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数列求通项公式及求和的常用方法

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数列求通项公式与求和的常用方法

求通项公式

一.公式法：（高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比）

1、等差数列公式

例1．已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10，求数列{an}的通项公式.

2、等比数列公式

例2.设{}na是公比为正数的等比数列，12a，324aa，求{}na的通项公式.

3、通用公式:

(若已知数列的前n项和nS的表达式，求数列na的通项na可用公式211nSSnSannnn 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式)

例3．已知数列}{na的前n项和12nsn，求}{na的通项公式.

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二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：na和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法

1、叠加法:(一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，且)()2()1(nfff的和比较好求，我们可以采用此方法来求na)即：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n；

例4．数列na的首项为3,nb为等差数列且Nnaabnnn1．若则12,2103bb，则8a( )

A．0 B．3 C．8 D．11

例5．已知数列na满足11211,2nnaaann，求数列na的通项公式.

2、叠乘法：（一般地对于形如“已知a1，且n1naa=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n）

例6．在数列｛na｝中，1a =1,nnnaan11，求na的表达式.

3、构造法（当数列前一项和后一项即na和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法）

1．待定系数法（①、一般地对于an =kan-1 +m(k、m为常数）型，可化为的形式an +λ=k(an-1 +λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求na) 精品一对一· 数学 师之航教育

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例7. 数列na满足21a，321nnaa,求数列na的通项公式；

②、对于1()(nnapafn其中p为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：(1)当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为CBnAaann1型，可化为])1([21211naAnann的形式来求通项。

例8.设数列na中，123,111naaann，求na的通项公式。

(2).当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为BAaann1nC（A、B、C为常数，）型，可化为11nnCa=nnCaA(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求na

例9.数列na中，21a且Nnaannn321,求通项公式na.

(3).当然对于BAaann1nC这种形式递推关系求na时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求na。 精品一对一· 数学 师之航教育

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例10、在数列na中，Nnaaannn232,211，求数列na的通项公式.

（2）、倒数法:(一般地形如11nnnaakab、nnnnaaaa11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式)

例11.已知数列na满足：13,1111nnnaaaa，求na的通项公式。

例12.在数列{na}中，311a，并且对任意2,nNn都有nnnnaaaa11成立，令)(1Nnabnn求数列{nb}的通项公式 .

（3）、对数法:(当数列na和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：anp = man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解) 精品一对一· 数学 师之航教育

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例13.已知21a，点1,nnaa在函数xxxf22的图象上，其中3,2,1n,证明数列na1lg是等比数列；

例14.若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=▁▁▁

例15、已知 a 1 =2， a 2 =3，nnnaaa122，求通项公式。

例16．已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na。

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例17.已知数列}na满足， *11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.

令1nnnbaa，证明：{}nb是等比数列；

(Ⅱ)求}na的通项公式。

三 、当题中给出的是Sn 和na的关系时，我们一般通过作差法结合an = Sn－Sn－1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到na和an+1的递推关系，或消掉na得到Sn 和Sn－1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。

例18：已知各项均为正数的数列{na}的前n项和满足1nS，且*),2)(1(6NnaaSnnn,求{na}的通项公式；

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例19.设数列{}na的前n项和为,nS 已知11,a142nnSa

（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列;

（II）求数列{}na的通项公式。

第一类：公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列的前n项和公式

2)1(2)(11dnnnaaanSnn

2、等比数列的前n项和公式

)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

3、常用几个数列的求和公式

（1）、)1(213211nnnkSnkn

（2）、)12)(1(61321222212nnnnkSnkn

（3）、2333313)]1(21[321nnnkSnkn

第二类：乘公比错项相减（等差等比）

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{nnba的前n项和，其中}{na，}{nb分别是等差数列和等比数列。 精品一对一· 数学 师之航教育

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例1.数列{}na中，()111232123nna,aacncn,,a,a,a+==+=是常数，且成公比不为1的等比数列.

（1）求c的值；

（2）求{}na的通项公式.

第三类：列项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

1、乘积形式，如：

（1）、111)1(1nnnnan

（2）、)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan

（3）、])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan

（4）、nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则

2、根式形式，如：nnnnan111

例2：已知等差数列{}na的首项 12a,d=公差不为0，2242aa=.

（1）求d的值；

（2）证明：对任意的n属于正整数，24nnna,a,a成等比数列；

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求𝒔𝒏的四种方法总结

常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.

【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.

因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.

(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.

2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：

公式：数列𝒄𝒏=(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏−𝟏，(𝒂𝒏+𝒃)为等差数列，𝒒𝒏−𝟏为等比数列。

前𝐧项和𝑺𝒏=(𝑨𝒏+𝑩)𝒒𝒏+𝑪

𝑨=𝒂𝒒−𝟏，𝑩=𝒃−𝑨𝒒−𝟏，𝑪=−𝑩

𝑺𝒏=(𝒂+𝒃)+(𝟐𝒂+𝒃)𝒒+(𝟑𝒂+𝒃)𝒒𝟐+⋯[(𝒏−𝟏)𝒂+𝒃]𝒒𝒏−𝟐+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏−𝟏 ①

𝒒𝑺𝒏=(𝒂+𝒃)𝒒+(𝟐𝒂+𝒃)𝒒𝟐+(𝟑𝒂+𝒃)𝒒𝟑+⋯[(𝒏−𝟏)𝒂+𝒃]𝒒𝒏−𝟏+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏 ②

②-①得：

(𝒒−𝟏)𝒔𝒏=−(𝒂+𝒃)−𝒂(𝒒+𝒒𝟐+⋯𝒒𝒏−𝟏)+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏

=−(𝒂+𝒃)−𝒂⋅𝒒(𝟏−𝒒𝒏−𝟏)𝟏−𝒒+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏

=(𝒂𝒏+𝒃−𝒂𝒒−𝟏)𝒒𝒏−(𝒃−𝒂𝒒−𝟏) 𝑺𝒏=(𝒂𝒒−𝟏⋅𝒏+𝒃−𝒂𝒒−𝟏𝒒−𝟏)⋅𝒒𝒏−𝒃−𝒂𝒒−𝟏𝒒−𝟏

数列求和的8种常用方法

数列求和的8种常用方法

数列求和的8种常用方法

数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。

一、等差数列求和公式

对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

二、等比数列求和公式

对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：

$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1

或者当q=1时，$S=a_1n$

其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

三、几何级数求和公式

对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：

$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1

四、等差数列-等比数列混合求和公式 对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：

$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1

五、反比例数列求和公式

对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots +

\frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：

数列求和的8种常用方法(最全)

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求数列前n项和的8种常用方法

一.公式法（定义法）：

1.等差数列求和公式：

1

1()(1)

22n

nnaann

Snad



特别地，当前n项的个数为奇数时，

211(21)

kkSka

，即前n项和为中间项乘以项数。这个公

式在很多时候可以简化运算；

2.等比数列求和公式：

（1）1q

，

1nSna；

（2）1q

，

11

1n

naq

S

q

，特别要注意对公比的讨论；

3.可转化为等差、等比数列的数列；

4.常用公式:

（1）

1n

kk

1

2123(1)nnnL；

（2）2

1n

kk



222211

631

123(1)(21)()(1)

2nnnnnnnL；

（3）3

1n

kk



33332(1)

2123[]nn

n

L；

（4）

1(21)n

kk

2

135(21)nnL.

例1 已知

3log1

log

23

x，求23n

xxxx的前n项和.

解：由

21

2loglog

3log1

log

33

23

xxx

由等比数列求和公式得 23n

nSxxxxL

＝

xxxn



1)1(

＝

21

1)

21

1(

21



n

＝1－

n

21

例2 设

123

nSn，*

nN,求

1)32()(



nn

SnS

nf的最大值.

解：易知 )1(

21

nnS

n， )2)(1(

21

1

nnS

n

∴

1)32()(



nn

SnS

nf＝

64342

nnn

＝

nn64

341

＝

50)8

(1

2



nn501

∴ 当

88

n，即8n时，

501

)(

maxnf.

二.倒序相加法:如果一个数列

na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那

么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是

将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(

1naa. 例3 求

(完整版)数列通项公式及其求和公式

(完整版)数列通项公式及其求和公式

一、数列通项公式的求法

（1）已知数列的前n项和nS,求通项na；

（2）数学归纳法：先猜后证;

（3）叠加法(迭加法)：112211()()()nnnnnaaaaaaaaL；

叠乘法(迭乘法)：1223322111aaaaaaaaaaaannnnnnn.

【叠加法主要应用于数列{}na满足1()nnaafn，其中()fn是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()nnaafn，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出na，从而求出ns】

（4）构造法(待定系数法):形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列；

【用构造法求数列的通项或前n项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n项和.】

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】

①1+1=,()nnaaaafn型，其中()fn是可以和数列，用累加法求通项公式，即1(1)(2(2)(1)nafnfnffa……

类型1：)(1nfaann

思路（叠加法）1(1)nnaafn，依次类推有：12(2)nnaafn、23(3)nnaafn、…、21(1)aaf，将各式叠加并整理得111()nniaafn，即111()nniaafn

例题1：已知11a，1nnaan，求na

解：∵1nnaan ∴1nnaan，依次类推有：122321122nnnnaanaanaa、、…

∴将各式叠加并整理得12nniaan，121(1)2nnniinnaann