函数单调性的七类经典题型
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
单调性
类型一:三角函数单调区间
１.函数tan 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的单调增区间为_＿___＿____. 【答案】5,,66k k k Z ππ
ππ⎛
⎫-+
∈ ⎪⎝⎭ 【解析】
试题分析: 因为232πππππ+<-<-
k x k ，所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππ
ππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
. 2.已知函数ｆ(x )＝错误!未定义书签。，则该函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,１]ﻩ
B.[3，+∞）
C ．(－∞，-1] Ｄ.[1，+∞)
解析：选B 设t ＝ｘ2-2x －３，由t ≥０，
即ｘ2－２x -3≥0，解得x ≤-1或x ≥3.
所以函数的定义域为（－∞，-1]∪[３,+∞)．
因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x ＝１,所以函数t 在(-∞,-1］上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增.
所以函数f (ｘ)的单调递增区间为[3,+∞）．
3.设函数ｆ(x ）=错误!ｇ(x ）＝x 2
ｆ（x －1),则函数g (x ）的递减区间是_______＿. g (x )＝错误!如图所示，其递减区间是[0,１).
答案：［０，1)
类型二：对数函数单调区间
1.函数f(x)=ln （4+3x －ｘ2)的单调递减区间是( )
A.错误!
B.错误!
C.错误! Ｄ.错误!
解析:函数f(x)的定义域是(-1,４)，ｕ(x)=-x2+３x+4=-错误!未定义书签。２＋
错误!的减区间为错误!未定义书签。，
∵ｅ＞1,∴函数f(ｘ)的单调减区间为
错误!.
2.函数f (x ）＝｜x -２|x 的单调减区间是( )
Ａ．[1,2]ﻩ B.[-1，0]
C ．［0,２] Ｄ.［2,+∞)
解析:选A 由于f （x )=|x －2｜ｘ＝错误!
结合图象可知函数的单调减区间是[1,２]．
类型三：分段函数单调性
１.已知函数f （ｘ)=⎩
⎨
⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若ｆ(x)在(-∞，+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为( )
A.(1,２) B ．（2,3)
C ．(2,3] D.(2，＋∞）
解析:要保证函数ｆ (x)在(－∞,+∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.
若f(ｘ）=(ａ-2)x-1在区间(-∞，1]上单调递增,则a-2>０，即a ＞2.
若f(x)＝ｌogax 在区间(１，+∞)上单调递增,则a ＞1.
另外，要保证函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增还必须满足(a-２)×１-1≤ｌｏga1=0，即a≤３.故实数a 的取值范围为2答案:C
类型四：利用单调性求参数范围
1．已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且
()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝
⎭,则m 的取值范围是_______＿＿___＿__． 【答案】1122
m -≤<
【解析】
试题分析： 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m ,且
)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ，所以
322122≤+-<+m m m ,解之得1122m -≤<.故应填答案1122
m -≤<. 2.已知y ＝f(x)是定义在(－２,2)上的增函数,若ｆ(m-1)＜f （1-２m)，则m 的取值范围是＿_＿__＿_＿＿_.
解析:依题意,原不等式等价于
错误!⇒错误!未定义书签。⇒－错误!未定义书签。＜ｍ
<错误!未定义书签。.
答案：错误!
3.已知函数f(x）＝|x＋a｜在(-∞,－1)上是单调函数,则a的取值范围是＿___＿__＿．
解析:因为函数f(ｘ)在(－∞，-a)上是单调函数，所以－a≥－1,解得a≤1.
答案：(－∞，１]
4.若ｆ(x)＝－x2＋2ax与g(x)=错误!在区间[1,２]上都是减函数,则a的取值范围是________．
解析:∵函数f（x）=－ｘ2＋2ax在区间[1,2］上是减函数,∴a≤１．
又∵函数ｇ(x)＝错误!未定义书签。在区间[1,2］上也是减函数，
∴a＞0.∴a的取值范围是(0，1]．
5．若函数f（x）=|lｏg a x|(0＜ａ<１)在区间（a,3a-１)上单调递减,则实数ａ的取值范围是_＿_____＿．
解析：由于f(x)=|ｌog a x|(0错误!未定义书签。<ａ≤错误!.
答案:错误!未定义书签。
类型五:范围问题
１.设函数f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在区间[0,＋∞）上单调递增，则满足不等式f(1)押题依据利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.
答案(0,1)∪（10０，+∞)
解析由题意得，f(1)<ｆ(｜lｇ＼f(x,１0）｜)⇒1<|lg错误!未定义书签。|⇒lg 错误!未定
义书签。＞１或lｇｘ
10<-1⇒
ｘ>10０或0
