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导数在高中数学中的应用

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y 0 1

1 1

1 x

y x 0 1 2

1 2 1

1

y x 0 1 2 1 2 1 1 x 0 1 2 1 2 1 1 x y 2 2 2 0 1 2 1 2 1 1 y

导数在高中数学中的应用 自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面： 1、切线的斜率（导数的几何意义）； 2、函数的单调性； 3、函数的极值； 4、函数的最值。 导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。

1 在代数中的应用

1.1对导数几何意义的考查 例1（2005年江西卷）已知函数()yxfx的图象如图1所示 （其中()fx是函数()fx的导数），下面4个图象中()yfx的 图象大致是（ ）。

A B C D 分析：这是考察求导法则，函数图象与x轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考察导数的意义。由图象可知(1)0f，(1)0f，所以()fx在1处有平行与轴的切线，故选C。

1.2 判断函数的单调性 函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在(,)ab内可导的函数()fx在(,)ab上递增（或递减）的充要条件是()0fx（或()0fx），(,)xab恒成立（但()fx在(,)ab的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

例2.已知()1xfxeax。

（1）求()fx的单调增区间； （2）若()fx在定义域R内单调递增，求a的取值范围； （3）是否存在a使()fx在(,0]上单调递减，在[0,)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。 分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。函数增区间是()0fx恒成立的区间，函数的减区间是()0fx恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。

解：（1）()1,()xxfxeaxfxea 令()0fx，得xea， 当0a时，有()0fx在R上恒成立；当0a时，有lnxa。 综上情况，当0a时，()fx的单调增区间为(,)；当0a时，()fx的单调增区间为[ln,)a。 （2）()1,()xxfxeaxfxea ()fx在R上单调递增，()0xfxea（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即xea，xR恒成立。

xR时，(0,)xe，0a。

（3）由已知()fx在(,0]上单调递减，在区间[0,)上单调递增可知，(0)f是()fx的极值。

2 0(0)01feaa，存在1a满足条件。

1.3 求函数极值或最值 最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

例3．（2005年山东卷）已知函数1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,mnR，0m。 （1）求m与n的关系表达式； （2）求()fx的单调区间；

（3）当[1,1]x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。 分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定m与n的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结

合一元二次函数的性质即可得到结论。 解：（1）2()36(1)3fxmxmxmn

由1x是()fx的一个极值点，知(1)0f，即36(1)0mmn， 36nm （2）由（1），得2()36(1)35fxmxmxm23(1)[(1)]mxxm

由0m知，211xm，当x变化时，()fx与()fx的变化如下： x 2(,1)m 21m 2

(1,1)m 1

(1,)

'()gx 0 0 0 0 0

()gx 递减 极小值 递增 极大值 递减

由上可知, ()fx在区间(1,)和2(,1)m上递减,在区间2(1,1)m上递增. (3)由已知得()3fxm,即22(1)20mxm,即当11x时,有2122(1)0xxmm.①

设212()2(1)gxxxmm,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以(1)0,(1)0;{gg即22120,10.{mm解之得, 43m,又0m,所以403m.即m的取值范围为4(,0)3.

1.4 证明不等式 例4.求证：1(0)xexx 分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数()1xfxex；再对()fx进行求导，得到'()fx；然后观察得到当0x时，

'()0fx，即()fx在0x时是增函数；最后可得当0x时，()(0)0fxf，即1xex[6]. 解：令()1xfxex 则 '()10xfxe ()fx在(0,)上是增函数.  当0x时，()(0)0fxf 即1(0)xexx 1.5 证明组合恒等式 例6.求证：1231232nnnnnncccncn

分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式(1)nx；然后对二项式进行求导，得到112321(1)23nnnnnnnnxccxcxncx；最后令1x，就可以得到我们要证的等式.

证明：012233(1)nnnnnnnnxccxcxcxcx 对上面等式两边求导，得 112321(1)23nnnnnnnnxccxcxncx

令1x，得1123223nnnnnnncccnc 原题得证. 1.6 解决数列中的问题

例7.求和2123(0,)nnsxxnxxnN

分析：当1x时，ns是等差数列1，2，的和；当1x时，ns可看作2mnTxxx 的导数，而nT是等比数

列，易知11nnxxTx，最后再对nT求导即可得到ns[4]. 解：当1x时，112(1)2nsnnn 当1x时，由121nnxxxxxx，得 12''()()1nnxxxxxx



即1121(1)12(1)nnnnnxnxsxnxx 1.7 讨论方程解的个数 例8.aR，讨论关于x的方程lnxax的解的个数. 分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作

一条与曲线相切的直线ykx，求出k的值；再根据a的取值范围，讨论方程lnxax的解的个数.

解：依题意可知，方程lnxax的解的个数就是直线yax与曲线lnyx的交点的个数，设直线ykx与曲线lnyx相切于点(,ln),Ptt则 lnktt

'1(ln)1,1ln1,ttkktttteke



 由图可知，原方程当0a或1ae时，有一个解；当10ae时，有两个解；当1ae时，无解. 2.解决几何问题 2.1解决解析几何中的问题 例10.（2004年湖南卷）已知函数21()ln,(),02fxxgxaxbxa。

（1） 若2b，且()()()hxfxgx存在单调递减区间，求a的取值范围； （2） 设函数()fx的图象1C与函数()gx图象2C交于,PQ，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交1C，2C于点M，N，证明1C在点M处的切线与2C在点N处的切线不平行。

解：（1）2b时，且21()ln2(0)2hxxaxxx，2121()2axxhxaxxx 因为()hx存在单调递减区间，所以()0hx在区间(0,)上有解。 即2210axx在区间(,)x上有解。 ①当0a时，221yaxx为开口向上的抛物线，2210axx总有一解； ②当0a时，221yaxx为开口向下的抛物线，若2210axx有解，则440a，且方程2210axx至少有一正根，此时10a。

综上所述，a的取值范围是(,0)(0,)a。 （2）设点,PQ的坐标分别是1122(,),(,)xyxy，120xx，则点,MN的横坐标为122xxx，

1C在点M处的切线斜率为11212kxxx，

2C在点N处的切线斜率为122()2axxkaxbb。

假设1C在点M处的切线与2C在点N处的切线平行，则12kk，即 1212

()22axxbxx

从而，22212121122()()()2xxaxxbxxxx2121lnlnyyxx 22121

1

2(1)ln1xxxxxx

设21xtx，则2(1)ln,11tttt， 令2(1)()ln,11trtttt，则22214(1)()(1)(1)trttttt 因为1t时，所以()0rt在[1,)上单调递增，故()(1)0rtr，

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简述导数在高中数学新课程中的地位与作用-教育文档资料

简述导数在高中数学新课程中的地位与作用-教育文档资料

简述导数在高中数学新课程中的地位与作用导数（“导函数”的简称）是一类特殊的函数，利用导数可以求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题等。

导数在函数中的应用很广，所以，导数是分析和解决问题的有效工具。

本文通过探讨导数在新课程中的地位以及在数学解题中的应用，以拓展学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。

高中数学是由必修课程和选修课程两部分构成。

必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣选修。

选修课程由系列1、2、3、4等组成，在系列1和2中都选择了导数及其应用。

显然，导数的重要性不言而喻。

一、有利于学生理解函数的性质在高中阶段学习函数时，主要学习函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来。

因而，如果能准确作出函数的图像，函数的性质就一目了然。

如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。

但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，如函数y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，仅用描点法就很难准确地作出图像。

但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点和最值点；利用极限思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。

这样就有利于学生理解函数的性质，同时也拓宽了学生的知识面。

1.利用导数求函数的解析式用解析式表示函数的关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加清晰。

例1.设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。

解析：因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以，P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而得：d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′x=0=c，从而得出：c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以，12a+4b+12=08a+4b+20=0解得：a=2，b=-9。

高中数学中的三角函数的导数与微分的应用

高中数学中的三角函数的导数与微分的应用

高中数学中的三角函数的导数与微分的应用在高中数学学习的过程中，我们必然会遇到三角函数的导数与微分的概念与应用。

接下来，本文将探讨三角函数导数与微分的基本概念，并以实际应用为例，展示三角函数在数学和物理领域中的重要作用。

一、三角函数与导数的关系1.1 正弦函数的导数我们先来讨论高中数学中最常用的三角函数之一，即正弦函数的导数。

设函数y = sin(x)，其中x 为自变量，y 为因变量。

根据导数定义，我们可得到：dy/dx = lim(h→0) [sin(x+h) - sin(x)] / h应用三角函数的和差公式，上式可以变换为：dy/dx = lim(h→0) [2cos((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * 1/2化简得到：dy/dx = cos(x)由此可得正弦函数的导数为余弦函数。

1.2 余弦函数的导数同理，我们可以推导出余弦函数的导数。

设函数 y = cos(x)，则有：dy/dx = l im(h→0) [cos(x+h) - cos(x)] / h同样地，应用三角函数的和差公式有：dy/dx = lim(h→0) [-2sin((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * 1/2进一步简化可得：dy/dx = -sin(x)因此，余弦函数的导数为负的正弦函数。

二、三角函数导数的应用2.1 极值点与拐点通过求解三角函数的导数，我们可以找到函数的极值点和拐点。

以正弦函数为例，由之前的推导可知，其导数为：dy/dx = cos(x)当导数为零时，函数的斜率为零，即为可能的极值点。

考虑在区间[0, 2π]上的正弦函数，我们可以找到导数为零的点：cos(x) = 0解得x = π/2 和x = 3π/2。

高中数学导数及其应用知识点

高中数学导数及其应用知识点

导数知识点归纳及其应用●知识点归纳一、相关概念 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f’（x 0）=0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim。

例：设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= . [解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim0000=∆=∆∆∆=∆∆=∆-∆+→∆→∆→∆→∆x xxx x x f x f x f x x x x ∴f ′( 0)=0 2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

高中数学导数应用解题技巧

高中数学导数应用解题技巧

高中数学导数应用解题技巧导数应用导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1、导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微)；(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合01、导数概念的理解。

02、利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

03、要能正确求导，必须做到以下两点：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。