冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题16圆锥曲线的基本量问题含解析

专题16 圆锥曲线的基本量问题

【自主热身，归纳总结】

1、双曲线x24－y23＝1的渐近线方程为________．

【答案】： 3±2y＝0

思路分析 把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程．

该双曲线的渐近线方程为x24－y23＝0，即3±2y＝0.

2、 已知椭圆C的焦点坐标为F1(4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为 ．

【解析】 AF1+ AF2=62，椭圆C的标准方程为221182xy．

3、在平面直角坐标系Oy中，已知双曲线C与双曲线2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为________．

【答案】. 43

解法1 与双曲线2－y23＝1有公共的渐近线的双曲线C的方程可设为2－y23＝λ，又它经过点P(－2，3)，故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C的方程为x23－y29＝1，故a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，c＝23，2c＝43.

解法2 因为双曲线2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3，且双曲线C过点P(－2，3)，它在渐近线y＝－3的下方，而双曲线C与2－y23＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C的焦点在轴上，设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，从而ba＝3，4a2－3b2＝1，解得a2＝3，b2＝9，从而c＝23，故双曲线C的焦距为43.

4、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是

．

【解析】 由，得9252m．

【变式2】、已知抛物线2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．

【答案】 2－1

解法1 由抛物线方程可得，焦点为F0，p2；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c)．故p2＝c，将y＝c代入椭圆方程可得＝±b2a.又抛物线通径为2p，所以2p＝2b2a＝4c，所以b2＝a2－c2＝2ac，即e2＋2e－1＝0，解得e＝2－1.

解法2 由抛物线方程以及直线y＝p2可得，Qp，p2.又p2＝c，即Q(2c，c)，代入椭圆方程可得c2a2＋4c2b2＝1，化简可得e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－22，e2＝3＋22＞1(舍去)，即e＝3－22＝2－1(负值舍去)．

解后反思 本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法1将直线y＝c与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法2简单．

【变式3】、如图，已知过椭圆的左顶点,0Aa作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且2PQQA，则椭圆的离心率为

.

【答案】：255

思路分析1：由于2PQQA，故可将Q点的坐标用A，P的坐标表示出，利用点Q在椭圆上，得到关于,,abc的一个等式关系，求出椭圆的离心率。 解法1因为AOP是等腰三角形，所以OAOP，故，又2PQQA，所以，由点Q在椭圆上得224199ab，解得2215ba，故离心率。

思路分析2：由于点Q是直线AP与椭圆的交点，故将直线AP方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点Q的坐标，再由2PQQA得到点Q的坐标，由此得到关于,,abc的一个等式关系，求出椭圆的离心率。

解法2 因为AOP是等腰三角形，所以OAOP，故设直线与椭圆方程联立并消去x得：，从而，即，又由，2PQQA得23Qax，故，即2254ca，故255e。

【关联1】、在平面直角坐标系Oy中，设直线l：＋y＋1＝0与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．

【答案】. (1，2)

【解析】：双曲线的渐近线为y＝ba，y＝－ba，依题意有－ba>－1，即b

【关联2】、设点P是有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝________. 【关联3】、如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，圆O：2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设AP→＝λPQ→.

(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；

(2) 若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．

【解析】 (1) 由P在圆O：2＋y2＝b2上，得b＝3.

又点Q在椭圆C上，得42a2＋1232＝1，解得a2＝18，

所以椭圆C的方程是x218＋y29＝1.(5分)

(2) 解法1 由 y＝kx＋b，x2＋y2＝b2，得＝0或P＝－2kb1＋k2.(7分)

由 y＝kx＋b，x2a2＋y2b2＝1，得＝0或Q＝－2kba2a2k2＋b2.(9分)

因为AP→＝λPQ→，λ＝3，所以AP→＝34AQ→，

所以2kba2a2k2＋b2·34＝2kb1＋k2，即a2a2k2＋b2·34＝11＋k2，所以2＝3a2－4b2a2＝4e2－1.

因为2＞0，所以4e2＞1，即e＞12，又0＜e＜1，所以12＜e＜1.(16分)

解法2 A(0，b)，设P(1，y1)，Q(2，y2)，

则有21＋y21＝b2 ①，x22a2＋y22b2＝1 ②.(7分)

又因为AP→＝λPQ→，λ＝3，所以AP→＝34AQ→，即(1，y1－b)＝34(2，y2－b)．解得2＝431，y2＝43y1－13b，代入②得16x219a2＋16y21－8by1＋b29b2＝1.(9分) 又21＝b2－y21，消去21整理得2(a2－b2)y21－a2by1－b2(a2－2b2)＝0，

即[2(a2－b2)y1＋b(a2－2b2)](y1－b)＝0，解得，y1＝b2b2－a22a2－b2或y1＝b(舍去)，因为－b＜y1＜b，所以－b＜b2b2－a22a2－b2＜b，解得b2a2＜34.(14分)

而e2＝1－b2a2＞1－34＝14，即e＞12，又0＜e＜1，所以12＜e＜1.(16分)

解后反思 【解析】几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，【解析】几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．

所以，

所以， …… 8分

所以，

所以AB的垂直平分线方程为．

因为DA=DB，所以点D为AB的垂直平分线与轴的交点，所以，

所以． …… 10分

因为椭圆的左准线的方程为4x，离心率为12，

由第二定义得：1142AFx，得，

同理．

所以． …… 12分 （或直接用弦长公式得：也可）

所以4ABDF．

综上，得ABDF的值为4． …… 14分

方法2：设11()Axy，，22()Bxy，，AB的中点为00()Mxy，，

① 若直线AB与轴重合，4ABDF； …… 6分

② 若直线AB不与轴重合，

设11()Axy，，22()Bxy，，AB的中点为00()Mxy，，

由得，所以，

所以直线AB的斜率为， …… 8分

所以AB的垂直平分线方程为．

因为DA=DB，所以点D为AB的垂直平分线与轴的交点，

所以0(0)4xD，，所以014xFD． …… 10分

同方法一，有04ABx， …… 12分

所以4ABDF．

综上，得ABDF的值为4． …… 14分

方法3：① 若直线AB与轴重合，4ABDF． …… 6分

② 若直线AB不与轴重合，设11()Axy，，22()Bxy，，则AB的中点为，

所以AB的垂直平分线方程为． 8分

令y=0，得 22121211442()xxxx128xx．

所以． …… 10分

同方法一，有， …… 12分

所以4ABDF．

综上，得ABDF的值为4． …… 14分

【关联4】、在平面直角坐标系Oy中，已知点P1，32在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．

规范解答 (1)由题意知，1a2＋94b2＝1,2a＝4. (2分)

解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1. (4分)

(2) 解法1 设M(1，y1)，N(2，y2)，则ON的中点坐标为x22，y22，PM的中点坐标为1＋x12，32＋y12.

因为四边形POMN是平行四边形，所以 1＋x12＝x22，32＋y12＝y22.)即 x1＝x2－1，y1＝y2－32.)(6分)

由点M，N是椭圆C上的两点，

所以 3x22＋4y22＝12，3x2－12＋4y2－322＝12.)(8分) 解得 x2＝2，y2＝0)或 x2＝－1，y2＝32.) (12分)

由 x2＝2，y2＝0，)得 x1＝1，y1＝－32.)由 x2＝－1，y2＝32，)得 x1＝－2，y1＝0.)

所以点M1，－32，点N(2,0)；或点M(－2,0)，

点N－1，32.(14分)

解法2 设M(1，y1)，N(2，y2)，因为四边形POMN是平行四边形，所以ON→＝OP→＋OM→，

所以(2，y2)＝1，32＋(1，y1)，即 x2＝1＋x1，y2＝32＋y1，(6分)

由点M，N是椭圆C上的两点，

所以 (8分)

用②－①得1＋2y1＋2＝0，即1＝－2－2y1，