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正多边形与圆
1.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．
(4)垂心：是三角形三边高线的交点．
2.三角形的内切圆、外接圆
三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形的外心到三角形______________相等
三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
三角形的内心到_________的距离相等
三角形的内心是三角形三角平分线的交点
3.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．
4.正多边形与圆
在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：
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①αn=； ②an=2Rn·sin； ③rn=Rn·cos； ④+；
⑤Pn=nan； ⑥Sn=Pnrn； ⑦Sn=nsin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆
一、单选题（本大题共8小题）
1. （上海市2022年）有一个正n边形旋转90后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2. （湖南省邵阳市2022年）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．32 B．32 C．3 D．52
3. （四川省雅安市2022年）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．33 B．32 C．332 D．3
4. （四川省南充市2022年）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AEAF B．EAFCBF C．FEAF D．CE
5. （四川省内江市2022年）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，3 B．33，π C．23，43 D．33，2π
6. （四川省成都市2022年）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6，则正六边形的边长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．23
7. （广西玉林市2022年）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B．23 C．2 D．0
8. （河南省2022年）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，ABx∥轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．3,1 B．1,3 C．3,1 D．1,3
圆的十二点画法
1. 引言
圆是几何中最基本的图形之一，它具有无限多个对称轴和对称中心。圆的十二点画法是一种简单而有趣的方法，用于在一个给定的圆上确定十二个等距离的点。这些点可以用于绘制具有特定对称性质的图形，如正多边形或星形。
2. 原理
圆的十二点画法基于一个简单的原理：将圆分成12个等弧长的部分，然后在每个部分上选择一个点。为了实现这一目标，我们可以采取以下步骤：
• 步骤1：以圆心为中心，使用罗盘绘制一个完整的圆。
• 步骤2：使用直尺连接圆心和任意两个相邻点（例如3点钟方向和4点钟方向），得到两条相交线段。
• 步骤3：重复步骤2，连接其他相邻点。
• 步骤4：通过连接非相邻的两个点（例如3点钟方向和9点钟方向）来得到另外6条线段。
完成以上步骤后，我们就可以得到12个等距离分布在圆上的点。
3. 实例演示
下面是一个具体的实例演示，展示了如何使用圆的十二点画法绘制一个六边形。
步骤1：绘制圆
首先，我们使用罗盘绘制一个完整的圆。假设该圆的半径为r。
步骤2：连接相邻点
接下来，我们使用直尺连接圆心和任意两个相邻点。假设我们选择了3点钟方向和4点钟方向作为相邻点。通过连接这两个点以及圆心，我们得到一条线段。
步骤3：连接其他相邻点
然后，我们重复步骤2，连接其他相邻点。假设我们选择了4点钟方向和5点钟方向作为下一对相邻点。通过连接这两个点以及圆心，我们得到另一条线段。
步骤4：连接非相邻点
最后，我们通过连接非相邻的两个点来得到另外6条线段。假设我们选择了3点钟方向和9点钟方向作为一对非相邻点。通过连接这两个点，我们得到第三条线段。 重复以上步骤，并依次选择不同的相邻和非相邻的点，直到所有12条线段都被绘制出来。
4. 应用举例
圆的十二点画法可以应用于多个几何图形的绘制，下面是一些常见的应用举例：
正多边形
通过连接圆的十二个等距离点，我们可以绘制出正多边形。例如，通过连接相邻点，我们可以得到一个六边形；通过连接非相邻点，我们可以得到一个十二边形。
《正多边形和圆》教学反思
这一节主要学习了正多边形和圆，正多边形和圆关系密切，主要正多边形的有关概念，正多边形的有关计算，以及正多边形的有关画法等。
课前先让学生预习学案，对于课本上正五边形的证明结合图形，明确了证明思路，然后让学生明确，这个结论对于任意的正多边形都成立。再一个通过了解正多边形的有关概念，让学生会求一些量，比方给你一个正多边形，它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以熟练求出其他各项。
这节课大局部学生掌握还好，但对于根底差的学生来说，只是背过了一些概念，运用解题时有些吃力，针对这种情况，学案设计了一些简单的适合他们的题，让他们从做题中得到一些成就感，培养对数学的兴趣。另外小组分工合作讨论，但是不够积极，只有少局部学生能做到，以后应多加训练。
总之，这节课也有很多好的地方，也存在很多缺乏，以后应积极查漏补缺，使之尽善尽美。
教学目标：
(1)理解正多边形与圆的关系定理;
(2)理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质;
(3)理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;
(4)通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力;
教学重点： 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理。
教学难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解。
教学活动设计：
(一)提出问题
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢
(二)实践与探究
组织学生自己完成以下活动。
实践：1、作三角形的外接圆，圆心是三角形的什么线的交点半径是什么
2、作三角形的内切圆，圆心是三角形的什么线的交点半径是什么
探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系
探究2：(1)正方形有外接圆吗假设有外接圆的圆心在哪(正方形对角线的交点。)
