数值计算与最优化(lecture 12)最佳平方逼近

函数的数值逼近

用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。

1、 预备知识

1.1正交多项式的概念及几个重要性质

定义1.1 设有C[a,b]中的函数组,),(,),(),(10xxxn若满足

)1.1()()()(),(,0,0bakjkjAkjkjkdxxxx

其中)(x为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权)(x的正交函数组,其中kA为常数,若kA=1,称该函数组是标准正交的.

定理1.1 设函数组0)(kkx正交,则它们一定线性无关.

证 设),,2,1()(nixi为0)(kkx中任意n 个函数,令

,0)()()(2211xCxCxCnn

上式两边与)(xk作内积,由内积的性质和正交性有

).,,2,1(0),(nkCkkk

因为,0),(kk故有),,2,1(0nkCk.得证.

定理1.2 设],,[)(0baCxnkk它们线性无关的充分必要条件是其Gram行列式,0nG其中

)2.1(),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000nnnnnnnG

证 我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知),,(),(kjjk故nG对应的矩阵是对称矩阵.考虑以naaa,,,10为未知元的线性方程组

nkkjknja0)3.1().,,1,0(0),(

其系数行列式为nG.由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解),,1,0(0nkak的充要条件是,0nG

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专业技术资料 最佳平方逼近与最小二乘拟合

——两者的区别与联系

函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。

一、 函数的最佳平方逼近

（一）最佳平方逼近函数的概念

对baCxf,)(及baC,中的一个子集nspan,,,10，若存在)(*xS，使dxxSxfxSfSfbaSS22222*)()()(infinf，则称)(*xS是)(xf在子集baC,中的最佳平方逼近函数。

（二）最佳平方逼近函数的解法

为了求)(*xS，由dxxSxfxSfSfbaSS22222*)()()(infinf可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数

dxxfxaxaaaIbanjjjn2010)()()(),,,(的最小值问题。

由于),,,(10naaaI是关于naaa,,,10的二次函数，利用多元函数极值的必要条件),,1,0(0nkaIk，即

n),,1,0(0)()()()(20kdxxxfxaxaIkbanjjjk，

于是有),,1,0(,,0nkfakjnjjk。 .. ..

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专业技术资料 ),,,,1(2nnxxxGG),,1,0(,,0nkfakjnjjk是关于n10,,,aaa的线性方程组，称其为法方程。

由于n,,,10线性无关，故系数行列式0,,,10nG，于是方程组),,1,0(,,0nkfakjnjjk有唯一解),,1,0(*nkaakk，

学生实验报告

实验课程名称 应用数值分析

开课实验室

学 院 数学与统计学院 年级

专 业 班

学生姓名 学 号

开课时间 2014 至 2015 学年第 一 学期

总 成 绩

教师签名

数学与统计学院制

开课学院、实验室： 实验时间 ： 2014 年 10月 17

日

实验项目 实验项目类型

名 称 用多项式作最佳平方逼近 验证 演示 综合 设计 其他

指导教师 王坤 成 绩

一． 实验目的

1. 了解用多项式作最佳平方逼近的基本方法和整体思想 2. 用 MATLAB编写程序做最佳平方逼近实验。 3. 以例题 7.2 验证，观察。

二．实验内容

例 7.2

上，分别求函数 f （ x） =|x| 在 Φ1=span{1 ，x，x3} 和 Φ2={1 ，x2，x4} 中的最佳平方 在[-1,1]

逼近函数

三．实验原理、方法（算法） 、步骤

原理：

设 f x C a,b ，若存在 *

span 0 , 1 , , m ，使

|| f * ||22

min || f||22 min b

x f xx 2

a dx

则称 * 是 f x 在 中的最佳平方逼近函数。

取 x 1, f x C 0,1 , span 1, x, x2 , , xm ，则逼近函数为多项式

x a0 a1 x a2 x2 am xm

1 1 Hilbert 矩阵 其中 i , j , f , i f x xi dx di ，法方程的系数矩阵为

i j 1 0

1 1 1 1

2 3 m 1

1 1 1 1

2 3 4 m 2

G1 1 1 1

3 4 5 m 3

1 1 1 1

m 1 m 2 m 3 2m 1

最佳平方逼近的误差

最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。

最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。

最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：

确定逼近函数的形式，例如多项式函数。

确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。

计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。

最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。

最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。