2018沪科版数学九年级下册246《正多边形和圆》练习题1

《正多边形与圆》同步练习1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A.10B.8C.6D.52.圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A.12B.6C.12 D63.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A. B.2 C. D.34.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A.8cmB.4cmC.8cmD.4cm5.正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A. B. C. D.6.正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A.4B.6C.7D.87.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A.3B.2C.3D.68.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A. B. C. D.答案和解析◆一、基础检测◆二、拓展提升一、基础检测1.考点：正多边形和圆。

分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可。

解答：解：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10。

故选A。

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键。

2.考点：正多边形和圆。

分析：根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可。

解答：解：∵圆内接正六边形的周长为24，∴圆内接正六边形的边长为4，∴圆的半径为4，如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=4×=2，∴BC=2BD=4；∴该圆的内接正三角形的周长为12，故选A。

点评：本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键。

第24章圆24.6正多边形的性质（2）填空题1.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_______cm．2.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内外圆的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放___________颗半径为2的滚珠．（第2（2）题）（第2（3）题）（第2（4）题）3.如图，有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．4.如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖的纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，则∠GA/H为________度．5．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．6．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．7．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．8．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．9．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．10．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．综合提高题11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．12．如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．。

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第24章 圆
24.6正多边形与圆（1）
填空题
1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．
2．把一个圆分成n (n ≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．
3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边
形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
4．正n 边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角
等于______________．
选择题
5.如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（ ）
（A ）7个．（B ）8个．（C ）9个．（D ）10个．
O
R Q
P
D
C B A
（第1（1）题） （第1（2）题）
6.如图，正方形ABCD 与等边△PRQ 内接于⊙O ，RQ ∥BC ，则∠AOP 等于（ ）
（A ）45o ．（B ）60o ．（C ）30o ．（D ）55o ．
7.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
（A ）正三角形．（B ）正五边形．（C ）正六边形．（D ）正七边形．
8.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ）
（A ）4．（B ）6．（C ）8．（D ）12．
9.圆内接正六边形一边所对的圆周角是（ ）
（A ）30︒．（B ）60︒．（C ）150︒．（D ）30︒或150︒．。

24.6 正多边形与圆一．选择题（共20小题）1．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4 2．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1 B．C．D．2 4．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°6．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2 7．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．9．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5 11．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．2 12．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．（2017•日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等14．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．15．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2C．D．1 16．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．17．（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形18．（2016•曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个19．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2D．4 20．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2二．填空题（共20小题）21．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为．22．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．23．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．24．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝度．25．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝．26．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．27．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．28．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．29．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．30．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．31．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．32．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝．33．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．34．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．35．（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为．36．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．37．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．38．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．39．（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．三．解答题（共2小题）41．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．42．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．24.6 正多边形与圆参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝．∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝2，∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选D．2．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选A．3．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1 B．C．D．2解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝AC＝，∴GB＝1，AB＝2，即边长为2．故选D．4．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选C．5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选B．6．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选C．7．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选B．8．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．解：如图（1），O为△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，∴∠BAD＝30°，又∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAD＝30°，∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，在Rt△OBD中，BO＝2DO，即AO＝2DO，∴OD：OA：AD＝1：2：3．在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．∵正三角形ABC面积为cm2，∴BC•AD＝，∴×2x•x＝，∴x＝1．即BD＝1，则AD＝，∵OD：OA：AD＝1：2：3，∴AO＝cm．即这个圆的半径为cm．所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，故选B．9．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵五方形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣＝108°，∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∴∠ACD＝108°﹣36°＝72°，同理得∠ADE＝36°，∵∠BAE＝108°，AB＝AE，∴∠ABE＝36°，∴∠CBF＝108°﹣36°＝72°，∴BC＝FC，∵BC＝CD，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝＝54°，∴∠FDG＝∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE＝108°﹣54°﹣36°＝18°；所以①正确；②∵∠ABE＝∠ACB＝36°，∠BAC＝∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∵BC＝ED，BF＝EG，∴，∴AB•ED＝AC•EG，∵AB＝ED＝2，AC＝BE＝BG+EF﹣FG＝2AB﹣FG＝4﹣FG，EG＝BG﹣FG＝2﹣FG，∴22＝（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG＝3+＞2（舍），FG＝3﹣；所以②正确；③如图1，∵∠EBC＝72°，∠BCD＝108°，∴∠EBC+∠BCD＝180°，∴EF∥CD，∵EF＝CD＝2，∴四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，∵DG＝DE，∴EM＝MG＝EG＝（EF﹣FG）＝（2﹣3+）＝，由勾股定理得DM＝＝＝，∴（S四边形CDEF）2＝EF2•DM2＝4×＝10+2；所以③不正确；④如图2，连接EC，∵EF＝ED，∴▱CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC＝BE＝4﹣FG＝4﹣（3﹣）＝1+，∴S四边形CDEF＝FD•EC＝2×，×FD×（1+）＝，FD2＝10﹣2，∴DF2﹣DG2＝10﹣2﹣4＝6﹣2，所以④不正确；本题正确的有两个，故选B．10．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，故选C．11．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．2解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故选B．12．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A．13．（2017•日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等解：如图∠AOB＝＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA，∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC 与△ADE全等，D错误；故选A．14．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，则该三角形的三边分别为1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是×1×＝．故选A．15．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2C．D．1解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝OA＝．故选A．16．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．解：如图1，∵OC＝1，∴OD＝1×sin30°＝；如图2，∵OB＝1，∴OE＝1×sin45°＝；如图3，∵OA＝1，∴OD＝1×cos30°＝，则该三角形的三边分别为，，，∵（）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是××＝，故选D．17．（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，则OC＝，OA＝OB＝2，在直角△AOC中，cos∠AOC＝＝，∴∠AOC＝30°，∴∠AOB＝60°，则正多边形边数是＝6．故选B．18．（2016•曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选C．19．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2D．4解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．20．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选B．二．填空题（共20小题）21．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6．解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．22．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，∵OE⊥BC，∴OE＝BE＝，即a＝5．故答案为5．23．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为144．24．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝15度．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为15．25．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝15．解：连接BO，∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案为15．26．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．解：∵AF是⊙O的直径，∴＝，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴＝，∠BAE＝108°，∴＝，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故答案为54．27．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为．28．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21．解：图2中的图案外轮廓周长是8﹣2+2+8﹣2＝14；设∠BPC＝2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为＝，以∠APB为内角的正多边形的边数为，∴图案外轮廓周长是＝﹣2+﹣2+﹣2＝+﹣6，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是＝+﹣6＝21，故答案为14，21．29．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为8cm．解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为cm，即PM＝7cm，∴S△MPN＝cm2，∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG＝PM＝cm，OG＝PM＝，在Rt△OPG中，根据勾股定理得OP＝＝7cm，设OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH＝x，OH＝x，∴PH＝（5﹣x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2＝（x）2+（5﹣x）2＝49，解得x＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为830．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72度．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故答案为72．31．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°，故答案为72°．32．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝12+4．解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A＝＝120°，AF＝AB，∴∠AFB＝∠ABF＝（180°﹣120°）＝30°，∴△AFB边BF上的高AM＝AF＝（6+4）＝3+2，FM＝BM＝AM＝3+6，∴BF＝3+6+3+6＝12+6，设△AFB的内切圆的半径为r，∵S △AFB＝++，∴×（12+6）×（3+2）＝×r+×r+×（12+6）×r，解得r＝3，即O1M＝r＝3，∴O1O2＝2×3+6+4＝12+4，故答案为12+4．33．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为：1．解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC＝90°，∵OQ⊥BC，OB＝CO，∴QC＝BQ，∠COQ＝∠BOQ＝45°，∴OQ＝OC×cos45°＝R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF＝∠EGF＝30°，∴OH＝OG×sin30°＝R，∴OQ：OH＝（R）：（R）＝：1，故答案为：1．34．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，故答案为48°．35．（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为（﹣1，﹣）．解：根据图形得D（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）36．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为3．解：连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM＝＝30°，∴OM＝OB•cos∠BOM＝6×＝3；故答案为3．37．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，∴＝＝•πAB＝π，∴C阴影＝++BC＝π+1．故答案为π+1．38．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴＝cos30°＝，∴λ6＝，故答案为．39．（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是8+8．解：由题意可得，AD＝2+×2＝2+2，∴四边形ABCD的周长是4×（2+2）＝8+8，故答案为8+8．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：．解：由题意可得，正三角形的边心距是2×sin30°＝2×＝1，正四边形的边心距是2×sin45°＝2×，正六边形的边心距是2×sin60°＝2×，∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：，故答案为1：：．三．解答题（共2小题）41．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝30°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠BAF＝＝108°，∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，故答案为30；（2）作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6，∴GC＝BC﹣BG＝9.6．42．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．证明：∵正五边形ABCDE中，∴AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC．。

24.6 第1课时 正多边形与圆知识点 1 正多边形与圆1． 等边三角形各边都________，各角都________，等边三角形又叫正三角形；正方形的各边都________，各角都________，正方形又叫正四边形．2．如图24－6－1，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，给出下列三个条件：①AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵；②AB ＝BC ＝CD ＝DA ；③∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D .在这些条件中，能够判定四边形ABCD 是正方形的共有( )图24－6－1A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个知识点 2 正多边形的作法3．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等份点而得，这种画法的理论依据应该是( ) A ．把圆n 等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n 边形B ．把圆n 等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形C ．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形D ．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法4．下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是( ) A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形5．如图24－6－2，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB ，CD 过圆心O ，且AB ⊥CD ，则图中阴影部分的面积是( )图24－6－2A ．4πB ．2πC ．π D.π26．若P 是正六边形ABCDEF 外接圆上的一点，则∠APB 的度数为____________．7．如图24－6－3，五边形ABCDE 内接于⊙O ，且AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝AE ︵，BD 和CE 相交于点F ，不添加辅助线，则图中有________个等腰三角形．图24－6－38．教材练习第2题变式 在一个半径为2 cm 的圆内，作出它的内接正六边形及正十二边形．9．如图24－6－4，在△AFG 中，AF ＝AG ，∠FAG ＝108°，点C ，D 在FG 上，且CF ＝CA ，DG ＝DA ，过点A ，C ，D 的⊙O 分别交AF ，AG 于点B ，E .求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－6－4教师详解详析1．相等 相等 相等 相等 2．C 3．A 4．C5．C [解析] 四块阴影部分拼在一起刚好是大圆的四分之一，所以阴影部分的面积为14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝π.6．30°或150° [解析] 点P 可以在劣弧AB ︵上，也可以在优弧ACB ︵上，致使本题有两解，且在这两个不同位置下的圆周角∠APB 是互补的．7．5 [解析] 等腰三角形有△BCD ，△CDE ，△CDF ，△BCF ，△DEF ，共5个．8．解：如图所示，以点O 为圆心，2 cm 长为半径作圆，在⊙O 上任找一点A ，以点A 为圆心，2 cm 长为半径作弧，交⊙O 于点B ，然后在⊙O 上依次截取等弧(都等于弧AB)，将圆六等分，顺次连接这6个等份点，得到圆的内接正六边形；作线段AB 的垂直平分线交⊙O 于点C ，按此方法将圆十二等分，顺次连接各点得到圆的内接正十二边形．9．证明：因为AF ＝AG ，∠FAG ＝108°，所以∠F ＝∠G ＝36°. 因为CF ＝CA ，DG ＝DA ，所以∠FAC ＝∠GAD ＝36°，所以∠CAD ＝36°， 所以BC ︵＝CD ︵＝DE ︵.因为∠ACD ＝∠FAC ＋∠F ＝72°，∠GAD ＝36°， 所以AED ︵的度数为144°，DE ︵的度数为72°， 所以AE ︵＝DE ︵.同理AB ︵＝BC ︵， 所以AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝AE ︵，所以A ，B ，C ，D ，E 为圆的五等份点， 所以五边形ABCDE 是正五边形．。

--------------------- 赠予 ---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
--------------------- 谢谢喜欢 --------------------。

第24章 圆24.6正多边形的性质（2）填空题1.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_______cm ．2.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内外圆的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放___________颗半径为2的滚珠．F ED C B A A'H G A（第2（2）题） （第2（3）题） （第2（4）题）3.如图，有一个边长为1.5cm 的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm ．4.如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖的纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，则∠GA /H 为________度．5．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．6．正n 边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．7．设正n 边形的半径为R ，边长为a n ，边心距为r n ，则它们之间的数量关系是______．这个正n 边形的面积S n =________．8．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．9．正六边形的边长a ，半径R ，边心距r 的比a ∶R ∶r =_______．10．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．综合提高题11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．12．如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．。

第16讲正多边形与圆【考点梳理】1、正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．有n条边的正多边形（n是正整数，且3n ）就称作正n边形．2、正n边形的对称性正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n．当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．3、正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．【典型例题】1．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．2．（2021秋·上海虹口·九年级校考期末）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ．(1)求∠APC 和∠BPC 的度数；(2)求证：△ACM ≌△BCP ；(3)若PA ＝1，PB ＝2，求四边形PBCM 的面积；(4)在（3）的条件下，求AB 的长度．3．（2021·上海·九年级专题练习）在下列正多边形中，O 是中心，定义：OBC ∆为相应正多边形的基本三角形．如图1，OBC ∆是正三角形ABC 的基本三角形；如图2，OBC ∆是正方形ABCD 的基本三角形；如图3，OBC ∆为正n 边形ABCDEF …的基本三角形．将基本OBC ∆绕点O 逆时针旋转α角度得OB C ''∆．（1）若线段BC 与线段B C ''相交点O '，则：图1中α的取值范围是________；图3中α的取值范围是________；（2）在图1中，求证BO O C '''=（3）在图2中，正方形边长为4，135α=︒，边BC 上的一点P 旋转后的对应点为P '，若B P OP ''+有最小值时，求出该最小值及此时BP 的长度；（4）如图3，当B C OC ''⊥时，直接写出α的值．4．（2020·上海闵行·统考二模）如图，已知圆O 是正六边形ABCDEF 外接圆，直径BE=8，点G 、H 分别在射线CD 、EF 上（点G 不与点C 、D 重合），且∠GBH=60°，设CG=x ，EH=y ．（1）如图①，当直线BG 经过弧CD 的中点Q 时，求∠CBG 的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．5．（2022•杨浦区二模）已知在扇形AOB中，点C、D是上的两点，且．（1）如图1，当OD⊥OA时，求弦CD的长；（2）如图2，联结AD，交半径OC于点E，当OD∥AC时，求的值；（3）当四边形BOCD是梯形时，试判断线段AC能否成为⊙O内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由．6．（2021•浦东新区二模）四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．。

24.6 正多边形与圆一．选择题（共14小题）1．正六边形的外接圆的半径为2，则它的内切圆的半径为（）A． B． C．2 D．12．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）（第2题图）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC=30°3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A． B．2 C．3 D．24．如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为（）（第4题图）A．6a B．5a C．2aπ D．5．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（）A．6a B．4a C．2a D．6．正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C．1：2 D．：27．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）（第7题图）A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣28．如图，MN是⊙O的直径，∠A=20°，∠PMQ=50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）（第8题图）A．正七边形 B．正八边形C．正六边形D．正十边形9．半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（）A．1： B．： C．3：2 D．1：210．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系正确的是（）（第10题图）A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a411．中心角为60°的正多边形的边数是（）A．3 B．6 C．8 D．1212．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）（第12题图）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．D．∠BAC=30°13．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2 B． C．1 D．14．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE的长为（）（第14题图）A． B． C． D．二．填空题（共10小题）15．正五边形的中心角的度数是．16．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为．17．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为．18．如图，正方形ABCD内接于半径为的⊙O，E为DC的中点，连接BE，则点O到BE的距离等于．（第18题图）19．正六边形的半径与边长的比为．20．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．21．设A0，A1，…，A n﹣1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是，此时正n边形的面积是．22．如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP 上，并且∠POM=45°，则AB的长为．（第22题图）23．一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm （保留根号）．24．边长为6的正六边形外接圆的半径是．三．解答题（共1小题）25．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．参考答案一．1．【解析】如答图.连接OA，OB，OG.∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故选A．（第1题答图）【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．2．【解析】∵OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，故选项A正确，∴∠AOB=60°.∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，∴选项B、C正确，选项D错误.故选D．【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用．3．【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA.∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．（第3题答图）【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．4．【解析】如答图.∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°，∴∠FAF′=60°，∴==πa，∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为πa×6=2aπ．故选C．（第4题答图）【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解答此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长．注意数形结合思想的应用．5．【解析】∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径.又∵正六边形的周长为12a，∴正六边形边长为2a，∴正六边形的半径等于2a．故选C．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式．6．【解析】如答图，设六边形的边长是a，则半径也是a；经过正六边形的中心O作边AB 的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为a：a=：2．故选B．（第6题答图）【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．【解析】如答图.当点E旋转至y轴上时DE最小.∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵AB=BC=2，∴AD=AB•sin∠B=.∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2.∵点A的坐标为（0，6），∴OA=6，∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣.故选B．（第7题答图）【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．8．【解析】连接QO，PO，如答图.∵QO=PO，∴∠OPQ=∠OQP.∵∠PMQ=50°，∴∠POQ=100°，∴∠OPQ+∠OQP=180°﹣100°=80°，∴∠OPQ=∠OQP=40°，∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°.∵PO=OM，∴△POM是等边三角形，∴PM=OP=OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选C．（第8题答图）【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．9．【解析】设其半径是R，则其正三角形的边长是R，正方形的边长是R，则它们的比是：．故选B．【点评】能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即．10．【解析】设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3.设正方形的边长是x，由勾股定理，得对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828.设正六边形的边长是b，过点F作FQ∥AB交BE于点Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选B．（第10题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．11．【解析】∵360°÷60°=6，∴中心角为60°的正多边形的边数是6．故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的边数和圆心角的关系是解题的关键．12．【解析】A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，=；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，=，故C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D错误．故选D．【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．13．【解析】设多边形的边数为n．因为正多边形的内角和为（n﹣2）•180°，正多边形的外角和为360°，根据题意，得（n﹣2）•180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多边形为六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.故选A．【点评】本题考查学生对正多边形的概念的掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．14．【解析】如答图.连接AM，与DE、BC分别交于点F、点S，则点F是圆心，又是三角形的内心.∵S是BC的中点，F是DE的中点，则有DE∥BC，∴AF：AS=DE：BC=2：3，∴DE=．故选C．（第14题答图）【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形的高的的性质，进行求解．二．15．72°【解析】正五边形的中心角为=72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．16．2【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．（第16题答图）【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．17．【解析】如答图.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2.∵OM⊥AB，∴AM=BM=1.在△OAM中，由勾股定理，得OM==．（第17题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．18．【解析】如答图，连接EO，BO，作OF⊥BE.由正方形ABCD 内接于半径为的⊙O，可得CD=AD=BC=2.∵E是CD中点，∴DE=CE=1.在△BCE中由勾股定理，得BE=，则BE×.OF=OE×CE×FO=1×1，解得OF=【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质等知识点，关键是求出EC，BE的长．19．1：1【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径=边长，∴正六边形的半径与边长的比为1：1.【点评】本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．20．9【解析】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．21．23，1【解析】用找规律找出P与n的关系式，不难发现，P与n有下表所列的关系.因此，P=（n﹣3）•n÷2+1，即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化为P=（n﹣）2+，由于n≥3，故P值越大，n取值越大．在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大代入各值，得231÷1=n2﹣n+1，整理，得n2﹣3n﹣460=0 解得n=23或n=﹣20（不合题意，舍去）故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．【点评】本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换．解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P的值最大．22．【解析】如答图.∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．（第22题答图）【点评】解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．23．12【解析】如答图.已知此圆的半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．（第23题答图）【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．24．6【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为6的正六边形外接圆半径是6．【点评】正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．三．25．解：如答图①.连接O1 A，作O1 E⊥AD于点E.∵O1 A=R，∠O1 AE=45°，∴AE=O1 A•cos45°=R，∴AD=2AE=R.如答图②.连接O2 A，O2 B，则O2 B⊥AC.∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cos30°=R，∴AB=R，AC=2AF=R；∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R=：：1．（第25题答图）【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．。

24.6 正多边形与圆第1课时 正多边形与圆01 基础题知识点1 正多边形的概念 1．下列叙述正确的是（B ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形C ．各角相等的多边形是正多边形D ．轴对称图形是正多边形2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（B ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正七边形D ．正八边形3．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（A ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（D ）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C .AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°第4题图 第5题图5．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是45度．6．若正多边形的一个内角等于140°，则该正多边形的边数是9．7．如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA.求证：五边形ABCDE 是正五边形．证明：∵AB＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ， ∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵.∴ABD ︵＝BCE ︵＝CDA ︵＝DEB ︵＝EAC ︵.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.∴五边形ABCDE 是正五边形．8．如图，AD ，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．（不必说明理由）解：本题答案不唯一，如： ①△ADE 是直角三角形；②AD 是正六边形外接圆的直径； ③AD ∥BC 等．知识点2 等分圆周画正多边形9．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB 的度数近似于（C ）A ．11°B ．17°C ．21°D ．25°10．画一个半径为2 cm 的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星．解：画法：（1）以O 为圆心，OA ＝2 cm 为半径画圆；（2）以O 点为顶点，以OA 为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B ，C ，D ，E ；（3）分别连接AB ，BC ，CD ，DE ，EA.则五边形ABCDE 就是所要画的正五边形（如图1）； （4）依次连接AC ，AD ，BD ，BE ，CE.就画出了所要作的对角线和要求的五角星（如图2）．02 中档题11．如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，则∠ACB 等于（C ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°12．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列关系成立的是（C ）A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1<S 2<S 3D ．S 2>S 3>S 113．如图，已知⊙O 内接等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC，∠ACB ，BE ＝BC.求证：五边形AEBCD 是正五边形．证明：∵AB＝AC ，∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝72°.∵BD ，CE 平分∠ABC，∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴AE ︵＝BE ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵.∴AE ＝BE ＝BC ＝CD ＝AD ，∠AEB ＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P.（1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN 的度数．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN. 在△ABM 和△BCN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）．（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN. ∵∠APN ＝∠ABP＋∠BAM，∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC.∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝3×180°5＝108°.∴∠APN ＝108°.03 链接中考15．如图1，2，3，正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN 的度数；（写出解题过程）（2）写出图2中∠APN 的度数和图3中∠APN 的度数；（3）试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系．（直接写答案）解：（1）∵∠APN＝∠AB P ＋∠BAP，又∵点M ，N 以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴BM ︵＝CN ︵.∴∠BAM ＝∠CBN.∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°. （2）图2中∠APN 的度数为90°； 图3中∠APN 的度数为108°. （3）∠APN＝（n －2）·180°n.第2课时 正多边形的性质01 基础题知识点1 正多边形的性质与计算1．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（B ）A . 3B ．2C ．3D ．2 32．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（A ）A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C ．a ＝2r tan 36°D ．r ＝R cos 36°第2题图 第4题图3. （2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A ）A . 2B ．2 2C .22D ．14．如图，AD ，BE ，CF 是正六边形ABCDEF 的对角线，则图中平行四边形的个数有（C ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（C ）A ．3 3B ．3 6C .323D .326 6．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为54°．第6题图 第7题图7．如图，⊙O 的内接正三角形ABC 的边心距OD 为2 cm ，则⊙O 的半径为4cm .8 9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O 与半圆P 的半径的比为2∶1．10．（教材P 51例题变式）求边长为20 cm 的正六边形的面积与此正六边形内切圆周长和外接圆面积．解：如图，易知∠AOB＝360°6＝60°，∴∠DOB ＝30°. 又∵边长为20 cm ， ∴DB ＝10 cm .在Rt △OBD 中，可求得OD ＝10 3 cm ，OB ＝20 cm .∴S 正六边形＝6S △OAB ＝6×12×20×10 3＝6003（cm 2）．正六边形内切圆周长为2π·OD ＝203π cm .正六边形外接圆面积为πOB 2＝400π cm 2.知识点2 正多边形的对称性11．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（C ）A ．216°B ．144°C ．120°D ．72° 12．正二十边形的对称轴有20条．02 中档题 13．（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为（A ）A .22B .32C . 2D . 314．如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为（C ）A ．2 3B ．4C .13D .1115．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白＝（C ）A ．3B ．4C ．5D ．6第15题图 第16题图16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM ＝48°．17．如图，已知⊙O 的两直径AB ，CD 互相垂直，弦MN 垂直平分OB ，交OB 于点E.求证：MB 与MC 分别为⊙O 的内接正六边形和正十二边形的边长．证明：连接OM. ∵MN 垂直平分OB ， ∴MN ⊥OB ，OE ＝12OB ＝12OM ，∴∠EMO ＝30°.∴∠MOB ＝60°.∴∠MOC ＝30°.∵∠MOB ＝360°6＝60°，∠MOC ＝360°12＝30°，∴MB ，MC 分别是⊙O 内接正六边形和正十二边形的边长．18．如图，正五边形ABCDE 的对角线AC ，BE 相交于点M.（1）求证：四边形CDEM 是菱形；（2）设ME 2＝BE·BM，若AB ＝4，求BE 的长．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠D ＝∠DCB＝108°，∠ACB ＝36°， ∴∠DCA ＝72°.∴∠D ＋∠DCA＝180°. ∴DE∥AC.同理可证DC∥BE.∴四边形DEMC 为平行四边形． 又∵DE＝DC ，∴四边形CDEM 是菱形．（2）∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠AEB ＝36°，∠EAM ＝72°. 同理可得∠BAC＝∠ABE＝36°. ∴△ABE ∽△MAB. ∴AB MA ＝BE AB. ∴AB 2＝BE·BM .∵ME 2＝BE·BM，∴ME ＝AB ＝4，BM ＝BE －4. ∴BE （BE －4）＝16.解得BE ＝2＋25或2－25（舍去）， 即BE 的长为2＋2 5.03 链接中考19．图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O 处．（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比．（直接写出答案） 解：（1）连接OA ，OB ，过点O 作OM⊥AB，垂足为M. ∵点O 是正方形ABCD 外接圆圆心， ∴OA ＝OB.∵四边形ABCD 为正方形，∴OM ＝12AB.∴S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∵∠AOB ＝90°，∠AOF ＋∠A′OB＝∠A ′OB ＋∠BOE＝90°， ∴∠AOF ＝∠BOE.又∵∠OAF＝∠OBE ＝45°， ∴△AOF ≌△BOE （ASA ）． ∴S △AOF ＝S △BOE .∴S 重叠＝S △BOF ＋S △BOE ＝S △BOF ＋S △AOF ＝S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∴S 阴影＝34S 正方形ABCD.∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.（2）1∶2.小学+初中+高中小学+初中+高中。

第2课时正多边形的性质知识点1正多边形的性质1．若一个四边形既有外接圆，又有内切圆，且这两个圆是同心圆，则这个四边形一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．正九边形不具有的性质是()A．对角线相等B．一定有外接圆C．是轴对称图形D．是中心对称图形3．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点．图24－6－5例如：它们的一个相同点是正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等；它们的一个不同点是正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点．相同点：(1)________ _____ ________ ________ ________ _____________；(2)____________ _________ ________ _____________________．不同点：(1)______ _____________ ________ ________ _______________；(2)_______ ____________ ________ ________ _______________．知识点2正多边形的计算4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A．4 B．5 C．6 D．75．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6．2016·合肥十校大联考(二) 已知正六边形的边心距为3，则它的周长是()A．6 B．12C．6 3 D．12 37．如图24－6－6，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()图24－6－6A．R2－r2＝a2 B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°8．2018·株洲如图24－6－7，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.图24－6－79．教材习题24.6第4题变式如图24－6－8，用扳手拧螺帽，已知正六边形的螺帽的边长为a，当扳手开口的最大值b＝36 mm时，则能拧下最大正六边形的螺帽的边长a的值为________．图24－6－810．如图24－6－9，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.图24－6－911．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()2 3A. B. C. 2 D. 32 212．如图24－6－10，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE 和CE相交于点M，N.给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN2＝AM·AD；③MN＝3－5；④S△EBC ＝2 5－1.其中正确结论的个数是()图24－6－10A．1 B．2 C．3 D．413．如图24－6－11，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为______________．图24－6－1114．2017·济宁如图24－6－12，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________．图24－6－1215．如图24－6－13，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24 m的正六边形ABCDEF，点O为中心(下面各题的结果均精确到0.1 m)．(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？图24－6－1316．2017·河北已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图24－6－14所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是()图24－6－14A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.517．如图24－6－15①，已知正五边形ABCDE.图24－6－15(1)如图②，AC与BE相交于点P，求证：四边形PEDC为菱形；(2)如图③，延长CD，AE相交于点M，连接BM交CE于点N，求证：CN＝EP；(3)若正五边形ABCDE的边长为2，直接写出AD的长为________．教师详解详析1．D[解析] 因为任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆，所以选项D正确，而平行四边形、矩形、菱形不一定是正多边形．故选D.2．D[解析] 对照正多边形的性质，易知选项A，B，C都是正确的．当正多边形的边数为偶数时是中心对称图形，但边数为奇数时，不具有中心对称图形的特征，所以正九边形不是中心对称图形．3．答案不唯一，如：相同点：(1)每个内角都相等(或每个外角都相等)(2)都是轴对称图形(或都有外接圆和内切圆)不同点：(1)正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°(2)正五边形的对称轴有5条，正六边形的对称轴有6条4．B[解析] 360÷72＝5.5．A6．B7．A[解析] ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，1∴∠BOC＝×360°＝72°.5∵OB＝OC，OH⊥BC，1 1 1∴∠BOH＝∠BOC＝36°，BH＝BC＝a.2 2 2在Rt△BOH中，OB2－OH2＝BH2，1 2 1(a )＝a2，故选项A错误；∴R2－r2＝2 4BH∵sin∠BOH＝sin36°＝，BO1∴BH＝BO·sin36°，即a＝R sin36°，2∴a＝2R sin36°，故选项B正确；BH∵tan∠BOH＝tan36°＝，OH1∴BH＝OH·tan36°，即a＝r tan36°，2∴a＝2r tan36°，故选项C正确；OH∵cos∠BOH＝cos36°＝，BO∴OH＝BO·cos36°，∴r＝R cos36°，故选项D正确．故选A.8．48[解析] 如图，连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，360° ∴∠AOB＝＝72°.5∵△AMN是正三角形，360°∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°.9．12 3 mm[解析] 设正六边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴AM OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形．∵AB＝a，∠AOB＝60°，∴cos∠BAC ＝，AB 3∴AM＝ a.∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，2∴AC＝2AM＝2MC.∵AC＝36 mm，∴3a＝36，∴a＝12 3 mm.10．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，AB＝BC，∠ABC＝∠BAE，∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.(2)连接AD，∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.又∵M为CD的中点，∴AM⊥CD.11．A[解析] 如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图②，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，∵OA＝2，∴OF＝2×cos30°＝3，则该三角形的三边分别为1，2， 3.∵12＋( 2)2＝( 3)2，∴该三角形是直角三角形，1 2∴该三角形的面积是×1× 2×＝.故选A.2 212．C1 33其边长是1，边心距是.2314. [解析] 由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，181 3∴B1B2＝A1B1＝，3 31 3B2＝A1B2＝B1B2∴A＝.2 3∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，3 1∴正六边形A 2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝( )2＝.3 31 3 3 3 ∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6××1×＝，2 2 21 3 3 3 ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝×＝.3 2 21 3 3 3同理：正六边形A 4B4C4D4E4F4的面积＝( )3×＝.3 2 1815．解：(1)过点O作OM⊥AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．∵正六边形ABCDEF的周长为24 m，∴AB＝4 m，且△AOB是等边三角形．在Rt△AOM中，∠OAM＝60°，OA＝4 m，∴OM＝OA·sin∠OAM＝4×sin60°＝2 3≈3.5(m)．答：地基的中心到边缘的距离约为3.5 m.(2)3.5－1－1.6＝0.9(m)．答：塑像底座的半径最大约为0.9 m.16．C17．解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CBA＝∠BCD＝∠BAE＝108°.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∴∠CBE＝72°，∴∠DCB＋∠CBE＝180°，∴CD∥BE，同理AC∥DE，∴四边形PEDC是平行四边形．又∵CD＝DE，∴四边形PEDC是菱形．(2)证明：如图①，连接AN.8∵∠MCA＝∠MAC＝72°，∴MC＝MA.∵BC＝BA，∴BM垂直平分线段AC，∴CN＝AN，∴∠NCA＝∠NAC＝∠CEP＝36°.∵∠PAE＝∠NEA＝72°，∴∠PEA＝∠NAE＝36°.∵AE＝EA，∴△PAE≌△NEA，∴EP＝AN，∴CN＝EP.(3)如图②，在AD上取一点W，使得AW＝WE. 设AW＝x.∵∠A＝∠D＝∠AEW＝36°，∴∠DWE＝∠DEW＝72°，∴DW＝DE＝2.∵∠A＝∠A，∠AEW＝∠D，AE AW∴△AWE∽△AED，∴＝，AD AE即AE2＝AW·AD，∴22＝x(x＋2)，解得x＝5－1(负值已舍去)，∴AD＝2＋x＝5＋1.。

第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( ) (1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A．(1)(2) B． (2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)2．以下说法正确的是A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )A． B． C． D．4.如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（）A． B．C． D．5．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______________________．第5题图第6题图6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H 的大小是度．8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．求证：五边形ABCDE是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。

(1)求图10－1中∠APN的度数；(2)图10－2中，∠APN的度数是_______，图10－3中∠APN的度数是________。

(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）。

轧东卡州北占业市传业学校2正多边形与圆练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④假设一个正多边形的每一个内角是150°,那么这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,那么边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,那么边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①,( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,那么交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,那么交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②假设一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,那么它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,那么边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:四、计算1．正方形面积为8cm2，求此正方形边心距．3．圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长．距长．长．8．圆外切正方形边长为2cm，求该圆外切正三角形半径．10．圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长．长．12．正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径．13．一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比．15．圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积．16．圆O内接正n边形边长为a n，⊙O半径为R，试用a n，R表示此圆外切正n边形边长b n．。