高数第六章答案

.

习题62

1 求图621 中各画斜线部分的面积

(1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 61]2132[)(1022310xxdxxxA.

(2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为

(

1|)()(1010xxeexdxeeA

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1 e] 所求的面积为

1)1(|lnln111eedyyyydyAeee

(3)

解

画斜线部分在x轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为

332]2)3[(132dxxxA

(4)

》

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为

332|)313()32(3132312xxxdxxxA

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积

(1) 221xy与x2y28(两部分都要计算)

解

388282)218(220220220220221dxxdxxdxxdxxxA

34238cos16402tdt

346)22(122SA

—

(2)xy1与直线yx及x2

解

所求的面积为 212ln23)1(dxxxA

(3) yex yex与直线x1

解

所求的面积为

1021)(eedxeeAxx

\

(4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0).

解

所求的面积为

abedyeAbaybaylnlnlnln

3 求抛物线yx24x3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积

解

y2

x4

~

过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y4(x3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y2x6

两切线的交点为)3 ,23( 所求的面积为

49]34(62[)]34(34[23023232dxxxxxxxA

4 求抛物线y2=2px及其在点),2(pp处的法线所围成的图形的面积

解

2yy2p

在点),2(pp处 1),2(ppypy 法线的斜率k1

$

法线的方程为)2(pxpy 即ypx23

求得法线与抛物线的两个交点为),2(pp和)3,29(pp

法线与抛物线所围成的图形的面积为

233232316)612123()223(pypyypdypyypApppp

5 求由下列各曲线所围成的图形的面积

(1)2acos

解

所求的面积为

》

2022222cos4)cos2(21dadaAa2

(2)xacos3t, yasin3t;

解

所求的面积为

2042202330sincos34)cos()sin(44tdttatadtaydxAa

2206204283]sinsin[12atdttdta

。

(3)=2a(2+cos )

！

解

所求的面积为

2202220218)coscos44(2)]cos2(2[21adadaA

6 求由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积

解

所求的面积为

aaadttadttataydxA20222020)cos1()cos1()cos1(

22023)2cos1cos21(adtttaa

%

7 求对数螺线ae()及射线所围成的图形面积

解

所求的面积为

)(421)(21222222eeadeadaeA

8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积

(1)3cos 及1cos

解

（

曲线3cos 与1cos交点的极坐标为)3,23(A )3,23(B 由对称性

所求的面积为

45])cos3(21)cos1(21[2232302ddA

(2)sin2及2cos2

解

曲线sin2与2cos2的交点M的极坐标为M)6,22( 所求的面积为

2316]2cos21)sin2(21[246602ddA

·

9 求位于曲线y=ex下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积

解 设直线ykx与曲线yex相切于A(x0 y0)点 则有

kexyeykxyxx00)(0000

求得x01 y0e ke

所求面积为

,

21ln21)ln1(00020edyyyyyyedyyyeeeee

10

求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值

解 设弦的倾角为 由图可以看出 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为

10AAA

显然当2时 A10 当2时

A10

因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为

20300383822axadxaxAaa

11 把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积

,

解 所得旋转体的体积为

2002002224000xaxaaxdxdxyVxxx

12 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积

解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为

712871207206202xdxxdxyVx

绕y轴旋转所得旋转体的体积为

&

803280223282dyydyxVy

56453328035y

13 把星形线3/23/23/2ayx所围成的图形 绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积

解 由对称性 所求旋转体的体积为

dxxadxyVaa03323202)(22

30234323234210532)33(2adxxxaxaaa

14 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2HRHV

证明 RHRRHRdyyRdyyxV)()(222

【

)3()31(232HRHyyRRHR

15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积

(1)2xy 2yx 绕y轴

解 103)5121()(1052102210yydyyydyV

(2)axaych

x0 xa y0 绕x轴

解 102302202ch ch)(uduaauxdxaxadxxyVaa令

？

1022310223)21221(4)2(4uuuueueadueea

)2sh2(43a

(3)16)5(22yx 绕x 轴

解 44224422)165()165(dxxdxxV

24021601640dxx

(4)摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 y0 绕直线y2a

解 aadxyadxaV202202)2()2(

20223)sin()]cos1(2[8ttdataaa

）

232023237sin)cos1(8atdttaa

16 求圆盘222ayx绕xb(b>a>0)旋转所成旋转体的体积

解 aaaadyyabdyyabV222222)()(

2202228badyyaba

17 设有一截锥体 其高为h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B

求这截锥体的体积

解

建立坐标系如图

过y轴上y点作垂直于y轴的平面 则平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为 yhaAA yhbBB

截面的面积为)()(yhbBByhaAA

|

于是截锥体的体积为

])(2[61)()(0bAaBABabhdyyhbBByhaAAVh

18 计算底面是半径为R的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积

解 设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x) 由已知条件知 它是边长为xR2的等边三角形的面积 其值为

)(3)(22xRxA

所以 322334)(3RdxxRVRR

19 证明 由平面图形0axb 0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

badxxxfV)(2

[

证明 如图 在x处取一宽为dx的小曲边