福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

复变函数作业一

一、判断（对的用T表示，错的用F表示）

1、如果0()fz存在，那么()fz在0z解析。（ F ）

2、nLnznLnz。（ F ） 3、当且仅当z为实数时，ze为实数。（ F ） 4、设()fzuiv在区域D是解析的，如果u是实常数，那么()fz在整个D是常数；如果v是实常数，那么()fz在D也是常数。（ T ）

二、填空 1、13Re2ni= ；13Im2ni= 。

2、设是1的n次根，1，则211n= 0 。 3、在映射2z下，扇形区域0arg,14zz的像区域为 。 4、若11nnii，则n= 。 三、计算

1、 计算下列函数值：1）niLe；2）34i。 1）、niLe 解： 主值 lnlnargiiieeiei, ln22,iiLneekiikik

2）、34i 解： 设3+4i的平方根是x+yi，x、y∈R，则有 x2-y2=3，且 2xy=4， 求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1， 故3+4i的平方根是 2+i，或-2-i， 故答案为：2+i，或-2-i

2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1）1z ； 2）2222xyxixyy 。

1）1z ； 解： 因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。 所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2）2222xyxixyy 。 解： 212,,2v221v,2xxyyxyyxuxvyuyxyuuvy







仅在直线12y上可导，在复平面上处处不解析。

3、函数2322()2fzxyxyi是否为解析函数？求出其导数。 解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域 2(,)24xxfxyuivxxy

3234(0,0)0,,4323ffi

 4、已知222371(),:3CfzdCxyz，求1fi。 解：

2()2(371)()2(67)(1)2613fzizzfzizfii





5、计算积分 1）2311zzdzzz； 解：1）2311zzdzzz；

2）211sin41zzdzz； 解：

2sin41zz在11z只有1z一个极点，所以令sin4

1zfzz，所以



21111sin2421112zzzfzdzdzifizz





3）12121zzedzzz； 解: 12121zzedzzz

4） 23132zdzzz。 解：

四、证明：若积分路径不经过i，则120,14dzkkz。 证明：如果积分路径不经过，且不绕过， 则由柯西定理得，

若积分绕z=转 圈，则积分值为 若绕z = -i转 圈，则积分值为 故在一般情况下，积分值为 五、证明：设v是u的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：

1）,AuBvBuAv（,AB为常数）；

2）22,uvuv。

1）证明：

2）不是 的共轭调和函数 证明： 因为在某区域的调和函数一定是该区域某解析函数(可能多值)的实部或虚部，反之，某区域的解析函数其实部与虚部都是该区域的调和函数。和不满足此条件，应该是2uv是的共轭调和函数。 综上所述，不是 的共轭调和函数。 复变函数作业二 一、判断

1、0(2)nnnaz在z=0收敛，在z=3发散。（ F ）

2、在区域zR解析，且在区间（-R，R）取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数。（ T ） 3、1tanz在圆环区域0(0)zRR不能展开成罗朗级数。（ F ）

4、z=0是1tan()zfze的本性奇点。（ T ） 二、填空 1、0(1)nnniz的收敛半径为 。

2、22sinzez展开成z的幂级数的收敛半径=  。 3、z=0是()sintanfzzz的 3 级零点。 4、(),()fzgz以z=a为m级和n级极点，则z=a为()()fzgz的 m+n 级 极 点。 三、计算

1、求21z在01z处的泰勒展开式。

解： 20111(1)(1)(11)1(1)nnnzzzzz











2、 求11:2nnzz 解：112nnnndzzdzzdziz 3、 求23()124fzzzz在z=1处的泰勒展开式。 解：当z=1时，此函数的泰勒展开式为：（z-1）^3-(z-1)^2-3(z-1) 4、将21()()fzzzi在以i为中心的圆环域展开为罗朗级数。 解: 112nnnndzzdzzdziz 四、若()fz为整函数，且()lim()max()nrzrMrMrfzr，则()fz是不高于n 次的多项式。 证明：

0()(),,(0,1,2,)kkkkkMrfzczzckr

当1kn 时，令(1)knpp ()1()limlim0(1)kpnrrMrMrknrrr

当1kn时，0kc

复变函数作业三 一、 判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示） 1、若()fz在区域D单叶解析，则在D()0fz。（ F ） 2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。（ T ） 3、解析函数具有保形性。（F ） 4、函数在可去奇点处的留数为0。（ F ） 二、 填空题 1、方程在单位圆6426210zzz有 6 个根。 2、i关于1zi的对称点为 x²+(y-1)²=1 。

3、21(),:2(1)(5)(43)fzCzzzzi，则arg()Cfz= －4 。 4、5z在点1zi处的旋转角为 ，伸缩率为 20 。

三、 计算题 1、49(1)(2)(48)(50)zdzzzzz

解：设 f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)]， f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)]， f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)]， 则答案为 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)]

2、204sind 解：

1

222

011111221214sin8142415,22lim()()4154221515zzzzddzdzzizzizizzizzizzzzziii

















 3、2sin16xxdxx 解： 2sin16xxdxx

4、求把z平面的单位圆变为平面的单位圆，并使1成为不动点，使 1i变为无穷远点的线性变换()Lz。

解：依题意得，设 ，因为1+i关于单位圆的对称点为 ，无穷远点关于单位圆的对称点是0，

211211111,11111111,011,1iziziiizizeiiii





5、求把z平面的单位圆 1z 变为平面的单位圆1的线性变换()Lz，使110,arg33LL。 解：设圆周部一点Z=a()变为w=0,点a(a0)关于单位圆周 对称点 ，应该变为w=0 关

于单位圆周 的对称点 ，因此所求变换具有形式为： zadzkazazkw111

其中 为常数， 当 时， ，故取z=1，对应点w满足 11111kaakw 因此令 从而所求的变换为