63 近世代数课程教学大纲
一、课程说明
1、 课程性质
近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、 教学目的和要求
群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、 先修课程和后继课程
集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、 教学时数分配
章节目录 课时分配
第一章
基本概念 第一节 集合 1
11 第二节 映射 1
第三节 代数运算 0.5
第四节 结合律 0.5
第五节 交换律 0.5
第六节 分配律 0.5
第七节 一一映射、变换 1 64 第八节 同态 1
第九节 同构、自同构 1
第十节 等价关系与集合的分类 2
习题课 2
第二章
群论 第一节 群的定义 1
近世代数知识点
近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。群是近世代数中最基本的结构之一。简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果
ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有
ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群 N，就可以构造出商群 G/N。商群中的元素是由 N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。在编码理论中，域的性质有助于设计高效的纠错码。在物理学和化学中，对称群的概念对于理解分子的结构和晶体的对称性有着重要作用。
未知驱动探索，专注成就专业
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近世代数
引言
近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。通常包括群论、环论、域论等内容。近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论
群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
• 子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
• 循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
• 群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论
环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。 未知驱动探索，专注成就专业
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• 子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
• 理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
• 商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论
域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
• 子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
• 拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
• 有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。有限域具有特殊的性质和应用。
第 1 页 韶关学院课程教学设计（ 2 学时）
教学内容
（章节、专题） 第 一 章 基 本 概 念
绪 论；§1集 合
教学目标
与要求 了解近世代数的发展简史；知道《近世代数》课的性质、地位和意义；知道《近世代数》课特点与学习方法以及教学安排；掌握集合的概念及集合元素、子集、真子集；掌握集合的交、并、积概念.
教学重点 《近世代数》课的历史、性质、特点与学习方法；集合的表示法.
教学难点 《近世代数》课性质、特点与学习方法.
选用教学素材与设备 《近世代数》的教材、参考书籍以及各种辅导资料.
教学设备为：黑板、粉笔等.
教学过程、内容（含教与学的方法）
绪 论
一、抽象代数发展简史
1、代数的组成
代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性质等问题.
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合，例如向量、矩阵超数、变换等，这些集合分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数.抽象代数，包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合第 2 页 产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.
2、高次方程的根式解问题
什么叫代数？代数的基本问题是什么呢？代数就是字母运算学，这是法国数学家韦达的观点，也是关于代数的第一种观点.
到了15-16世纪，代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了，（关于代数的观点发生了变化，将代数定义为代数方程理论）.我们知道，一次、二次的方程有根式解，三次和三次以上的方程是否有根式解呢？经过数学家们的努力，1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的，卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他，并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言，把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式，而应叫泰塔格利亚公式.
