2017-2018学年四川省成都市实验高级中学高三数学上12月月考(理)试题(附答案)
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成都实验高级中学2015级高三上学期12月月考试题数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|316,}xAxxN，2{|540}Bxxx，则()RACB的真子集个数为（ B ）
A．1 B．3 C．4 D．7
2.设(1)()2ixyi，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|2|xyi（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3. 已知，，，则（ A ）
A. B. C. D.
【解析】由题意得，，，
∴。选A。
4.对于实数0a，“1ax”是“1xa”的（ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.如图是某高三学生七次模拟考试的物理成绩的茎叶图，则该学生物理成绩的平均数和中位数分别为( B )
A.87和85 B.86和85
C.87和84 D.86和84
6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ B ）
A．1007 B．3025 C．2017 D．3024
7.已知M是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则1x＋y＋x＋yz的最小值是( B )
A.2 B. 3 C. 5 D. 4
8．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（ Ｄ ）
A．3π B．4π C．5π D．6π
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( B )
A.8＋22 B.11＋22
C.14＋22 D.15
10．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ B ）
A． B．
C． D．
11.已知直线1:lyxa分别与直线2:2(1)lyx 及曲线:lnCyxx交于A，B两点，则A，B两点间距离的最小值为D
A.355 B.3 C.655 D.32
12.对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda，给出定义：设()fx是函数()yfx的导数，()fx是函数()yfx的导数，若方程()=0fx有实数解0x，则称点00,xfx为函数()yfx的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数32115()33212gxxxx，则122012()()()201320132013ggg
（ B ）
A．2011 B． 2012 C．2013 D．2014
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。共20分）
13． . 13．；
14.已知向量a，b满足||1a，||2b，||5ab，则|2|ab ．14.22
15.在ABC中，5sin13A，3cos5B，若最大边长为63，则最小边为 ． 15.25
16. 设函数ln,0()21,0xxfxxx，D是由x轴和曲线()yfx及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2222zxyxy在D上的最小值为 . 16.
65
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且的首项与公差相同，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式以及前项和为的表达式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
17.【答案】（1）,（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由数列的首项与公差相同且可得，从而可求得数列的通项公式和前项和公式；（Ⅱ）由条件得，可采用分组求和、裂项求和的方法求解即可。
【解析】：（Ⅰ）依题意得解得；
∴，
.
（Ⅱ）依题意得：，
∴
.
18.（本题满分12分）
如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2AB，60BAD．
（Ⅰ）求证：平面PBD平面PAC；
（Ⅱ）若PAAB，求PC与平面PBD所成角的正弦值．
18.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ACBD.
又∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD．
又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，∴BD平面PAC，
∵BD平面PBD，∴平面PBD平面PAC.
（Ⅱ）解：设ACBDO，因为60BAD，2PAAB，所以1BO，3AOCO，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则(3,0,2)P，(3,0,0)A，(0,1,0)B，(0,1,0)D，(3,0,0)C，所以(3,1,2)PB，(3,1,2)PD，(23,0,2)PC.
设平面PDB的法向量为(,,)nxyz，则0,0,nPBnPD则320,320,xyzxyz解得0y，令3z，得2x，∴(2,0,3)n． 设PC与平面PBD所成角为，则2321sin|cos,|||14||||47nPCnPCnPC，
则PC与平面PBD所成角的正弦值为2114．
19.（本小题满分12分）
王明参加某卫视的闯关活动，该活动共3关．设他通过第一关的概率为0.8，通过第二、第三关的概率分别为p，q，其中pq，并且是否通过不同关卡相互独立．记ξ为他通过的关卡数，其分布列为：
ξ 0 1 2 3
P 0.048 a b 0.192
（Ⅰ）求王明至少．．通过1个关卡的概率；
（Ⅱ）求p，q的值．
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设事件(1,2,3)iAi表示“王明通过第i个关卡”，由题意知1()0.8PA，2()PAp，3()PAq．
„„„„„„„„ 2分
由于事件“王明至少通过1个关卡”与事件“ξ＝0”是对立的，所以王明至少通过1个关卡的概率是1(0)1P． „„„„„„„„„„„ 6分
（Ⅱ）由题意(0)0.2(1)(1)0.048Ppq，(3)0.80.192Ppq．
整理得1pq，0.24pq，又pq，所以0.6p，0.4q． „„„„ 12分
20.（本小题满分12分） 如图，已知直线1:myxl过椭圆1:2222byaxC的右焦点F，抛物线：yx342的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于BA、两点，点BFA、、在直线4xg：上的射影依次为点EKD、、．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且BFMBAFMA21，，当m变化时，探求21的值是否为定值？若是，求出21的值，否则，说明理由.
20.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程
（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，
设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）
由
∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0
∴
又由
∴ 同理
∴
∵
∴
所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值。
21.（本小题满分12分）
已知过点(1,3)，(1,1)且圆心在直线1yx上的圆C与x轴相交于,AB两点，曲线上的任意一点P与,AB两点连线的斜率之积为34．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过原点O作射线OM，ON，分别平行于PA，PB，交曲线于M，N两点，
求OMON的取值范围．
21．本题主要考查直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．
解法一：（Ⅰ）∵圆C过点(1,3)，(1,1)，
∴圆心在直线1y上，……………………………………………………1分
又圆心在直线1yx上，
∴当1y时，0x，即圆心为(0,1).……………………………………2分 又(0,1)与(1,1)的距离为5，
∴圆C的方程为22(1)5xy.……………………………………………3分
令0y，得2x. ……………………………………………………………4分
不妨设(2,0)A，(2,0)B，
由题意可得2APykx，2BPykx，
∴3224APBPyykkxx,
∴曲线的方程为：22143xy(2x)．………………………………6分
（Ⅱ）设11(,)Mxy，射线OM的斜率为(0)kk，则射线ON的斜率为34k.
22,1,43ykxxy解得212221212,3412.34xkkyk………………………7分
∴22211212(1)34kOMxyk．………………………8分
同理，22222292712(1)121691649943343164kkkONkkk…9分
∴222212(1)169=3443kkOMONkk．
设234(3)ktt，则234tk，
∴23(1)431149=9()64ttOMONttt，………………………………10分
