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定积分与微积分基本定理

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定积分与微积分基本定理

一、基础小题

1．下列积分的值等于1的是( )

A．01xdx B．01(x＋1)dx C．01dx D．0112dx 答案 C解析 01dx＝x 10＝1.

2.若1a2x＋1xdx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )

A．2 B．3 C．4 D．6

答案 A解析 1a2x＋1xdx＝(x2＋ln x)  a1＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2.

3.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )

A.2π5 B．43

C.32 D．π2

答案 B解析 根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以S＝-11 (1－x2)dx＝201(1－x2)dx＝2x－13x3 10＝21－13＝43.

4．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( )

A．16 B．13 C．56 D．23

答案 A解析

在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x2＋2x＝x，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S＝-10[x－(x2＋2x)]dx＝－13x3－12x2 0-1＝－13＋12＝16.

5．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )

A.176 B.143 C.136 D.116

答案 A解析 质点在时间[1,2]内的位移为12(t2－t＋2)dt＝ 13t3－12t2＋2t21＝176.

6.如图，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．

随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )

A.118 B.112 C.16 D.13

答案 B解析 根据定积分知识可得阴影部分面积S＝01[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝16，点P落在区域M内的概率为关于面积的几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝162＝112，故选B.

7．[2017·广州质检]定积分－22|x2－2x|dx＝( )

A．5 B．6 C．7 D．8

答案 D解析 ∵|x2－2x|＝ x2－2x，－2≤x<0－x2＋2x，0≤x≤2， ∴－22|x2－2x|dx＝－20(x2－2x)dx＋02(－x2＋2x)dx＝13x3－x2 |0－2＋－13x3＋x2 |20＝8.

8．函数f(x)＝ x＋1，－1≤x<0，cosx，0≤x≤π2.的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．

答案 32

解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为

S＝12×1×1＋0π2cosxdx＝12＋sinx π20＝12＋sinπ2－sin0＝32.

9.由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．

答案 423＋76解析 把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S＝－2 0 (2－x2)dx＋01(2－x2－x)dx＝2x－x33 0 －2 ＋2x－x33－x22 10＝22－233＋2－13－12＝423＋76.

二、高考小题

10.[2014·山东高考]直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )

A．22 B．42

C．2 D．4

答案 D解析 由 y＝4x，y＝x3得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．

∴S＝02(4x－x3)dx＝2x2－14x4 20＝4.

11．[2015·天津高考]曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．

答案 16 解析 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由 y＝x，y＝x2解得x＝0或x＝1，所以S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x3 10＝12－13＝16.

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第四节 定积分与微积分基本定理

第四节 定积分与微积分基本定理

第四节

定积分与微积分基本定理

高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．

[知识梳理]

1．定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

在abf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的性质

3．微积分基本定理

4．定积分的几何和物理应用

[辨识巧记]

1．两个结论

(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．

2．两个性质

函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )

(2)若abf(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

[解析] －1 1|x|dx＝－1 0(－x)dx＋01xdx＝－12x2 0－1＋12x210＝12＋12＝1.

[答案] A

3．(选修2－2P65A组T5改编)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( )

A.16 B.13 C.56 D.23

[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S

＝－1 0[x－(x2＋2x)]dx

＝－1 0(－x2－x)dx

＝－13x3－12x2 0－1＝16.

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理

一、定积分

1．曲边梯形的面积

（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．

（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；

②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；

③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；

④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．

2．求变速直线运动的路程

3．定积分的定义和相关概念

（1）如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0

欢迎下载 2 ()dbafxx=1lim()ninibafn.

（2）在()dbafxx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．

4．定积分的性质

（1）ddbbaakfxxkfxx(k为常数)；

（2）[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx；

（3）()d=()d+()dbcbaacfxxfxxfxx(其中a

【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．

5．定积分的几何意义

（1）当函数f (x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分baf (x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．

（2）一般情况下，定积分baf (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． —

3.6定积分与微积分基本定理

3.6定积分与微积分基本定理

1 科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组

第 课时 3.6定积分与微积分基本定理

考纲定位 了解定积分的概念及几何意义；了解微积分基本定理.

【考点整合】

1、定积分()bafxdx的几何意义：

2、定积分的性质：

（1）()______bakfxdx （2）12[()()]______________bafxfxdx

（3）()()______()bcaafxdxfxdxacb其中

3、微积分基本定理

一般地,如果()fx是区间[,]ab上的连续函数,并且()()Fxfx,那么()___________bafxdx

【典型例题】

一、利用微积分基本定理求函数的积分

1、计算定积分：（1）320(1)xdx （2）0sinxdx （3）20sinxdx

2、（2010 湖南）421dxx等于（ ）

A．2ln2 B．2ln2 C．ln2 D．ln2

3、（2011 福建）10(2)xexdx等于（ ）

A．1 B．1e C．e D．1e

4、（2013 湖南）计算1213xdx的值等于 ．

二、利用积分求区域面积

5、（2012 湖北）已知二次函数()yfx的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（ ）

A.25 B.43 C.32 D.2

6、（2012 福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，xyoyf(x)abS

2 则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A．41 B．51 C．61 D．71

第2章第12讲 定积分与微积分基本定理

第2章第12讲 定积分与微积分基本定理

第12讲 定积分与微积分基本定理

[考纲解读] 1.了解定积分的实际背景、基本思想及其概念，并掌握运用微积分定理求定积分值．(重点)

2．准确掌握定积分的计算公式，能熟练求出定积分及曲边梯形的面积．(重点、难点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的冷考点，高考中即使考查定积分的试题，难度一般也不会太大．预测2021年可能涉及定积分的计算、分段函数的定积分、定积分的几何意义等，以求曲边梯形的面积与几何概型综合考查为主要命题方向，试题难度一般不大，以选择、填空形式呈现.

1.定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝limn→∞ ∑ni＝1b－anf(ξi)．其中f(x)称为□02被积函数，a称为积分□03下限，b称为积分□04上限． 2.定积分的几何意义

f(x) abf(x)dx的几何意义

f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的□01曲边梯形的面积

f(x)<0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的□02相反数

f(x)在[a，b]

上有正有负

表示位于x轴上方的曲边梯形的面积□03减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

3．定积分的性质

性质1：abkf(x)dx＝□01kabf(x)dx(k为常数)．

性质2：ab[f(x)±g(x)]dx＝□02abf(x)dx±abg(x)dx.

性质3：abf(x)dx＝acf(x)dx＋□03cbf(x)dx.

4．微积分基本定理

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝□01F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝□02F(b)－F(a)．