某些非线性发展方程新的精确解(英文)

第９卷　２０１０正　第６期　ｌ２月　广州大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．９　Ｄｅｃ．　Ｎｏ．６　２０１０　

文章编号：１６７１－４２２９（２０１０）０６－００６０—０５　

某些非线性发展方程新的精确解　

杜先云　，尚亚东２　

（１．绵阳师范学院数学与计算机科学系，四川绵阳６２１０００；　２．广州大学数学与信息科学学院，广东广州５１０００６）　

摘要：利用新的辅助微分方程，描述了一个构造数学物理中非线性发展偏微分方程精确解的直接代数方法　借助这种方法，考察了某些具有重要应用背景的非线性发展偏微分方程，并且获得了丰富的新的精确行波解　

所得结果推广了先前文献的结果．　关键词：非线性发展方程；辅助方程；精确解；行波解　中图分类号：Ｏ　１７５．２９　文献标志码：Ａ　

Ａｂｕｎｄａｎｔ　ｎｅｗ　ｅｘａｃｔ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　

ｓｏｍｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＤＵ　Ｘｉａｎ—ｙｕｎ，ＳＨＡＮＧ　Ｙａ—ｄｏｎｇ　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｍｉａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ　６２１０００，Ｃｈｉｎａ　２　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｎｉａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０００６，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｎｅｗ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａ　ｄｉｒｅｃｔ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｔｏ　

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　

ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｂｙ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ｓｏｍｅ　ｗｅｌｌ—ｋｎｏｗｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ａｐ—　

ｐｌｉｅｄ　ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｓ　ａｒｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ａｎｄ　ａｂｕｎｄａｎｔ　ｌｌｅｗ　ｅｘａｃｔ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　

ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｎ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ　ａｒｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　

ＣＬＣ　ｎｕｍｂｅｒ：０　１７５．２９　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：Ａ　

Ｉｎ　ｒｅｃｅｎｔ　ｙｅａｒｓ，ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｓｅａｒｃｈｉｎｇ　ｆｏｒ　ｅｘａｃｔ　ＳＯ・　

ｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｓ　ｂｅｃｏｍｅ　

ｍｏｒｅ　ａｔｔｒａｃｔｉｖｅ　ｔｏｐｉｃ　ｉｎ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎ—　

ｅａｒ　ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｖａｒｉｏｕｓ　ｄｉｒｅｃｔ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｐｒｏ—　ｐｏｓｅｄ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｔａｎｈ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［卜４１，Ｊａｃｏｂｉ　ｅｌ—　

ｌｉｐｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　，ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　

ｂａｌａｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　Ｅ　一　．　ｓｉｎｅ－ｃｏｓｉｎｅ　ｍｅｔｈｏｄ．　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｔｅｓｔ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ［　一　．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ．ａ　ｎｅｗ　ｄｉｒｅｃｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ｃａｌｌｅｄ　ｔｈｅ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．ｉｓ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ｆｏｒ　ｓｅａｒｃｈｉｎｇ　ＮＬＰＤＥｓ［　。一　．　Ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｃｔｕａｌｌｙ　ａｌｌｏｗｓ　ｏｎｅ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｎｅｗ　ｅｘａｃｔ　

ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｃａｎｎｏｔ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　

ｏｔｈｅｒ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｔａｎｈ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｍｏｒｅ　ｉｍｐｏｒ－　

ｔａｎｔｌｙ，ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｐｅｒｍｉｔｓ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＳＯ—　

ｌｕｔｉｏｎｓ　ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｒｅｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．　

Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｏｔｈｅｒ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｅｘａｃｔ　ＳＯ－　

Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ：２０１０—０５—１　１：Ｒｅｖｉｓｅｄ　ｄａｔｅ：２０１０—０７—０７　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍｓ：Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｙ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（１０７７１０４１，４０８９０１５３）ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｐｒｏｇｒａｍ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ（２００８Ｂ０８０７０１０４２）　Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＤＵ　Ｘｉａｎ—ｙｕｎ（１９６４一），ｍａｌｅ，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ，Ｐｈ　Ｄ．Ｅ—ｍａｉｌ：ｄｘｙｍｎｕ＠１６３．ｃｏｉｎ　｛Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ａｕｔｈｏｒ．Ｅ—ｍａｉｌ：ｇｚｙｄｓｈａｎｇ＠１２６．ｃｏｒｎ

　第６期　杜先云等：某些非线性发展方程新的精确解　６１　

ｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　

ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ　ｍｅｔｈｏｄ．　

１　Ｓｕｍｍａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ｍｅｔｈｏｄ　

Ｌｅｔ　ｕｓ　ｎｏｗ　ｓｉｍｐｌｙ　ｄｅｓｃｒｉｂｅ　ｔｈｅ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｅｑｕａ—　

ｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｏｒ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ＮＬＰＤＥ　ｆｏｒ　Ｍ（　，ｔ）ｉｎ　ｔｈｅ　

ｆｏｒｍ　

Ｆ（／ｚ，ｕ　，“　，ｕ　，ｕ　，Ｍ　…）＝０　（１）　

Ｗｅ　ｗａｎｔ　ｔｏ　ｓｅｅｋ　ｉｔｓ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｆｏｒｍ　

ｕ（ｘ，ｔ）＝“（　），　＝　＋　＋　（２）　

ｗｈｅｒｅ　０　ｉｓ　ａｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．Ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒ．　

ｍａｔｉｏｎ（２），Ｅｑ．（１）ｂｅｃｏｍｅｓ　ａｎ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　

ｅｑｕａｔｉｏｎ　

Ｆ（　，　，ｎ”，…）＝０　（３）　

Ｗｅ　ｓｅｅｋ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｅｑ．（３）ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　

（　）　＝　ｍ　∑　

＝ｏ　ｎ　（　）　

ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ａ　（ｉ＝１，２…，ｍ）ａｒｅ　ａｌｌ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ　ｔｏ　ｂｅ　ｄｅｔｅｒ—　

ｍｉｎｅｄ，ｍ　ｉｓ　ａ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　

ｂｙ　ｂａｌａｎｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｈｉｇｈｅｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｔｅｒｍｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　

ｈｉｇｈｅｓｔ　ｐｏｗｅｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｅｒｍｓ　ｉｎ　Ｅｑ．（２），ａｎｄ　Ｆ（　）　

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

（莓）　＝ｑ２Ｆ　＋ｇ３Ｆ　＋ｇ４Ｆ　

ｗｈｅｒｅ　ｑ　（Ｊ＝２，３，４）ａｒｅ　ｒｅａｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｓｉｒｅｎｄａｏｒｉ．　

ｊｉ　ｇａｖｅ　ｍａｎｙ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ｙｉｅｌｄｅｄ　

ｎｅｗ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ＮＬＰＤＥｓ．Ｉｎ　

ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｎｅｗ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　

Ｅｑ．（５），ｔｈａｔ　ｉｓ　ｔｏ　ｓａｙ，ｗｅ　ｓｈａｌｌ　ｓｅｅｋ　ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｓｏ—　

ｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　

ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｎｅｗ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｅｑ．（５）：　

Ｔｙｐｅ　１　Ｉｆ　ｑ２＝ａ　，ｑ３＝一２ａ　ｂ，ｑ４＝ａ　（ｂ。一ｃ　

一ｄ　），Ｅｑ．（５）ｈａｓ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　

Ｆ（　）　１　），ｑ　＝　Ｔｙｐｅ　３　Ｉｆ　ｑ２＝一ｒｚ　，ｑ３＝２ａ　ｂ，ｑ４＝ａ　（ｃ　＋ｄ　

一ｂ　），Ｅｑ．（５）ｈａｓ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　

Ｆ（　）　

Ｔｙｐｅ　４　Ｉｆ　＋ｃ　ｓｉｎ（　）　

ｑ２　一４ａ　，　

ｎ　（ｃ　一４ｂｄ一４ｂ　），Ｅｑ．（５）　

Ｆ（　）＝　＋ｄ　ＣＯＳ（　）　

ｑ３＝４ａ　（ｄ＋２ｂ）　

ｈａｓ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　

ｂ＋ｃ　ｓｉｎ（Ⅱ　）ＣＯＳ（　

２　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　Ⅱ　）＋ｄ　ＣＯＳ　（０　）　（８）　

・ｑ４　

（９）　

２．１　Ｔｈｅ　ｍＫｄＶ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

Ｌｅｔ　ｕｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｍＫｄＶ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ｕ　＋　Ｍ　＋卢“靴　：０　（１０）　ｗｈｅｒｅ　ｏ／，Ｊ８　ａｒｅ　ｒｅａｌ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ．Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇ　Ｅｑ．（２）　

ｉｎｔｏ　Ｅｑ．（１０）ｙｉｅｌｄｓ　

Ｍ　＋　ｕ　『上　＋Ｉ８　”　：０　（１１）　

Ｂａｌａｎｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｈｉｇｈｅｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｔｅｒｍ“　ｗｉｔｈ　

ｔｈｅ　ｈｉｇｈｅｓｔ　ｐｏｗｅｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｅｒｍ　ｕ２　Ｍ　ｇｉｖｅｓ　ｌｅａｄｉｎｇ　

ｏｒｄｅｒ　ｍ＝１．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ．ｗｅ　ｃａｎ　ｃｈｏｏｓｅ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　

Ｅｑ．（１０）ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　

ｕ（　）＝ａ。＋ａ　Ｆ（　）　（１２）　

ｗｈｅｒｅ　ａｏ，ａ１，ｋ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ　ｔｏ　ｂｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ．Ｓｕｂｓｔｉ—　

ｔｕｔｉｎｇ　Ｅｑ．（５）ａｎｄ（１２）ｉｎｔｏ　Ｅｑ．（１１）ａｎｄ　ｓｅｔｔｉｎｇ　ｔｈｅ　

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　（　）Ｆ　（　）（Ｊ＝０，１，２）ｔｏ　ｚｅｒｏ　ｌｅａｄｓ　ｔｏ　

ａ　ｓｅｔ　ｏｆ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｑ２，ｑ３，ｑ４，ａｏ，ａｌ　ａｎｄ　ｋ．　

ｏｌａ　＋　ｑ４＝０，３ｆｌｑ３＋２　口０ａｌ＝０，　

脚２＋ｋ＋　。０＝０．　

Ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅｓｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ