2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(五十二)直线的倾斜角与斜率、直线的方程含解析
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课时跟踪练(五十二)
A组 基础巩固
1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
答案：D
2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )
A.33 B.3
C．－3 D．－33
解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.
答案：A
3．(2019·北京海淀区模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2
解析：因为直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，
所以斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x＝2.
答案：A
4．(2019·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．
答案：B
5.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(
)
A．k1 B．k3 C．k3 D．k1 解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0 答案：D 6．(2019·郑州一模)已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( ) A．y＝3x＋2 B．y＝3x－2 C．y＝3x＋12 D．y＝－3x＋2 解析：因为直线x－2y－4＝0的斜率为12，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝3x＋2.故选A. 答案：A 7．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足( ) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1. 又因为tan α＝－ab，所以－ab＝－1，则a＝b，即a－b＝0. 答案：D 8．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( ) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所围三角形的面积为12×b2×|－b|＝14b2，所以14b2≤1，所以b2≤4，又由题意知b≠0，所以b∈[－2，0)∪(0，2]． 答案：C 9．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，因为m∈R，所以x＋2＝0，－y＋1＝0，所以x＝－2，y＝1， 所以直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2，1)． 答案：(－2，1) 10．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________． 解析：BC边的中点坐标为32，－12，所以BC边上中线所在的直线方程为y－0－12－0＝x＋532＋5，即x＋13y＋5＝0. 答案：x＋13y＋5＝0 11．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________． 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距， 如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值， 所以b的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2] 12．若直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则k≠0，直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－2k. 令－3<1－2k<3，解得k<－1或k>12. 答案：(－∞，－1)∪12，＋∞ B组 素养提升 13．(2019·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若fπ4－x＝fπ4＋x，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4 解析：由fπ4－x＝fπ4＋x知函数f(x)的图象关于x＝π4对称，所以f(0)＝fπ2，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率为k＝ab＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D. 答案：D 14．(2019·广州一模)已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为( ) A.92 B.94 C．1 D．9 解析：动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0. 又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3， 所以（4－1）2＋（0－m）2＝3，解得m＝0. 所以a＋c＝2. 又a＞0，c＞0， 所以12a＋2c＝12(a＋c)12a＋2c＝12(52＋c2a＋2ac)≥1252＋2c2a·2ac＝94， 当且仅当c＝2a＝43时取等号，故选B. 答案：B 15．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 解析：直线AB的方程为x3＋y4＝1. 因为动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－34y， 所以xy＝3y－34y2＝－34(y2－4y)＝－34(y－2)2＋3≤3， 即当P点坐标为32，2时，xy取最大值3. 答案：3 16．(2019·新余一中模拟)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数， 就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点； ④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 解析：对于①，比如直线y＝2x＋3，当x取整数时，y始终是一个无理数，即直线y＝2x＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y＝2x－2中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k＝0，b＝12时，直线y＝12不经过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y＝2x－2只经过一个整点(1，0)，⑤正确．故答案为①③⑤. 答案：①③⑤
