的关系3.4 线性变换的应用第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义4.2 特征值和特征向量的计算方法4.3 矩阵的对角化和对角化公式4.4 特征值和特征向量的应用第五章：线性方程组和矩阵的秩5.1 线性方程组的解法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质5.3 矩阵的秩的计算方法5.4 线性方程组和矩阵秩的应用第六章：二次型6.1 二次型的定义和标准形6.2 二次型的矩阵表示和性质6.3 配方法和消元法求解二次型6.4 二次型的几何意义和应用第七章：线性代数在几何中的应用7.1 向量空间和线性变换在几何中的应用7.2 向量的几何运算和性质7.3 矩阵的几何意义和应用7.4 线性方程组和矩阵秩在几何中的应用第八章：线性代数在概率论和统计中的应用8.1 随机向量和矩阵的概率分布8.2 协方差矩阵和相关系数矩阵8.3 线性回归和最小二乘法8.4 线性代数在数据分析中的应用第九章：线性代数在经济和管理中的应用9.1 线性规划和单纯形法9.2 投入产出分析和线性代数9.3 线性代数在供应链管理中的应用9.4 线性代数在金融分析中的应用第十章：线性代数的进一步研究10.1 特征值和特征向量的进一步研究10.2 矩阵的对角化和谱分解10.3 线性变换的进一步研究10.4 线性代数在其他领域的应用重点和难点解析1. 第一章中，线性代数的意义和应用是一个重点环节。

需要详细解释线性代数在各个领域的重要性，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用。