二阶常系数非齐次线性微分方程的一个解法

第23卷　第1期西安科技学院学报Vol.23　No.1　2003年3月　JOURNALOFXI'ANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYMar.2003

文章编号:1671-1912(2003)01-0104-03

二阶常系数非齐次线性微分方程的一个解法

曹根牛

(西安科技学院基础课部,陕西西安　710054)

摘　要:在工科高等数学教材中,关于二阶常系数非齐次线性微分方程只给出了自由项为两种特殊形式(即f(x)=eλxPm(x)或f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx])时的解法,本文就

自由项为一般的一个连续函数f(x),采用常数变异法,并利用分部积分,推出了一般二阶常系数

非齐次线性微分方程的通解公式。常数变异法较之待定系数法,在特解的假设过程中避免了对f(x)形式的讨论,因而更具一般性。

关键词:微分方程;非齐次;常数变异法

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

定理1　设有二阶常系数非齐次线性微分方程

y″+py′+qy=f(x) (p,q为常数)(1)

f(x)为连续函数,其特征方程r2+pr+q=0的根为r1,r2,则方程(1)通解y为:

1)当r1≠r2时y=er1xr1-r2∫e-r1xf(x)dx-er2xr1-r2∫er2xf(x)dx(2)

2)当r1=r2时y=er1x∫[∫e-r1xf(x)dx]dx(3)

3)当r1,2=α±iβ时

y=eαxsinβxβ∫e-αxf(x)cosβxdx-eαxcosβxβ∫e-αxf(x)sinβxdx(4)

证明　方程(1)所对应的齐此方程为y″+py′+qy=0(5)

用代数方法先求特征方程r2+pr+q=0的根,视特征根的情况,求得方程(5)的两个线性无关的特解

y1(x),y2(x),进而得到其通解为

y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1,C2为任意常数)[1]

根据线性微分方程解的结构理论,只需求出方程(1)的一个特解。又y1(x)是(5)的解,所以根据解的结构理论y=Cy1(x)也是(5)的解,但不是(1)的解。现将常数C变异成x的待定函数C(x),即设(1)的

解为y=C(x)y1(x)(这即是常数变异法的含义所在),代入方程(1)得

y1C″+(2y′1+py1)C′+(y″1+py′1+qy1)C=f(x)

因为y1是(5)的解,故y″1+py′1+qy1=0,于是得

y1C″+(2y′1+py1)C′=f(x)

即C″+(2y′1y1+p)C′=f(x)y1

令C′=u则有u′+(2y′1y1+p)u=f(x)y1(6)

收稿日期:2002-04-30作者简介:曹根牛(1962-),男,陕西蓝田人,讲师,主要从事高等数学教学与研究工作.下面来证明

1)当特征方程的二根:r1≠r2时

此时取y1(x)=er1x,易知y1(x)是(5)的解,又y′1(x)=r1er1x,从而得[2]

2y′1y1+p=2r1+p

代入(6)得

u′+(2r1+p)u=e-r1xf(x)

解得u=e-(2r1+p)x1∫e(r1+p)xf(x)dx

两边再积分得C(x)=∫[e-(2r1+p)x1∫e(r1+p)xf(x)dx]dx

采用分部积分法得C(x)=12r1+p[e-(2r1+p)x∫e(r1+p)xf(x)dx-∫e-r1xf(x)dx](7)

因为r1,r2是特征方程r2+pr+q=0的二不等的根,所以有

r1+r2=-p 2r1+p=r1-r2≠0 r1+p=-r2代入(7)得

C(x)=-1r1-r2[e-(r1-r2)x∫e-r2xf(x)dx-∫e-r1xf(x)dx]

于是方程(1)的通解为

y=er1xr1-r2[∫e-r1xf(x)dx-e-(r1-r2)x∫e-r2xf(x)dx]

=er1xr1-r2∫e-r1xf(x)dx-er2xr1-r2∫e-r2xf(x)dx

2)当特征方程的二根r1=r2时

由r1+r2=-p 2r1+p=r1-r2=0化简方程(7)得u′=e-r2xf(x)积分得

u=∫e-r1xf(x)dx

从而C(x)=∫[∫e-r1xf(x)dx]dx

于是得(1)的通解为

y=er1x∫[∫f(x)e-r1xdx]dx

3)当特征方程的根为r1,2=α±iβ时由线性齐次微分方程解的结构理论知

y=12(er1x+er2x)=eαxcosβx

是(5)的解,此时取y1=eαxcosβx,y′1=αeαxcosβx-βeαxsinβx,又由2次方程根与系数的关系知

r1-r2=2α=-p

于是2y′1y1+p=2α-2βtanβx+p=-2βtanβx

代入(3)得

u′-2βtanβxu=e-αxf(x)secβx

解得u=sec2βx∫e-αxf(x)cosβx

再积分得[3]

C(x)=∫[sec2βx∫e-αxf(x)cosβxdx]dx

分部积分得C(x)=1β[tanβx∫e-αxf(x)cosβxdx-∫e-αxf(x)sinβxdx]105第1期 曹根牛　二阶常系数非齐次线性微分方程的一个解法于是得(1)的通解为

y=eαxsinβxβ∫e-αxf(x)cosβxdx-eαxcosβxβ∫e-αxf(x)sinβxdx

证毕。

参考文献:

[1]　同济大学数学教研室.高等数学第四版[M].北京:高等教育出版社,1997.369-392.[2]　中山大学数学力学系.常微分方程[M].北京:人民教育出版社,1978.115-118.[3]　钱祥征.常微分方程解题方法[M].长沙:湖南科学技术出版社,1984.185-195.

Solutionforsecondorderconstant-coefficientnon-

homogeneouslinerdifferentialequation

CAOGen-niu(Dept.ofBasicCourses,Xi'anUniversityofScienceandTechnology,Xi'an710054,China)

Abstract:Thereareonlytwosolvingprocessforsecondorderconstant-coefficientnon-homogeneouslinerdif-

ferentialequationwhilethefree-termhavetwospecialfor(namelyf(x)=eλxPm(x)orf(x)=

eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx])inthehighermathematicsteachingmaterialofengineeringcourse.This

papergivesthegeneralsolutionformulaoftheabovedifferentialequationwhilethefree-termisageneralcon-tinuousfunctionf(x),usingcoefficient-variationandsubsectionintegral.Thecoefficient-variationismore

generalthantheundetermined-coefficient-variation,itneedn'tdiscusstheformoffunctionf(x)whensup-

posingthespecialsolution.

Keywords:differentialequation;non-homogeneous;coefficient-variation106西安科技学院学报 2003年