习题解答
（注：无选择题，书本已给出）
习题一
1-6 ｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?
t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t
d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
解：（1）
r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r
-=∆；
（2）
t d d r 是速度的模，即t
d d r
=
=v t s d d . t
r
d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则
t
ˆr ˆt r t d d d d d d r
r
r += 式中
t
r
d d 就是速度径向上的分量， ∴
t
r
t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.
题1-6图
(3)t
d d v 表示加速度的模，即t v
a d d
=，t v d d 是加速度a 在切向上的分量.
∵有ττ
(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以
t
v t v t v d d d d d d ττ += 式中
dt dv
就是加速度的切向分量. (t
t r d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-7 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
出r ＝2
2
y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t
r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度
v =2
2d d d d ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =
2
22222d d d d ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r
+=，
j
t
y i t x
t r a j
t
y i t x t r v
22
2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为
2
222
22222
22
2d d d d d d d d ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y
x
y x
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
22d d d d t
r a t
r
v ==
其二，可能是将
22d d d d t
r
t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t
r
也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2
22d d d d t r t r a θ径。
或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r
及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
x =3t +5, y =
2
1t 2
+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)
解：（1） j t t i t r
)432
1()53(2-+++=m
(2)将1=t ,2=t 代入上式即有
j i r
5.081-= m
j j r
4112+=m j j r r r
5.4312+=-=∆m
(3)∵ j i r j j r
1617,4540+=-=
∴ 104s m 534
201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j
i r r t r v (4)
1s m )3(3d d -⋅++==j t i t
r v 则 j i v 734+= 1
s m -⋅
(5)∵ j i v j i v
73,3340+=+=
204s m 14
44-⋅==-=∆∆=j v v t v a (6) 2s m 1d d -⋅==j t
v
a 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
▲ 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图▲
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 2
2
2
s h l +=
将上式对时间t 求导，得
