高三数学选择填空难题突破 与三角函数相关的最值问题

高三数学选择填空难题突破 与三角函数相关的最值问题

一．方法综述

三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．

二．解题策略

类型一 与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题

【例1】若将函数sin2cos2fxxx的图象向左平移（0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）

A. 4 B. 38 C. 8 D. 58

【答案】C

【指点迷津】()sin()fxAx具有奇偶性时，k（kz）或2k（kz）.

【举一反三】

1、【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数2sincos33yxx的图象向左平移0个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为

A. 12 B. 6 C. 4 D. 3

【答案】B

【解析】将函数2sin23yx的图象向左平移0个单位，所得图象对应的函数：

2sin23yx，又其为奇函数， ∴2sin203，

22kπZ3k，， kπ23， Zk，又0

当k1时， 的最小值为6

故选：B

2、【河南省2018届高三12月联考】若函数2sin23fxx关于直线xm（0m）对称，则m的最大值为（ ）

A. 4 B. 1112 C. 512 D. 712

【答案】C

【解析】由题意得， 232mkkZ，即212kmkZ， 0m， 1k时， m的最大值为512 .

3、【2018河南省林州市第一中学模拟】定义运算12142334aaaaaaaa，将函数3sin(0)1coswxfxwwx的图象向左平移23个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则w的最小值是（ ）

A. 14 B. 54 C. 74 D. 34

【答案】B

令0k可得的最小值为54.

本题选择B选项. 类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题

【例2】已知0, sin4fxx在2，上单调递减，则的取值范围是（

）

A. 15[ 24， B. 13[

24， C.

102， D. (0 2，

【答案】A

【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键．

【举一反三】

1、【皖江名校2018届高三12月份大联考】若函数2sin0yx的图象在区间,36上只有一个极值点，则的取值范围为（ ）

A. 312 B. 332 C. 34 D. 3922

【答案】B

【解析】结合题意，函数唯一的极值点只能是2x，所以有32{

62 得332。

故选B. 2、【2018福建省闽侯第四中学模拟】将函数2sin4fxx（0）的图象向右平移4个单位，得到函数ygx的图象，若ygx在63，上为增函数，则的最大值为（ ）

A. 54 B. 32 C. 2 D. 3

【答案】B

3.【2018广西桂林市第十八中学模拟】已知函数224sinsin2sin024xfxxx在区间2,23上是增函数，且在区间0,上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）

A. 0,1 B. 30,4 C. 1, D. 13,24

【答案】D

【解析】 类型三 转化为()sin()fxAx型的最值问题

【例3】【2018河南省林州市第一中模拟】已知函数2sinfxwx在区间,34上的最小值为2，则w的取值范围是 （ ）

A. 9,6,2 B. 93,,22 C. ,26, D.

3,2,2

【答案】D

【解析】分类讨论： 当0时， 34x，此时有： 3,322，

当0时， 43x，此时有： ,242，

综上可得： 的取值范围是： 3,2,2.

本题选择D选项.

【指点迷津】先求x的范围，进而结合三角函数的图象求值域.

【举一反三】

1、【2018山东省济南外国语学校模拟】函数sin(0)fxx的图象向左平移（0）个单位后关于4x对称，且两相邻对称中心相距2，则函数2singxx在,63上的最小值是（ ）

A. 2 B. 1 C. 3 D. 2

【答案】B

2、【2018湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考】函数πcos(0)3fxx在0,π内的值域为11,2,则的取值范围是 A. 35,23 B.

24,33 C. 2,3 D. 23,32

【答案】B

【解析】如图所示， 2433，解得2433，故选B.

3、已知函数sin3fxx（0）向左平移半个周期得gx的图像，若gx在0，上的值域为312，，则的取值范围是（ ）

A. 116， B. 2332， C. 1736， D. 5563，

【答案】D

即函数的最小值为32,最大值为1,则4233,得5563. 综上,ω的取值范围是55,63，

本题选择D选项.

类型四 转化为二次函数型的最值问题

【例4】【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】函数2cos2,43sinfxxgxax，当fxgx对,xnm恒成立时， mn的最大值为53，则a__________．

【答案】-7

【指点迷津】分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.

【举一反三】

1、【2018华中学模拟】函数3fxx，关于的为等式cos2342cos0ffmmf对所有0,2都成立，则实数m的范围为__________．

【答案】422, 令cos,0,2t， 0,1t，设222fttmtm

当02m即0m时， min0220ftfm

∴1m（舍）

当12m即2m时， min112210ftfmmm

∴2m

当012m即02m时， 222min222202424mmmmftfmm，即2880mm

∴422422m

∴4222m

综上所述， 422m

故答案为422,

2、求函数2sin12cos1yxx的值域.

【解析】2sin12cos14sincos2sincos1yxxxxxx [令sinx+cosx=t,则21sincos2txx,其中2,2t

所以2213221222yttt ,故值域为3,3222.

三．强化训练

1、【2018广东深圳市耀华实验学校模拟】函数sin20πyx是R上的偶函数，则的值是

A. π4 B. 0 C. π D. π2

【答案】D

2、【2018陕西省西安中学模拟】若函数sin3cosfxxx， 0， xR，又12fx，

20fx，且12xx的最小值为3，则的值为（ ）

A. 16 B. 13 C. 43 D. 2

【答案】A

【解析】∵ 函数sin3cosfxxx

∴2sin3fxx

∴函数fx的最大值为2

∵12fx， 20fx，且12xx的最小值为3

∴函数fx的周期为12T

∴由周期公式可得212T

∵0 ∴16

故选A

3、【2018湖南省长沙市长郡中模拟】若函数sin3cosRfxxxx，又2f， 0f，且的最小值为34，则正数的值是（ ）

A. 13 B. 32 C. 43 D. 23

【答案】D

4. 【2018湖南省五市十校教研教改共同体联考】将余弦函数cosfxx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移2个单位长度，得到函数gx的图象.若关于x的方程fxgxm在0,内有两个不同的解，则实数m的取值范围为（ ）

A.

1,2 B. 1,2 C. 2,2 D. 1,2

【答案】A

【解析】由题意得，

3cos3sincos3sin2sin26gxxxfxgxxxx

70666xx

若关于x的方程fxgxm在0,内有两个不同的解，

根据图像知12m，选A.

5、【2018山西省实验中学模拟】若函数2sin0fxx在0,2上的图象与直线2y恰有两个交点.则的取值范围是（ ）