第16讲 变化率与导数、导数的计算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【基础巩固】
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数eln1axfxx，04f，则a=( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221sin1xxfxx，其导函数记为fx，则389389389389ffff（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①333logxxe；①21logln2xx；①xxee；①1lnxx；①1xxxee．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数2ln1sinyxx的图象在0x处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．310 B．±310 C．35 D．±35
5．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线yxa与曲线ln()yxb相切，则14ab的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
6．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）过点1,2P作曲线C：4yx的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．280xy B．240xy
C．240xy D．240xy
7．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）函数yfx的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．02332ffff B．02323ffff
课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析：选B 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x.∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选C ∵y＝sin x＋ex，
∴y′＝cos x＋ex，
∴y′| x＝0＝cos 0＋e0＝2，
∴曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
5．分别求下列函数的导数：
(1)y＝ex·cos x；(2)y＝xx2＋1x＋1x3.
解：(1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3. 二保高考，全练题型做到高考达标
1导数的概念及运算【题集】
1. 函数的平均变化率
A.B.C.D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．
【答案】B
【解析】由图可知，，所以，
所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B．
【标注】【知识点】求平均变化率
（1）
（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．
．
【答案】（1）
（2）在区间和上的平均变化率均为．
在区间上的平均变化率，
在区间上的平均变化率．
【解析】（1）
（2）在区间上的平均变化率为
，
在区间上的平均变化率为
．
在区间上的平均变化率为
，
在区间上的平均变化率为
2
．
【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算
A. B.
C. D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（ ）．【答案】C
【解析】，．
【标注】【知识点】求平均变化率
A.B.C.D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（ ）．【答案】C
【解析】函数在区间上的平均变化率为 ，
由函数图象可得，在区间上， ，
即函数在区间上的平均变化率小于；
在区间、、上时， 且相同，
由图象可知函数在区间上的 最大，
所以函数在区间上的平均变化率最大．
故选：．
【标注】【知识点】求平均变化率
2. 瞬时变化率与导数
3（1）
（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．
．
【答案】（1）
（2）．
．
【解析】（1）
（2）．
从而，当时，，
∴．
∵
∴，
∴当时，，
∴．
【标注】【知识点】导数的定义
A.B.C.D.6.若，则（ ）．
【答案】D
【解析】
．
故选：．
4【标注】【知识点】导数的定义
A.B.C.D.7.设是可导函数，且，则（ ）．【答案】C
【解析】，
故选 C．
【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限
A.B.
C.D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）．
【答案】C
【解析】因为在可导，所以，
．
【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
3. 基本初等函数的导数
A.
B.
C.
1 [时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．[2011·余姚模拟] 若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
2．[2011·聊城模拟] 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A．e2 B．2e2 C．4e2 D.e22
3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为( )
A．－15 B．0 C.15 D．5
4．[2011·临沂模拟] 若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.2 C.22 D.3
能力提升
5．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A.194 B.174 C.154 D.134
6．y＝cosx1－x的导数是( )
A.cosx＋sinx＋xsinx1－x2 B.cosx－sinx＋xsinx1－x2
C.cosx－sinx＋xsinx1－x D.cosx＋sinx－xsinx1－x2
7．[2011·耒阳一中模拟] 函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的度数为________．
8．[2011·郑州模拟] 已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意x1，x2∈D，存在正数K，都有∣f(x1)－f(x2)∣≤K∣x1－x2∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝2sinx＋π4；③f(x)＝x－1；④f(x)＝lg(2x2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
