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数值分析--第1章绪论

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h h 第一章 绪论

上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。

1 数值分析的研究对象与特点 数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。概括为

由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。 在电子计算机成为数值计算机的主要工具以后，则要求研究适合计算机使用的，满足精确要求，计算时间省的有效算法及其相关的理论。在实现这些算法时往往还要根据计算机的容量、字长、速度等指标，研究具体的求解步骤和程序设计技巧。有的方法在理论上虽还不够严格，但通过实际计算、对比分析等手段，证明是行之有效的方法，也应采用。这些就是数值分析具有的特点，概括起来有四点： 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些运算是计算机能直接处理的运算。 .第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精确要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都建立在相应数学理论的基础上。

实际问题 数学模型 计算方法 程序设计 计算结果 h h 第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，他关系到算法能否在计算机上实现。 第四，要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。 根据“数值分析”课程的特点，学习是我们首先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次，要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题；最后，为了掌握本课的内容，还应作一定数量的理论分析与计算练习。由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，读者必须掌握这几门课的基本内容才能学好这门课。

2 数值计算的误差 2.1 误差来源与分类 我们算出数学模型的近似解和一个物理量的真的值往往不相等，它们之差称为误差。用电子计算机进行解决实际问题的数值计算，误差是不可避免的。引起数值结果中的误差的原因是多方面，通常来自固有误差和计算误差，如下面所示：

模型误差：用数学方法解决实际问题，首先必须建立该问题的数学模型。即把实际问题经过抽象，忽略一些次要的因素，简化成一个确定的数学问题。数学模型只是对实际问题的一种近似、一种粗糙的描述，因而它与实际问题或客观现象之间必然存在误差，这种误差称为“模型误差”。这样的误差常常是可以忽略不计的。例如在经典力学问题中，我们常常忽略相对论效应。但是，如果这种误差不可忽略，说明数学模型选择得不好。那么不论数值计算多么精确，其结果都将存在不可忽略的误差。 观测误差：数学问题中总包含一些参量（或物理量，如电压、电流、温度、长度等），它们的值（输入数据）往往是由观测得到的。而观测的误差是难以避免的，由此产生的误差称为“观测误差”。由于观测误差通常具有随机的性质，所以想用分析的方法来估计它们的影响常常是一件非常困难的事。由于固有误差的产生往往涉及各专业知识及实验手段，所以它不是数值分析所研究的内容。 截断误差：数值计算的本质就是用有限的过程、离散的数据来近似（刻画）无限的过程、连续的量。这样对一些具有连续量、无限计算量的数学问题的求解的过程中，我们不得不对一些连续的量进行有限的离散化近似，不得截去无限的计算过程，只进行有限次的计算。如求一个收敛的无穷级数之和，必须截去该级数后面的无穷多项，而用前面有限项的部分来近似代替，于是产生了有限

模型误差 观测误差 误差来源

计算误差

固有误差

截断误差 舍入误差 h

h 过程代替无限过程的误差，称为h

h “截断误差”，这是计算方法本身所出现的误差，所以也称为“方法误差”。例如 )!2()1(!6!421cos2642nxxxxxnn

，

当x很小时，可以用212x作为xcos近似值。由交错级数判敛的莱布尼兹（Leibniz）准则，它的截断误差的绝对值不超过244x。 有限过程代替无限过程的误差和计算量取决于其方法的收敛性及收敛速度。 舍入误差：计算中遇到的数据可能位数很多或是无穷小数，如,41421356.12受机器字

长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成一定的位数（机器字长）。舍入方法：a) 舍入机。采用四舍五入的办法，如将41421356.1舍为4142136.1；b) 截断机。采用截尾的办法。如2在八位字长的截断机里取成4142135.1。这样产生的误差称为“舍入误差”。少量的舍入误差是微不足道的，但在计算机是作了成千上万次运算后，舍入误差的累积有时可能是十分惊人的。它取决于方法的稳定性。如果方法能够累积大量的误差，此算法是不稳定的，反之为稳定算法。如算法1：

1nnnyay。显然是不稳定的；算法2：11nnynay，

研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题，本书主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论。为分析数值运算的舍入误差，先要对误差基本概念做简单介绍。

2.2 绝对误差与相对误差 定义1 设x为准确值，*x为x的一个近似值，称**exx为近似值的绝对误差，简称误差。 注意这样定义的误差*e可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强（赢）近似值；当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱（亏）近似值。 通常我们不能算出准确值x，当然也不能算出误差*e的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数*，也就是误差绝对值的一个上界。*叫做近似值的误差限，它总是正数。 一般情形**xx，即****xxx。这个不等式有时也表示为**xx。

我们把近似值的误差*e与准确值x的比值 **exxxx

称为近似值*x的相对误差，记作*re。 在实际计算中，由于真值x总是不知道的，通常取*****rexxexx作为*x的相对误差，条件是h

h **

*r

e

ex较小，此时

*****2**2*******()()(/)()1(/)eeexxeexxxxxxxeex





是*r的平方项级，故可忽略不计。

相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r，即***rx。

注1：1）绝对误差是有量纲的量，它与所研究问题的背景有关，因此我们不能单单从绝对误差值的大小来判断计算结果的精度，还必须考虑到实际问题的应用背景； 2）通过引入相对误差，我们可比较不同算法，不同应用问题的计算精度，这一点是无法通过比较绝对误差做到的，因为不同值的东西，在量上是无法比较的。正如我们不能通过比较两个商品的使用价值来判定商品的真贵，只能通过抽象的价值。

2.3 有效数字 有效数字是近似值的一种表示法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。 定义2 若近似值*x的误差限是某一位的半个单位，该位到*x的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字。 在科学记数法中，将近似值*x写成规格化形式为 120.10mnxaaa (1-1)

其中m为整数，10,(1,2,)iaai为0到9之间的整数。按照定义2，近似值*x有n位有效数字当且仅当 nmxx1021* (1-2)

因此在m相同的情形下，n越大则误差越小，亦即一个近似值的有效位数越多其误差限越小。 例1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数：187.9325,0.03785551,8.000033, 2.7182818。 按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是：187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183。 注意：8.000033x的5位有效数字的近似数是8.0000而不是8，因为8只有1位有效数字。 例2 重力常数g，如果以2/ms为单位，120.98010/gms；若以2/kms为单位，220.98010/gkms，它们都具有3位有效数字，因为按第一种写法

213119.80101022g，

按第二种写法 523110.00980101022g，

他们虽然写法不同，但都具有3位有效数字。至于绝对误差限，由于单位不同结果也不同，

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数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案

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第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =-，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析ppt

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例如：建立积分
1 xn
In
dx 0 x5
n 0,1, , 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由
In 5In1
1
xn
5xn1 dx
0 x5
1 xn1dx 1
0
n
和
I0
1 1 dx ln 6 ln 5 0 x5
可建立递推公式
1 In 5In1 n
n 1, 2, , 20
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在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
例如 在计算机上计算级数
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取前三项计算 sin x 的近似值
e*( y) y*
( f )* x1
x1* y*
er*
(
x1)
(
f x2
)*
x2* y*
er*(x2 )
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* (x1 x2 ) e* (x1) e*(x2 )
西北工业大学数值分析(附答案)

西北工业大学数值分析(附答案)

西北工业大学数值分析习题集第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk k j j j x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).n k jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n jn j yy y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.1g x C a b∈(),f x、[],定义18.()()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

数值分析绪论

数值分析绪论


数值分析或数值计算方法主要是研究如 何运用计算机去获得数学问题的数值解 的理论和方法. 对那些在经典数学中,用解析方法在理论 上已作出解的存在,但要求出他的解析解 又十分困难,甚至是不可能的这类数学问 题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分 有效.
计算机解决科学计算问题时经历的几个 过程
实际问题——〉数学模型——〉数值计算方 法——〉程序设计——〉上机运行求出解 实际问题——〉数学模型：由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程， 是应用数学的任务。
两个数相乘，如果有大因子，积的误差 可能严重扩大 两个数相除，如果除数很小，商的误差 可能会严重扩大
e( x1 * + x2 *) x1 * er ( x1*) x2 * er ( x2 *) er ( x1 * + x2 *) = = + x1 * + x2 * x1 * + x2 * x1 * + x2 *
则 e(π ) = 3.1416 − 3.14159265...
*
1 −5 = 0.0000734...... ≤ × 10 2
称π = 3.1416具有五位有效数字的近似数。
*
若x * 准确到小数点后第n位，
x* = ± a1a2 L am .b1b2 L bn (a1 ≠ 0), 则
| e( x*) |≤ 0.5 ×10 ,
* * 1 2 r * 1 * * 1 2 r * 2 2 * 2 * 2 * 1 * 1 * 2 2 * 2
两个数相乘，积的误差等于第一个数乘 以第二个数的相对误差加上第二个数乘 以第一个数的相对误差。（误差什么情 况下会严重扩大？） 两个数相除，商的误差等于分母乘以分 子的误差减去分子乘以分母的误差，然 后除以分母的平方。（误差什么情况下 会严重扩大？）