大学物理第四章习题解答

第四章 光的衍射

一、基本知识点

光的衍射：当光遇到小孔、狭缝或其他的很小障碍物时，传播方向将发生偏转，而绕过

障碍物继续前行，并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹。光波的这种现象称为光的衍射。

菲涅耳衍射：光源、观察屏（或者是两者之一）到衍射屏的距离是有限的，这类衍射又

称为近场衍射。

夫琅禾费衍射：光源、观察屏到衍射屏的距离均为无限远，这类衍射也称为远场衍射。

惠更斯－菲涅耳原理：光波在空间传播到的各点，都可以看作一个子波源，发出新的子

波，在传播到空间某一点时，各个子波之间可以相互叠加。这称为惠更斯－菲涅耳原理。

菲涅耳半波带法：

将宽度为a

的

缝AB

沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄

条，

1AA

，

12AA

，…，

kAB

，对于衍射角为

的各条光线，相邻窄条对应点发出的光线到

达观察屏的光程差为半个波长，这样等宽的窄条称为半波带。这种分析方法称为菲涅耳半波

带法。

单缝夫琅禾费衍射明纹条件：sin(21)(1,2,...)

2akk





单缝夫琅禾费衍射暗纹条件：sin(1,2,...)akk



在近轴条件下，

很小，sin



, 则第一级暗纹的衍射角为

1

a





第一级暗纹离开中心轴的距离为

11xff

a





, 式中f

为透镜的焦距。

中央明纹的角宽度为

112

a





中央明纹的线宽度为

002tan2lfff

a





衍射图样的特征：

① 中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍，且绝大部分光能都落在中央明纹上。

② 暗条纹是等间隔的。

③ 当入射光为白光时，除中央明区为白色条纹外，两侧为由紫到红排列的彩色的衍射

光谱。

④ 当波长一定时，狭缝的宽度愈小，衍射愈显著。

光栅: 具有周期性空间结构或光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统

称为光栅。

光栅常数: 每两条狭缝间距离dab

称为光栅常数。a

为透光部分的狭缝宽度，b

为

挡光部分的宽度。

光栅衍射明纹的条件：()sin(0,1,2,...)abkk

第四章 电磁学基础

静电学部分

4.2 解：平衡状态下受力分析

+q受到的力为：

处于平衡状态：

（1）

同理，4q受到的力为：

（2）

通过（1）和（2）联立，可得： ，

4.3 解：根据点电荷的电场公式：

点电荷到场点的距离为：

两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称：

所以：

当 与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。

4.4 解：取一线元，在圆心处

产生场强：

分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向

的分量叠加：

方向：沿x正方向

4.5 解：（1）两电荷同号，电场强度为零的点在内侧； （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7 解：线密度为λ，分析半圆部分：

点电荷电场公式： + +

在本题中：

电场分布关于x轴对称：，

进行积分处理，上限为，下限为：

方向沿x轴向右，正方向

分析两个半无限长：

，， ，

两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量：

在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。

那么大O点的电场强度为：

4.8 解：E的方向与半球面的轴平行，那么

通过以R为半径圆周边线的任意曲面的

电通量相等。所以

通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半

径圆面的电通量，即：

4.9 解：均匀带电球面的场强分布：

球面R1、R2的场强分布为：

根据叠加原理，整个空间分为三部分：

根据高斯定理，取高斯面求场强： 图4-94 习题4.8用图

S1 S2 R

O

场强分布：

方向：沿径向向外

4.10 解：（1）、这是个球对称的问题

当时，高斯面对包围电荷为Q

当，高斯面内包围电荷为q

方向沿径向

（2）、证明：设电荷体密度为

这是一个电荷非足够对称分布的带电体，

思 考 题

阿伏伽德罗定律指出：在温度和压强相同的条件下，相同体积中含有的分子数是相等的，与气体的种类无关。试用气体动理论予以说明。

答： 据压强公式 pnkT ，当压强和温度相同时，n也相同，与气体种类无关；

对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大。当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从微观角度看，两种情况有何区别。

答：气体压强是器壁单位面积上受到大量气体分子频繁地碰撞而产生的平均作用力的结果。当温度不变时，若体积减小，分子数密度增大，单位时间内碰撞器壁的分子数增加，从而压强增大；而当体积不变时，若温度升高，分子的平均平动动能增大，分子碰撞器壁的力度变大，从而压强增大；

从气体动理论的观点说明：

（1）当气体的温度升高时，只要适当地增大容器的容积，就可使气体的压强保持不变。

（2）一定量理想气体在平衡态（p1，V1，T1）时的热动平衡状况与它在另一平衡态（p2，V2，T2）时相比有那些不同设气体总分子数为N，p2< p1，V2< V1。

（3）气体在平衡状态下，则222213xyzvvvv， 0xyzvvv。 (式中xv、yv、zv，是气体分子速度v的三个分量)。

答：（1）由pnkT 可知，温度升高时，n适当地减小，可使压强不变；

（2） 在平衡态（2p，2V,2T）时分子的平均平动动能较在平衡态（1p，1V，1T）时小，但分子数密度较大；

（3） 因分子向各方向运动的概率相同，并且频繁的碰撞，速度的平均值为零，

速度平方的平均值大小反映平均平动动能的大小，所以各分量平方平均值相等；

有人说“在相同温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，氧分子的质量比氢分子的大，所以氢分子的速率一定比氧分子大”。这样讲对吗

答：不对，只能说氢分子的速率平方平均值比氧分子的大。

为什么说温度具有统计意义讲几个分子具有多大的温度，可以吗

答：温度的微观本质是气体分子平均平动动能大小的量度，而平均平动动能是一个统计平均值，只有大量分子才有统计规律，讲几个分子有多大温度，无意义。

第4章 狭义相对论基础习题解答

4-1 在惯性系K中，相距x=5106m的两地两事件时间间隔t=10-2 s；在相对K系沿x轴正向匀速运动的K'系测得这两事件却是同时发生的，求 K'系中发生这两事件的地点间距x'.

解 设K'系相对于K系的速度大小为u,

4-2 在惯性系K中，有两个事件同时发生在x轴上相距31.010m处，从惯性系K′观测到这两个事件相距32.010m，试问从K′测到此两事件的时间间隔是多少？

解 根据洛仑兹变换，有

22222

11uxtxutcx,tuucc

依题设条件，31.010xΔ m，0st，32.010xΔ m，解得

231()2xuccxΔΔ

2622 57710s1uxct.uc

负号表示在K系中观测，'22()xx处的事件先发生。

4-3 在正负电子对撞机中，电子和正电子以0.9c的速率相向运动，两者的相对速率是多少？

解 取地球为K系，电子为K系，并沿x轴负方向运动，正电子为研究对象，根据洛仑兹速度变换公式，有

21xxxu'uc209(09)099409(09)

4-4 一光源在K′系的原点'O发出一光线，其传播方向在''yx平面内且与'x轴夹角为'。试求在K系中测得的此光线的传播方向，并证明在K系中此光线的速度仍是c。

解 已知'cosxc，'sinyc。根据洛仑兹速度变换，有 ΔuΔΔ1222txctucΔuΔ02txcΔΔ2tucx22622222410m1()1()txcxutxxuctcx2''1xxxuuccoscos1cuuc，22'1'1yyxucuc2sin1cos1uccuc