10-11-2高数期末试卷(150分钟)一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．2lim ()()a xbx x x a x b e +→∞⎛⎫= ⎪--⎝⎭；2．曲线sin()ln()(0,1)xy y x x +-=在点的切线方程是1y x =+；3．曲线3221x y x =+的斜渐近线方程是2y x=；4．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则3b =；5．函数()ln(12)0(0)n y x x n y =-==在处的阶导数2(1)!n n --；6．设可导函数220()sin x yxt y y x e dt x t dt +-==⎰⎰是由方程所确定，则1 x dydx =-=； 7．2π=⎰4 π-；8．1x -=⎰23-； 9．微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的特解是1y x=。
二.按要求计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 10．求极限20(sin sin(sin ))sin lim1cos x x x x x →-- 13= 11. 求反常积分211 (1)dx x x +∞+⎰1ln 22= 12．求定积分1sin ln exdx ⎰()1sin1cos122e =-+ 13．求不定积分1sin 2cos dx x x ⎰ ()1sec ln csc cot 2x x x C =+-+三（14）．（本题满分7分）设sin , 02(),0,()0, 2x x f x x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=≥=⎨⎪>⎪⎩，分别求022x x ππ≤≤> 与 时积分()()xf tg x t dt -⎰的表达式。
()()()() ()()()()sin , 021, 2x xx x xf tg x t dt f x u g u dux u g u du x g u du ug u du x x x x x ππ-=-=-=-⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰关键步骤：四（15）．（本题满分8分） 求由sin , (0)2y x x y x x π==≤≤所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
东南大学2021年高等数学竞赛试卷 课程名称 高等数学 考试日期 X X.05.27 得分 适用专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 180分钟
1．〔此题总分值12
分) 求极限 2300e cos d x t x x x t t →+-⎰ ． 2．〔此题总分值12分)求函数z
=的最小值．
自
觉
遵
4．〔此题总分值16分)求极限11lim ln 2n n i n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭
∑．〔注：用Stolz 定理解答该题不得分〕
3．〔此题总分值17分)计算三重积分(23)d x y z v Ω
++⎰⎰⎰，其中Ω为圆锥体，该圆锥体的
顶点在原点，底是平面3x y z ++=上以点(1,1,1)为圆心且以1为半径的圆．
5．〔此题总分值18分)证明不等式 12sin 405e d 2e 2x x πππ<<⎰．
6．〔此题总分值25分〕设椭圆222
222
1:1x y z l m n C x y z a b c
⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，〔其中,,,,,l m n a b c 均为正常数，2221l m n h a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
〕，求它的中心的坐标，并求该椭圆的面积．。
东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i为虚数单位，=1+2izi，则复数z对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A
2．若，则复数z在平面内所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 3．复数(2m– 3m) + mi()mR是纯虚数，则实数m的值是( ) A．3 B．0 C．0或3 D．0或1或3 【答案】A
4．如果复数21aii是实数，（i为虚数单位，Ra），则实数a的值是( ) A．-4 B．2 C．-2 D．4 【答案】D
5．设z的共轭复数是z，若4zz，8zz•，则zz等于( ) A．i B．i C．1 D．i 【答案】D
6．设i是虚数单位，则复数(1－i)2－ii2124等于( ) A．0 B．2 C．4i D．4i 【答案】D
7．已知i是虚数单位，则复数32ii的虚部为( ) A．i B．i C．1 D． 1 【答案】C
8．已知i为虚数单位，则i1i所对应的点位于复平面内点( ) A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A
9．2(1)ii( )
A．2 B．-2 C．2i D．-2i 【答案】A 10．下面是关于复数21zi的四个命题：其中的真命题为( ) 1:2pz 22:2pzi 3:pz的共轭复数为1i 4:pz的虚部为1
A． 23,pp B． 12,pp C． ,pp D． ,pp 【答案】C 11．若sin21(2cos1)i是纯虚数（其中i是虚数单位），且[0,2)，则的值是( ) A．4 B．34 C．54 D．4或54 【答案】A 12．i是虚数单位，若()(1)12,,,abiiiabRab则的值是( )
东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，=1+2i z i ，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 2．若，则复数z 在平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．复数(2m – 3m) + mi ()m ∈R 是纯虚数，则实数m 的值是( )A ．3B ．0C ．0或3D ．0或1或3【答案】A4．如果复数21a i i --是实数，（i 为虚数单位，R a ∈），则实数a 的值是( ) A ．-4B ．2C ．-2D ．4【答案】D 5．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ∙=，则z z 等于( ) A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±【答案】D 6．设i 是虚数单位，则复数(1－i)2－i i 2124-+等于( ) A ．0B ．2C ．4iD ．4i -【答案】D 7．已知i 是虚数单位，则复数32i i -+的虚部为( ) A ．iB ．i -C ．1-D ． 1 【答案】C 8．已知i 为虚数单位，则i 1i +所对应的点位于复平面内点( ) A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案】A9．2(1)i i -=( ) A ．2B ．-2C ．2iD ．-2i【答案】A10．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为( ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ． 23,p pB ． 12,p pC ． ,p p 24D ． ,p p 34 【答案】C11．若sin 211)i θθ-++是纯虚数（其中i 是虚数单位），且[0,2)θπ∈，则θ的值是( )A ．4πB ．34πC ．54πD ．4π或54π 【答案】A12．i 是虚数单位，若()(1)12,,,a bi i i a b R a b ++=+∈+则的值是( )A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若复数z=2812(43)(1)(1)i i --+-，则z =____________ 【答案】10014．设a 、b ∈R ，“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的____________【答案】必要不充分条件15．定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为____________16．已知复数z 满足2230,z z --=则复数z 对应点的轨迹是 ；【答案】1个圆三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知z 为虚数，92z z +-为实数． (1）若2z -为纯虚数，求虚数z ；(2）求|4|z -的取值范围． 【答案】（1）设i(,,0)z x y x y y =+∈≠R ，则22i z x y -=-+，由2z -为纯虚数得2x =，∴2i z y =+，则 9992i 2()i 2i z y y z y y+=++=+-∈-R ,得90y y-=，3y =±， 所以23i z =+或23i z =-.(2）∵2222999(2)9i []i 2i 2(2)(2)x y z x y x y z x y x y x y -+=++=++-∈-+--+-+R , ∴2290(2)y y x y-=-+，0y ≠,∴22(2)9x y -+=， 由2(2)9x -<得(1,5)x ∈-,∴|4||i 4|z x y -=+-==(1,5).18．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根.(1）求a ，b ，p ，q 的值；(2）计算：qip bi a ++. 【答案】（1）2=b ，1-=a ；4-=p ，5=q .(2）413142516)54)(21(5421i i i i i -=+--+-=+-+-. 19．已知复数i z 21-=（i 为虚数单位）(Ⅰ）把复数z 的共轭复数记作z ，若i z z 341+=⋅，求复数1z ；(Ⅱ）已知z 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，求实数p ，q 的值。
