全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B =U （ ） A. {1,2,3,4,5} B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义可直接求得结果. 【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5A B =U .故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.详解】2z i =-Q ，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,b λ=-r ，若//a b rr ，则实数λ等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行关系可构造方程求得结果.【详解】//a b r r Q ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】直接利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 45y x =±B. 54y x =±C. 43y x =±D. 34y x =?【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，结合,,a b c 的关系求出,a b 的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为53，即53c e a ==，所以53c a =，又222c a b =+，所以43b a =，因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：C【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误.【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为193，极差为24，所以选项C 的说法是错误的. 故选：C【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.7.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a =---，则cos A =（ ） A.45B.35C.310D.25【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得2226b c a c +-=，再利用余弦定理即可求得cos A . 【详解】因为5b =，22625c c a =---，所以2226b c a c +-=， 又2222cos bc A b c a ⋅=+-，所以62cos c bc A =⋅，所以3cos 5A =. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.函数()()21e ln 11exxf x x x -=+-+的图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性排除选项,C D ；利用()20f >排除选项A 即可.【详解】由题意知，函数())21e ln 11e xxf x x x -=++的定义域为R ，其定义域关于原点对称，因为())21ln11xxe f x x x e ----=++)21ln11x x e x x e -=++又因为()))1222ln1ln1ln1x x x xx x -+=+=-+，所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，故排除,C D ；又因为())2212ln5201e f e -=>+，故排除A.故选：B【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB. 12πC.112π D.212π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥，因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A. d ≈B. d ≈C. d ≈D. d ≈【答案】C 【解析】 【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可. 【详解】由316V d π=得：36V d π=. 由A 得：3916V d ≈，69 3.37516π=∴⨯≈；由B 得：312V d ≈，632π∴≈=； 由C 得：3157300Vd≈，6157 3.14300π⨯∴≈=；由D 得：3815V d ≈，683.215π⨯∴≈=， C ∴的公式最精确.故选：C .【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12B. 12-C.14D. 14-【答案】A 【解析】 【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果. 【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=，由2sin sin αβ+=()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=，两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A .【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.12.已知,,A B C 为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC V 的重心，则ABC V 的面积为( )A.B.C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，C 到直线AB 的距离为d ，分直线AB 斜率不存在与存在两种情况讨论：斜率不存在时，求出AB 与d ，计算ABC V 的面积；斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，联立消元，应用韦达定理得到12x x +与12x x ，化简表示出AB 与C ，将点C 坐标代入椭圆方程得到22441b k =+，计算ABC V 的面积.综合两种情况，可得答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，记C 到直线AB 的距离为d ，Q O 为ABC V 的重心，∴1230x x x ++=，1230y y y ++=，①当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆对称性可知，12y y =-，12x x =，则12AB y =， 由O 为ABC V 的重心知，12312x x x ==-，30=y ，则()2,0C 或()2,0C -， ∴133332d x x x =-==，1y ==AB ，∴ABC S =△，②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，易知0b ≠，联立方程2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得()2214kx x b ++=，化简整理得，()222418440k x kbx b +++-=，()()()222228441446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，由韦达定理得，122841kb x x k +=-+，21224441b x x k -=+， ∴12x x -==，∴12241AB x k ==-+，Q O 为ABC V 的重心，∴()3122841kbx x x k =-+=+，()()()312121221224kx b kx b k x by y y k x b +++=-+--+==-=-+，∴22824141,kbb k C k ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭，∴C 到直线AB的距离为d ==将点C 代入椭圆方程得，222282411441kb b k k ⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭， 整理得22441b k =+，222641616480k b b ∆=-+=>，∴AB ==，∴ABC V 的面积为212SAB d ==⋅=， 综上所述，ABC V 的面积恒为2. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查了三角形重心的性质，考查了运算能力，另外,作为选择题，本题可直接通过特殊位置求出ABC V 的面积，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6- 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果. 【详解】()g x Q 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题. 14.已知数列()*{}n a n ∈N是等差数列，其前n 项和为nS，若11=66S ，36927a a a +=，则12S =___________.【答案】78 【解析】 【分析】由11=66S 及等差数列的性质可得66a =，代入所给等式可得39627a a =+，两式联立即可求得1a 、d ，再利用等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为116611666S a a ==⇒=①， 所以36939627a a a a a +=+=②， 由①②可得115672027a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以121=126678S a d +=. 故答案为：78【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，等差数列性质的应用及前n 项和公式，属于基础题. 15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω.【详解】2,0 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭Q和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x两个相邻的对称中心，722632Tπππ∴=-=，即2Tππω==，2ω∴=.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.16.在正三棱柱111ABC A B C-中，23AB=，12AA=，,E F分别为1AB，11A C的中点，平面α过点1C，且平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，则异面直线EF与l所成角的余弦值为________.【答案】34【解析】【分析】由面面平行性质可知11//l A B，取1111,A B B C的中点分别为,H G，可证得//GF l，由此得到异面直线所成角为GFE∠或其补角，通过求得cos GFE∠可确定所成角为GFE∠，进而得到结果.【详解】Q平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，平面11A B C I平面11111A B C A B=，11//l A B∴取1111,A B B C的中点分别为,H G，连接1,,,,EH EG GH GF AC，如图所示，则11//GF A B，//GF l∴，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠或其补角，23AB=Q12AA=，14AC∴=，1EH=，3HF GF==2EG EF∴==，3322cos02GFGFEEF∴∠===>，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠，∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为34.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii tty y =--=∑.回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）$31.1120.9y t =+；（2）338.6万人. 【解析】 分析】（1）根据所给数据求出样本平均数以及对应的系数即可求得y 关于t 的线性回归方程；（2）令7t =代入所得线性回归方程即可求得预测值. 【详解】（1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， 165177201238290214.25y ++++==，()22232521(2)(1)01210i i tt =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()5=125131131.110iii ii ttty y bt=--===-∑∑$， $214.231.13120.9ay bt =-=-⨯=$， 故所求回归方程为$31.1120.9y t =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得$31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 【点睛】本题考查线性回归方程，最小二乘估计，属于基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314n n n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果； （2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314nn n S a-+=-Q ，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，Q 当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=；当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log 214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，//BC AD ，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线//AG 平面PEF . （2）求多面体AGCPEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）由//OG PE 推出//GO 平面PEF ，//AC EF 推出//AC 平面PEF ，从而推出平面//PEF 平面GAC ，由AC ⊂平面GAC 可得//AC 平面PEF ；（2）间接由多面体P ABCD -的体积减去三棱锥G ABC -、P EFD -的体积即可得解.【详解】（1）连接EC ，连接BE 交AC 于点O ，连接GO ，因为//2BC AD AD BC E =，，为线段AD 的中点， 所以//BC AE 且BC AE =，又AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，则点O 为BE 的中点， 因为O 、G 分别为线段BE 、PB 的中点，所以//OG PE ， 因为GO ⊄平面PEF ，PE ⊂平面PEF ， 所以//GO 平面PEF ，同理可得//AC 平面PEF ，又因为GO ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC ，AC GO O ⋂=， 所以平面//PEF 平面GAC ， 又因AC ⊂平面GAC ，所以直线//AC 平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以111(12)11322P ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=， 11111132212G ABC V -=⨯⨯⨯⨯=， 11111132212P DEF V -=⨯⨯⨯⨯=， 故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=. 【点睛】本题考查面面平行、线面平行的判定及证明，多面体体积的求法，属于中档题.20.已知函数2(),x f x e ax x a R =--∈，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()g x 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）12；（2）[2,)e -+∞. 【解析】 【分析】（1）令()g x =()f x '，当0a ≤时根据导数判断函数()g x 单调递增不符合题意，当0a >时利用导数判断函数单调性从而求出最小值，根据最小值为0列出方程求解即可；（2）不等式化简为210x e x ax -+-≥，则21x e x a x ---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ--=，利用导数求出函数()x ϕ的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求得a 的值. 【详解】（1）()21x f x e ax '=--， 所以()21x g x e ax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单调递增，不合题意； ②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ≥=--=，令()(1ln )1x x x μ=--，则()ln x x μ'=-，因为()0,1x ∈时()0x μ'>，(1,)x ∈+∞时()0x μ'<，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=知21a =，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x x ϕ--=，则()2(1)1()x x e x x xϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，利用导数证明不等式，涉及利用导数判断函数的单调性及求函数的最值，属于较难题. 21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值. 【答案】（1）3480x y +-=；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可由||10PF =求出p ，即可求得抛物线方程及焦点F ，由点P 在抛物线上即可求出t 从而得点P 的坐标，即可写出直线PF 的两点式方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，()33,G x y ，求出直线m 、n 的方程，联立可得直线l 的方程，由直线l 过点()0,4可得34y =-，所以点G 在定直线4y =-上，数形结合可得PG 的最小值. 【详解】（1）因为||10PF =，所以8102p+=，解得4p =， 所以()0,2F ，抛物线方程为：28x y =，又点(),8P t 在抛物线上，所以288t =⨯，又0t <，所以8t =-，则()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x --=---， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,M x y N x y ，则2118x y =，2228x y =，因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=-，整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n方程为2214y x x y =-，设()33,G x y ， 因为直线m n ，相交于点G ，联立313132321414y x x y y x x y⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎩=⎪，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以34y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于较难题.解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3πm ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 的中点为P ，求点P 的轨迹方程． 【答案】（1）2m ≥或2m ≤-；（220y m +-= 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把曲线C 和直线l 的方程化为直角坐标方程，并联立直线l 和曲线C 的直角坐标方程，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆≤即可求出实数m 的取值范围；()2根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，直线l 和曲线C 的直角坐标方程联立，得到关于x 的一元二次方程，由两个交点A ，B 可得判别式>0∆，求出m 取值范围，利用韦达定理和点P 在直线l 上表示出点P 坐标，消去参数m 即可求出A ，B 的中点P 的轨迹方程. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α可得，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=， 由题意知，直线l的极坐标方程可化为1sin cos 22m ρθρθ-=， 因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l20y m -+=，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，因为直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，所以判别式)()22410m ∆=--≤，解得2m ≥或2m ≤-，所以所求实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，所以判别式)()22410m ∆=-->，解得22m -<<，由韦达定理可得，122x x x m +==， 因为点P 在直线l上，所以222my m m ⎫=-+=⎪⎪⎭，所以可得0x +=，()11y -<<即为点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、动点轨迹方程的求法；考查运算求解能力；熟练掌握参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键；属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 为正实数，222a b +=． （1）证明：2a b ab +≥． （2）证明：442a b +≥． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式222a b ab +≥，证得01ab <≤，再利用作差法证得ab ≤，然后由基本不等式a b +≥即可得证；（2）由()222422424a b a a b b +=++=知，224424a b a b =--，结合（1）中01ab <≤，证得2222a b ≤即得证.【详解】（1）证明：因为0,0a b >>，222a b +=， 由基本不等式222a b ab +≥可得，01ab <≤，当且仅当a b =时等号成立，所以01<≤，即110-<≤，所以)10ab =≤，所以ab ≤2ab ≥，由基本不等式可得，a b +≥所以2a b ab +≥≥，即2a b ab +≥得证. （2）证明：因为222a b +=， 所以()222422424a b a a b b +=++=，即224424a b a b =--，由（1）知，01ab <≤，所以2222a b ≤， 所以4442a b --≤，即442a b +≥得证.【点睛】本题主要考查利用两个正数的基本不等式进行不等式的证明；考查运算求解能力和逻辑推理能力；灵活运用两个正数的基本不等式是求解本题的关键；属于中档题.。
