2013高考导航 数学 第二章第3课时

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∴F是O在平面PBC内的射影． ∵D是PC的中点，若F是△PBC的重心，则B，F，D三点共线， 直线OB在平面PBC内的射影为直线BD. ∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB＝BC，即k＝1. 反之，当k＝1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．
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问题2：结论探索型
问题1：条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索， 或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本 策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验 或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常 常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条 件当作充分条件，应引起注意．
答案：(－2,2)
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5．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，
则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是
________(要求把所有可能的图形都填上) 解析：在前、后、上、下四个面上的投影 为平行四边形，在左、右两个面上的投影 为线段．
答案：平行四边形、线段
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圆，且方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.
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“存在”就是有，或者给予证明或者找出一个．“不存在”就 是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在” 的问题，结论有两种：如果存在，找出来；如果不存在，需说
明理由．这类问题常用“肯定顺推”． [演练3]
已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6ln x＋m. (1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)； (2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只 有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在， 说明理由．

第18课时：第二章 函数——函数的最值 一．课题：函数的最值 二．教学目标：掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力．三．教学重点：函数最值的一般求法以及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数最值的意义；2．求函数最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．在由0∆≥且()0a y ≠，求出y 的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．（二）主要方法：1．函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；2．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．（三）例题分析：例1．求下列函数的最大值或最小值：（1） 4y =（2）y x =；（3）222251x x y x x ++=++．解：（1）4y =4=-，由2320x x +-≥得13x -≤≤， ∴当1x =时，函数取最小值2，当 1 3x or x =-=时函数取最大值4．（21 (0,)2t t x =≥≤，则212t x -=，∴2211(1)122t y t t -=-=-++， 当0t =，即12x =时取等号，∴函数取最大值12，无最小值． （3）解法（一）用判别式法： 由222251x x y x x ++=++得2(2)(2)50,y x y x y x R -+-+-=∈，①若2y =，则25=矛盾， ∴2y ≠，②由2y ≠，这时，22(2)4(2)(5)0y y y y ≠∆=----≥⎧⎨⎩，解得：26y <≤， 且当6y =时，12x =-， ∴函数的最大值是6，无最小值． 解法（二）分离常数法： 由222251x x y x x ++=++2321x x =+++23213()24x =+++ ∵2133()244x ++≥，∴26y <≤ ，∴函数的最大值是6，无最小值． 例2．（1）函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2 ．（2）对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f xg x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x（ B ）()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值例3．（《高考A 计划》考点17“智能训练第14题”）已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，（1）求()g a 的函数表达式； （2）判断函数()g a 的单调性，并求出()g a 的最小值．答案参看教师用书93P ．（四）巩固练习：1．函数2(62) [0,3], y x x x =-∈的最大值为 16 ；2．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 6 ；3．若221,x y +=则34x y -的最小值是5-；4．3()3f x ax x a b =-+-，在[2,1]--和 [1,2]上是单调递减函数，则a 的最大值为16．。

S′(x)＝
4 2x－6·1－x2－3－x2·－2x
3·
1－x22
＝
4 －23x－1x－3 3· 1－x22 .
令S′(x)＝0，又0<x<1，所以x＝13.
当x∈0，13时，S′(x)<0，函数单调递减；当x∈13，1时， S′(x)>0，函数单调递增；
[演练1] 已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直线l同时是 C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间 的线段，称为公切线段． (1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线 的方程； (2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平 分．
[典例1] (2012·扬州调研)已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝ex ln x(e是自 然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的 切线，求a的值； (2)若对于任意x∈R，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值 范围； (3)当a＝－1时，是否存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x) －f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存 在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．
则①式和②式都是l的方程．
所以x－1＋x211＝＝x－22＋xa2，. 消去x2得方程2x21＋2x1＋1＋a＝0. 当判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0，即a＝－12时， 解得x1＝－12，x2＝－12，此时点P与Q重合． 即当a＝－12时C1和C2有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y＝x－14.
预测在2013年的高考题中： (1)导数的几何意义； (2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.

解析：由函数单调性的定义可知，在给定区间上自变量越大， 函数值越大则函数为增函数，①和③都能反应出这一点．
答案：①③
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考点探究•讲练互动
考点突破 考点 1 函数的单调性的判断 例1 讨论函数 f(x)＝ ax (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1 【解】 设－1<x1<x2<1， 1 x－1＋1 f(x)＝a ＝a 1＋x－1 ， x－1 1＋ 1 －a1＋ 1 ＝a x2－x1 f(x1)－f(x2)＝a x1－1 x2－1 x1－1x2－1 当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 函数 f(x)在(－1,1)上是减少的； 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上是增加的．
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【规律小结】 (1)判断或证明函数的单调性， 最基本的方法是利 用定义或利用导数． 利用定义的步骤是： 设元取值→作差(商)变形→确定符号(与 1 比 较大小)→得出结论； 利用导数的步骤是： 求导函数→判断导函数在区间上的符号→得 出结论． (2)对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调性相同，那 么 y＝f[g(x)]为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么 y ＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．
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跟踪训练 2．求函数 y＝log1 (x2－4x＋3)的单调区间．
解：令 u＝x －4x＋3，原函数可以看作 y＝log1u 与 u＝x2－4x＋3
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的复合函数．令 u＝x2－4x＋3>0，则 x<1 或 x>3. ∴函数 y＝log1(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．