2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）

（1）设生产函数为KALQ，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而,,A均为大于零的参数，则当1Q时K关于L的弹性为______．

【答案】

【考点】导数的经济意义

【难易度】★★

【详解】解析：当1Q时,有1,KAL于是K关于L的弹性为111'().()ALKLLLKLAL

（2）某公司每年的工资总额在比上一年增加%20的基础上再追加2百万元．若以tW表示第t年的工资总额（单位：百万元），则tW满足的差分方程是______．

【答案】11.22tW

【考点】差分方程

【难易度】★

【详解】解析：11(10.2)21.22tttWWW.

（3）设矩阵kkkkA111111111111，且秩,3)(A则k______．

【答案】3

【考点】矩阵的秩、行列式的计算

【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：

若A为n阶方阵，且nAr)(,则0A，反之也成立。

解析：方法1：由题设()3rA,知必有

3111+31111113112,3,41111311111311111111111110100(3)(3)11100101110001=(3)(1)0,kkkkkAkkkkkkkkkkkkkkkk第列加到第列第1行（-1）加到第2,3,4行

解得 1k或3k.显然1k时()1rA,不符合题意,因此一定有3k.

方法2：初等变换.不改变矩阵的秩，对A作初等变换有

1111113111111110001001111010001011110010001kkkkkkkAkkkkkkkk

故知3k时，()3rA.

（4）设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，则根据切比雪夫不等式}6{YXP______．

【答案】112

【考点】切比雪夫不等式

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

切比雪夫不等式：2}{DXEXXP或21}{DXEXXP

解析：令ZXY, 则()()()()220,EZEXYEXEY

()()()()2(,)DZDXYDXDYCovXY

()()2()()XYDXDYDXDY 142(0.5)143,

于是有2()16()6.612DZPXYPZEZ

（5）设总体X服从正态分布)2,0(2N，而1521,,,XXX是来自总体X的简单随机样本，则随机变量)(221521121021XXXXY 服从______分布，参数为______．

【答案】(10,5)F

【考点】F分布

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

①2分布：若随机变量),,2,1(niXi均服从标准正态分布，且相互独立，则)(~222221nXXXn；

②F分布：若)(~),(~22nYmX且X与Y相互独立，则),(~)()(22nmFnnmm；

解析：因为2(0,2)1,2,,15.iXNi于是0(0,1),2iXN从而有

2222221015111(10),(5),2222XXXX

而且由样本的独立性可知，

222101(10)22XX与2221511(5)22XX相互独立.

故2210122110222211151511/1022(10,5).2/522XXXXYFXXXX

故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布.

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设)(xf的导数在ax处连续，又1)(limaxxfax，则（ ）

（A）ax是)(xf的极小值点．

（B）ax是)(xf的极大值点．

（C）))(,(afa是曲线)(xfy的拐点．

（D）ax不是)(xf的极值点，))(,(afa也不是曲线)(xfy的拐点．

【答案】B

【考点】函数的极值、导数的概念

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

若0)(0xf，则))(,(00xfx可能是极值点；又若0)(0xf，为极大值点；0)(0xf，为极限值点。

解析：方法1：由'()lim1,xafxxa知lim'()0,xafx即()0fa,于是有

'()'()'()"()limlim1,xaxafxfafxfaxaxa

即()0fa ,()10fa,故xa是()fx的极大值点,

因此,正确选项为(B).

方法2：由'()lim1,xafxxa；及保号性定理知，存在xa的去心邻域，在此去心邻域内'()0fxxa.于是推知，在此去心邻域内当xa时()0fx；当xa时()0.fx又由条件知()fx在xa处连续，由判定极值的第一充分条件知，()fa为()fx的极大值.

因此，选 (B).

（2）设uufxgxd)()(0，其中,21),1(31,10),1(21)(2xxxxxf则)(xg在区间)2,0(内（ ）

（A）无界． （B）递减． （C）不连续． （D）连续．

【答案】D 【考点】积分上限的函数及其导数

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

有限个第一类间断点，不影响变限积分函数的连续性。

解析：当01x时,有 230111()(1),262xgxxdxxx

当12x时,有22011121()(1)(1)1,2336xxgxxdxxdxx

即3211,0162()211,1236xxxgxxx

所以：32)2161(lim)(lim2311xxxgxx，32))1(6132(lim)(lim211xxgxx

显然()gx在区间[0,2]内连续, 所以,应选 (D).

（3）设,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA,41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB,00010100001010001P

,10000010010000012P其中A可逆，则1B等于（ ）

（A）211PPA． （B）211PAP． （C）121APP． （D）112PAP．

【答案】C

【考点】初等矩阵

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

初等矩阵与矩阵A相乘，实际上是遵循“左行右列”的原则，对矩阵A进行相应的行列变换。

解析：将A的23、列互换，再14、列互换，可得B，根据初等阵的性质，有21BAPP

两边求逆，且111122,PPPP，得11111211212BAPPPPAPPA. 故应选（C）.

（4）设A是n阶矩阵，是n维列向量．若秩0TA秩)(A，则线性方程组（ ）

（A）Ax必有无穷多解．

（B）Ax必有唯一解．

（C）00yXAT仅有零解．

（D）00yXAT必有非零解．

【答案】D

【考点】线性方程组有解和无解的判定

【难易度】★★★

【详解】解析：由题设，显然有秩0TA秩()A1,nn 即系数矩阵0TA非列满秩，因此齐次线性方程组00TAXy必有非零解.故正确选项为（D）.

因为秩0TA秩)(A，所以可由A经过初等变换消去，即Ax有解.不能确定是无穷多解还是唯一解.故(A)(B)不正确.

（5）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（ ）

（A）1． （B）0． （C）21． （D）1．

【答案】A

【考点】相关系数的性质

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

1XY随机变量X与Y线性相关baXY，其中若0a，X与Y正相关，1XY；若0a，X与Y负相关，1XY。 解析：设XY和分别表示正面向上和反面向上的次数,则有XnY，因此X和Y的相关系数为1.

三、（本题满分5分）

设),,(zyxfu有连续的一阶偏导数，又函数)(xyy及)(xzz分别由下列两式确定：

2xyexy和dtttezxx0sin，

求dxdu．

【考点】复合函数的求导法则、多元隐函数的求导法

【难易度】★★★

【详解】解析：根据复合函数求导公式,有()duffdyfdzdxxydxzdx

由2xyexy两边对x求导,得()()0,xydydyeyxyxdxdx即 .dyydxx

由0sin,xzxtedtt两边对x求导,得sin()(1),xxzdzexzdx即()1.sin()xdzexzdxxz

将其代入(*)式,得()1.sin()xdufyfexzfdxxxyxzz

四、（本题满分6分）

已知)(xf在),(内可导，且

exfx)(lim，)]1()([lim)(limxfxfcxcxxxx，

求c的值．

【考点】拉格朗日中值定理、两个重要极限

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

①拉格朗日中值定理：)(xf在],[ba上连续，),(ba内可导，则至少存在一个),(ba，使得)()()()(fabafbf。

②1极限求解过程如下：