2020年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.(3分)﹣3的相反数是()
A.﹣3B.﹣C.D.3
2.(3分)如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有()
A.2条B.4条C.6条D.8条3.(3分)近年来,华为手机越来越受到消费者的青睐.截至2019年12月底,华为5G手机全球总发货量突破690万台.将690万用科学记数法表示为()
A.0.69×107B.69×105C.6.9×105D.6.9×106 4.(3分)下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是()
A.B.
C.D.
5.(3分)若有意义,则a的取值范围是()
A.a≥1B.a≤1C.a≥0D.a≤﹣1 6.(3分)《九章算术》中记载“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?此问题中羊价为()
A.160钱B.155钱C.150钱D.145钱7.(3分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,DF∥BC,∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点,若AE=3,CD=2,则GH=()
A.1B.2C.3D.4
8.(3分)将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰有一个篮子为空的概率为()
A.B.C.D.
9.(3分)在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=()
A.16°B.28°C.44°D.45°10.(3分)甲、乙二人同驾一辆车出游,各匀速行驶一半路程,共用3小时,到达目的地后,甲对乙说:“我用你所花的时间,可以行驶180km”,乙对甲说:“我用你所花的时间,只能行驶80km”.从他们的交谈中可以判断,乙驾车的时长为()
A.1.2小时B.1.6小时C.1.8小时D.2小时11.(3分)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为()
A.4米B.5米C.2米D.7米12.(3分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB =2,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,当A′B′恰好经过点D时,△B′CD为等腰三角形,若BB′=2,则
AA′=()
A.B.2C.D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.
13.(4分)因式分解:x3y﹣4xy3=.
14.(4分)平面直角坐标系中,将点A(﹣1,2)先向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为.15.(4分)若多项式xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn=.
16.(4分)我市认真落实国家“精准扶贫”政策,计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩,根据市场调查,甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元,每亩的销售额分别为2万元、2.5万元,如果要求种植成本不少于98万元,但不超过100万元,且所有火龙果能全部售出,则该县在此项目中获得的最大利润是万元.(利润=销售额﹣种植成本)
17.(4分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD
=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为.
18.(4分)若不等式>﹣x﹣的解都能使不等式(m﹣6)x<2m+1成立,则实数m的取值范围是.
三、解答题:本大题共7小题,共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(16分)(1)计算:|﹣3|+2cos60°﹣×﹣(﹣)0.(2)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x=﹣1.20.(12分)4月23日是“世界读书日”,甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.
甲书店:所有书籍按标价8折出售;
乙书店:一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费,超过100元后的部分打6折.
(1)以x(单位:元)表示标价总额,y(单位:元)表示应支付金额,分别就两家书店的优惠方式,求y关于x的函数解析式;(2)“世界读书日”这一天,如何选择这两家书店去购书更省钱?21.(12分)为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏,天天快餐公司积极投入到复工复产中.现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿.检察人员从两家分别抽取100个鸡
腿,然后再从中随机各抽取10个,记录它们的质量(单位:克)如表:
A加工厂74757575737778727675 B加工厂78747873747574747575(1)根据表中数据,求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数;
(2)估计B加工厂这100个鸡腿中,质量为75克的鸡腿有多少个?(3)根据鸡腿质量的稳定性,该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿?
22.(12分)如图,△ABC内接于⊙O,点D在⊙O外,∠ADC=90°,BD交⊙O于点E,交AC于点F,∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA,CD=6,AD=8.
(1)求证:AB∥CD;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)求tan∠ACB的值.
23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与反比例函数y=(k<0)的图象在第二象限交于A(﹣3,m),B (n,2)两点.
(1)当m=1时,求一次函数的解析式;
(2)若点E在x轴上,满足∠AEB=90°,且AE=2﹣m,求反比例函数的解析式.
24.(12分)如图,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC 与抛物线的对称轴BD的交点为B(,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为,四边形BDEF为平行四边形.
(1)求点F的坐标及抛物线的解析式;
(2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当△PAB面积最大时,求点P的坐标及△PAB面积的最大值;
(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.
25.(14分)如图,在矩形ABCD中,对角线相交于点O,⊙M为△BCD的内切圆,切点分别为N,P,Q,DN=4,BN=6.(1)求BC,CD;
(2)点H从点A出发,沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动,当点H运动到点D时停止,过点H作HI∥BD交AC 于点I,设运动时间为t秒.
①将△AHI沿AC翻折得△AH′I,是否存在时刻t,使点H′恰好落在边BC上?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由;
②若点F为线段CD上的动点,当△OFH为正三角形时,求t的值.
答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.参考答案:解:﹣3的相反数是3,
故选:D.
2.参考答案:解:如图,
因为以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,
所以此图形的对称轴有4条.
故选:B.
3.参考答案:解:690万=6900000=6.9×106.
故选:D.
4.参考答案:解:正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”
6种,“2﹣3﹣1型”3种,“2﹣2﹣2型”1种,“3﹣3型”1种,因此选项D符合题意,
故选:D.
5.参考答案:解:若有意义,则a﹣1≥0,
解得:a≥1.
故选:A.
6.参考答案:解:设共有x人合伙买羊,羊价为y钱,依题意,得:,
解得:.
故选:C.
7.参考答案:解:过E作EM⊥BC,交FD于点N,∵DF∥BC,
∴EN⊥DF,
∴EN∥HG,
∴=,
∵E为HD中点,
∴=,
∴=,即HG=2EN,
∴∠DNM=∠NMC=∠C=90°,
∴四边形NMCD为矩形,
∴MN=DC=2,
∵BE平分∠ABC,EA⊥AB,EM⊥BC,
∴EM=AE=3,
∴EN=EM﹣MN=3﹣2=1,
则HG=2EN=2.
故选:B.
8.参考答案:解:三个不同的篮子分别用A、B、C表示,根据题意画图如下:
共有9种等可能的情况数,其中恰有一个篮子为空的有6种,
则恰有一个篮子为空的概率为=.
故选:A.
9.参考答案:解:延长ED,交AC于F,
∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,
∴∠A=∠ACB=28°,
∵AB∥DE,
∴∠CFD=∠A=28°,
∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°,
∴∠ACD=72°﹣28°=44°,
故选:C.
10.参考答案:解:设乙驾车时长为x小时,则甲驾车时长为(3﹣x)小时,
根据两人对话可知:甲的速度为km/h,乙的速度为km/h,根据题意得:=,
解得:x1=1.8或x2=9,
经检验:x1=1.8或x2=9是原方程的解,
x2=9不合题意,舍去,
故选:C.
11.参考答案:解:如图,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得MN=4,EF=14,BC=10,DO=,
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+,
∵BC=10,
∴点B(﹣5,0),
∴0=a×(﹣5)2+,
∴a=﹣,
∴大孔所在抛物线解析式为y=﹣x2+,
设点A(b,0),则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x﹣b)2,
∵EF=14,
∴点E的横坐标为﹣7,
∴点E坐标为(﹣7,﹣),
∴﹣=m(x﹣b)2,
∴x1=+b,x2=﹣+b,
∴MN=4,
∴|+b﹣(﹣+b)|=4
∴m=﹣,
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=﹣(x﹣b)2,
∵大孔水面宽度为20米,
∴当x=﹣10时,y=﹣,
∴﹣=﹣(x﹣b)2,
∴x1=+b,x2=﹣+b,
∴单个小孔的水面宽度=|(+b)﹣(﹣+b)|=5(米),故选:B.
12.参考答案:解:过D作DE⊥BC于E,
则∠DEC=∠DEB=90°,
∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠DAB=∠ABC=90°,
∴四边形ABED是矩形,
∴BE=AD=2,DE=AB=2,
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,
∴∠DB′C=∠ABC=90°,B′C=BC,A′C=AC,∠A′CA=∠B′CB,∴△A′CA∽△B′CB,
∴=,
∵△B′CD为等腰三角形,
∴△B′CD为等腰直角三角形,
∴CD=B′C,
设B′C=BC=x,则CD=x,CE=x﹣2,
∵CD2=CE2+DE2,
∴(x)2=(x﹣2)2+(2)2,
∴x=4(负值舍去),
∴BC=4,
∴AC==2,
∴=,
∴A′A=,
故选:A.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.
13.参考答案:解:x3y﹣4xy3,
=xy(x2﹣4y2),
=xy(x+2y)(x﹣2y).
故答案为:xy(x+2y)(x﹣2y).
14.参考答案:解:∵将点A(﹣1,2)先向左平移2个单位,横坐标﹣2,
再向上平移1个单位纵坐标+1,
∴平移后得到的点A1的坐标为:(﹣3,3).
故答案为:(﹣3,3).
15.参考答案:解:∵多项式xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,
∴n﹣2=0,1+|m﹣n|=3,
∴n=2,|m﹣n|=2,
∴m﹣n=2或n﹣m=2,
∴m=4或m=0,
∴mn=0或8.
故答案为:0或8.
16.参考答案:解:设甲种火龙果种植x亩,乙种火龙果种植(100﹣x)亩,此项目获得利润w,
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元,1.4万元,
由题意可知:,
解得:50≤x≤60,
此项目获得利润w=1.1x+1.4(100﹣x)=140﹣0.3x,
当x=50时,
w的最大值为140﹣15=125万元.
17.参考答案:解:取AD的中点O,连接OM,过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E,点点O作OF⊥BC于F,交CD于G,则OM+ME≥OF.
∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD,
∴OM=AD=2,
∵AB∥CD,
∴∠GCF=∠B=60°,
∴∠DGO=∠CGE=30°,
∵AD=BC,
∴∠DAB=∠B=60°,
∴∠ADC=∠BCD=120°,
∴∠DOG=30°=∠DGO,
∴DG=DO=2,
∵CD=4,
∴CG=2,
∴OG=2,GF=,OF=3,
∴ME≥OF﹣OM=3﹣2,
∴当O,M,E共线时,ME的值最小,最小值为3﹣2.18.参考答案:解:解不等式>﹣x﹣得x>﹣4,
∵x>﹣4都能使不等式(m﹣6)x<2m+1成立,
①当m﹣6=0,即m=6时,则x>﹣4都能使0?x<13恒成立;
②当m﹣6≠0,则不等式(m﹣6)x<2m+1的解要改变方向,∴m﹣6<0,即m<6,
∴不等式(m﹣6)x<2m+1的解集为x>,
∵x>﹣4都能使x>成立,
∴﹣4≥,
∴﹣4m+24≤2m+1,
∴m≥,
综上所述,m的取值范围是≤m≤6.
故答案为:≤m≤6.
三、解答题:本大题共7小题,共计90分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
19.参考答案:解:(1)原式=3﹣+2×﹣×2﹣1
=3﹣+﹣2﹣1
=0;
(2)原式=(+)÷
=?
=,
当x=﹣1时,
原式=
=
=1﹣.
20.参考答案:解:(1)甲书店:y=0.8x,
乙书店:y=.
(2)令0.8x=0.6x+40,
解得:x=200,
当x<200时,选择甲书店更省钱,
当x=200,甲乙书店所需费用相同,
当x>200,选择乙书店更省钱.
21.参考答案:解:(1)把这些数从小到大排列,最中间的数是第5和第6个数的平均数,
则中位数是=75(克);
因为75出现了4次,出现的次数最多,
所以众数是75克;
平均数是:(74+75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75(克);
(2)根据题意得:
100×=30(个),
答:质量为75克的鸡腿有30个;
(3)选B加工厂的鸡腿.
A的方差是:[(74﹣75)2+4×(75﹣75)2+(76﹣75)2+(73﹣75)2+(72﹣75)2+(77﹣75)2+(78﹣75)2]=2.8;
B的平均数是:(78+74+78+73+74+75+74+74+75+75)=75,B的方差是:[2×(78﹣75)2+4×(74﹣75)2+(73﹣75)2+3×(75﹣75)2]=2.6;
∵A、B平均值一样,B的方差比A的方差小,B更稳定,
∴选B加工厂的鸡腿.
22.参考答案:(1)证明:∵∠BAC=∠CEB,∠CEB=∠DCA,
∴∠BAC=∠DCA,
∴AB∥CD;
(2)证明:连接EO并延长交⊙O于G,连接CG,如图1所示:则EG为⊙O的直径,
∴∠ECG=90°,
∵OC=OG,
∴∠OCG=∠EGC,
∵∠EAC=∠EGC,∠EAC=∠DCE,
∴∠DCE=∠EGC=∠OCG,
∵∠OCG+∠OCE=∠ECG=90°,
∴∠DCE+∠OCE=90°,即∠DCO=90°,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:在Rt△ADC中,由勾股定理得:AC===10,
∴cos∠ACD===,
∵CD是⊙O的切线,AB∥CD,
∴∠ABC=∠ACD=∠CAB,
∴BC=AC=10,AB=2BC?cos∠ABC=2×10×=12,
过点B作BG⊥AC于C,如图2所示:
设GC=x,则AG=10﹣x,
由勾股定理得:AB2﹣AG2=BG2=BC2﹣GC2,
即:122﹣(10﹣x)2=102﹣x2,
解得:x=,
∴GC=,
∴BG===,