- 1 - 几个常见的收敛,发散积分
收敛或发散积分是数学中常见的一种技术，用于计算函数的积分值。它被广泛用于计算和估算各种积分的值以及计算其他数学公式的值，包括：对数函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、反余弦函数、反正弦函数等。
积分一般分为两类：收敛积分和发散积分。收敛积分是指当函数的图像在某一点上发生改变时，它收敛到一个特定的点，而发散积分是指函数在某一点上发生改变时，它会发散到更高的水平。
收敛积分一般有三种形式：矩形收敛积分、梯形收敛积分和辛普森收敛积分。
矩形收敛积分是一种基本的收敛积分，它将函数的图形分成若干个矩形，每个矩形由一个左端点和一个右端点构成，积分值就是给定区域内所有矩形的面积之和。
梯形收敛积分和矩形收敛积分类似，区别只在于它将函数的图形分成若干个梯形，每个梯形由一个上端点、一个左端点和一个右端点构成，积分值就是给定区域内所有梯形面积之和。
最后，辛普森收敛积分是一种改进的收敛积分，它以一种更加精确的方式计算函数的积分值，它将函数的图形分成若干个辛普森三角形，每个三角形由一个顶点和两个底边构成，积分值就是给定区域内所有辛普森三角形的面积之和。
发散积分一般也有三种形式：拉格朗日发散积分、双曲发散积分和伽马发散积分。 - 2 - 拉格朗日发散积分是一种常见的发散积分，它通过划分不同的部分来进行发散积分，每个部分包含一个头部和一个尾部，每一部分的积分值就是从头部到尾部的积分值之和，最后积分值就是所有部分的积分值之和。
双曲发散积分和拉格朗日发散积分类似，也是划分不同的部分，每个部分由头部和尾部构成，不同的是，每部分的积分值不是从头部到尾部的积分值之和，而是经过特殊函数变换后的积分值之和。
第四节
定积分与微积分基本定理
高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．
[知识梳理]
1．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0
在abf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
3．微积分基本定理
4．定积分的几何和物理应用
[辨识巧记]
1．两个结论
(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．
2．两个性质
函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )
(2)若abf(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
[解析] －1 1|x|dx＝－1 0(－x)dx＋01xdx＝－12x2 0－1＋12x210＝12＋12＝1.
[答案] A
3．(选修2－2P65A组T5改编)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( )
A.16 B.13 C.56 D.23
[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S
＝－1 0[x－(x2＋2x)]dx
＝－1 0(－x2－x)dx
＝－13x3－12x2 0－1＝16.
思维 1 目 录
第一章 函数 (1)
第一节 函数的概念及其基本性质 (1)
一、 集合及其运算 二、 区间与邻域 三、 函数的概念
四、 复合函数与反函数 五、 函数的基本性质
习题1-1 (10)
第二节 初等函数 (11)
一、 基本初等函数 二、初等函数
习题1-2 (16)
第三节 经济学中常见的函数 (17)
一、 成本函数 二、 收益函数 三、 利润函数 四、 需求函数与供给函数
习题1-3 (19)
第二章 极限与连续 (20)
第一节 数列的极限 (20)
一、 数列的概念 二、 数列的极限 三、 数列极限的性质及收敛准则
习题2-1 (28)
第二节 函数的极限 (28)
一、x→∞时，函数的极限 二、x→x０时，函数的极限 三、 函数极限的性质
习题2-2 (34)
第三节 无穷小量、无穷大量 (35)
一、 无穷小量 二、 无穷大量
习题2-3 (40)
第四节 函数极限的运算 (40)
一、 极限的运算法则 二、 复合函数的极限
习题2-4 (45)
第五节 两个重要极限 (46) 一、lim〖DD(X〗x→0〖DD)〗〖SX(〗sinx〖〗x〖SX)〗=1 二、
lim〖DD(X〗x→∞〖DD)〗〖JB((〗1+〖SX(〗1〖〗x〖SX)〗〖JB))〗x=e
习题2-5 (52)
第六节 无穷小量的比较、极限在经济学中的应用 (52)
一、 无穷小量比较的概念 二、 关于等价无穷小量的性质和定理
三、 极限在经济学中的应用
习题2-6 (59)
第七节 函数的连续性 (59)
一、 函数连续性的概念 二、 函数的间断点 三、 连续函数的基本性质
四、 初等函数的连续性
第四章积分及其应用
学习目标
•理解原函数与不定积分的概念及关系，掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式；
.掌握不定积分的直接积分法、第一类换元法、第二类换元法及分部积分法并能熟练的运用；
•理解定积分的定义，掌握定积分的性质；理解积分上限函数，熟练掌握牛顿 -莱布尼兹公式;
•掌握定积分的换元积分法和分部积分法并能熟练的运用；
• 了解广义积分的概念，会判定广义积分的敛散性；
•掌握定积分的元素法，能用定积分解决一些几何问题与物理问题.
本章的重点：不定积分的直接积分法，第一、二类换元法及分部积分法；定积分的换元积分法和分部 积分法，定积分的应用.
本章的难点：积分方法的应用及广义积分.
第一节不定积分的概念与性质、直接积分法
一、主要知识解析
1 •原函数与不定积分
若f(x)在区间I上连续，则其原函数 F(x) —定存在；设f (x)的任意两个原函数 F(x)与G(x)，则 G(x)
=F(x) +C ( C为常数)；原函数与不定积分之间是个体与整体的关系.
2 •性质
线性运算性质 f[ki f (x) +k2g(x)]dx = k, J f (x)dx + k? f g(x)dx ；
(Jf (x)dx) = f (x)或 d[ J f (x)dx)] = f (x)dx ；
JF '(x)dx = F(x) +C或 JdF(x) =F(x)+C .
3 .直接积分法
利用公式直接积分或将被积函数经过恒等变形后直接利用积分公式求得结果，常用的技巧有“将分子 加一项减一项”、“将分子、分母同乘一个因子”或“利用三角函数的恒等变形”等等.
二、典型例题解析 1
2
3
4
5
6
设 Jf (x)dx = ln(1 +x2) +C，试求
f(x).
于是 2x f(x) =[ln(1 +x2)+C]'=——2 .
1 +x
X2 v2
设e为f (x)的一个原函数，试求 Je f (x)dx .
