初高中数学衔接教材1

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.aaaaaa





绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：13xx＞4． 解法一：由01x，得1x；由30x，得3x； ①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x＞4， 解得x＞4． 又x≥3， ∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． 解法二：如图1．1－1，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式13xx＞4的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4． 练 习 1．填空： （1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.

（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________. 2．选择题：

1 3 A B x 0 4 C D x P

|x－1|

|x－3|

图1．1－1 下列叙述正确的是 （ ） （A）若ab，则ab （B）若ab，则ab

（C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()ababab； （2）完全平方公式 222()2abaabb． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()abaabbab； （2）立方差公式 2233()()abaabbab； （3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac； （4）两数和立方公式 33223()33abaababb； （5）两数差立方公式 3322()33abaababb． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx． 解法一：原式=2222(1)(1)xxx =242(1)(1)xxx =61x． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx =33(1)(1)xx =61x． 例2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值． 解： 2222()2()8abcabcabbcac． 练 习 1．填空：

（1）221111()9423abba（ ）； （2）(4m 22)164(mm )； (3 ) 2222(2)4(abcabc )． 2．选择题：

（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于 （ ）

（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m （2）不论a，b为何实数，22248abab的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3．二次根式 一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232aabb，22ab等是无理式，

而22212xx，222xxyy，2a等是有理式．

1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等． 一般

地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式2a的意义 2aa

,0,,0.aaaa



例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）2(0)aba； （3）64(0)xyx． 解： （1）1223bb； （2）2(0)abababa； （3）633422(0)xyxyxyx． 例2 计算：3(33)．

解法一： 3(33)＝333

＝3(33)(33)(33) ＝33393 ＝3(31)6 ＝312． 解法二： 3(33)＝333 ＝33(31) ＝131 ＝31(31)(31) ＝312． 例3 试比较下列各组数的大小： （1）1211和1110； （2）264和226－.

解： （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211， 1110(1110)(1110)11110111101110

，

又12111110， ∴1211＜1110．

（2）∵226(226)(226)2226,1226226－－+－++ 又 4＞22， ∴6＋4＞6＋22，

∴264＜226－.

例4 化简：20042005(32)(32)． 解：20042005(32)(32) ＝20042004(32)(32)(32)

＝2004(32)(32)(32) ＝20041(32) ＝32．

例 5 化简：（1）945； （2）2212(01)xxx． 解：（1）原式5454 22(5)2252

2(25) 25 52． （2）原式=21()xx1xx， ∵01x， ∴11xx，

所以，原式＝1xx． 例 6 已知3232,3232xy，求22353xxyy的值 ． 解： ∵223232(32)(32)103232xy， 323213232xy

，

∴22223533()1131011289xxyyxyxy． 练 习 1．填空： （1）1313＝__ ___；

（2）若2(5)(3)(3)5xxxx，则x的取值范围是_ _ ___； （3）4246543962150__ ___；

（4）若52x，则11111111xxxxxxxx______ __． 2．选择题： 等式22xxxx成立的条件是 （ ） （A）2x （B）0x （C）2x （D）02x 3．若22111aaba，求ab的值． 4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式 1．分式的意义 形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质： AAMBBM

；

AAMBBM

．

上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式

像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1 若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx， ∴5,24,ABA 解得 2,3AB． 例2 （1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；

（2）计算：1111223910；

（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有11112334(1)2nn．

（1）证明：∵11(1)11(1)(1)nnnnnnnn， ∴111(1)1nnnn（其中n是正整数）成立． （2）解：由（1）可知 1111223910

11111(1)()()223910

1110

＝910． （3）证明：∵1112334(1)nn