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三 直线的参数方程
教学目标：掌握直线的参数方程，理解参数t 的几何意义；会应用直线的参数方程解决有关线段长度问题及直线与二次曲线相交的弦长、中点、最值等问题。
教学重点、难点：用直线的参数方程解决有关距离问题；参数方法与普通方法之甄别。
直线的参数方程
经过点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的普通方程为
y-y 0=tan α(x-x 0)
怎样建立直线l 的参数方程呢？
如图，在直线l 上任取一点M(x, y)，则 00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 直线的方向向量(cos ,sin )e αα=，[0,)απ∈；
0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即
00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．
于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+． 因此，经过定点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
⎩⎨⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）．
问题：由0M M te =，直线参数方程中的参数t 有什么几何意义？
因为(cos ,sin )e αα=，所以||1e =，由0M M te =，所以0M M t =，因此|t|即为直线上的动点M(x,y)到定点M 0(x 0, y 0)的距离；
当0<α<π时，sin α>0，直线的单位方向向量(cos ,sin )e αα=总是向上的，因此有结论：
①t>0：则0M M 的方向向上，即M 0在M 的上方； ②t<0：则0M M 的方向向下，即M 0在M 的下方； ③t=0：则点M 与点M 0重合．
直线参数方程也可以表示为：⎩⎨⎧+=+=bt
y y at
x x 00（t 为参数）
这里直线l 的倾斜角α的正切b
a
=αtan （00900==αα或时例外）。当且仅当
122=+b a 且b>0时. 其中的t 才具有上述几何意义。
例1.已知直线l : x+y-1=0与抛物线y=x 2交于A, B 两点，求线段AB 的长度和点M(-1, 2)到A, B 两点的距离之积．
解法一：由2
10
x y y x
+-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．
例3 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?
海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化（比如：当前半径为250km ，并以10km/m 的速度不断增大），那么问题又该如何解决？
例4 如图所示，AB ，CD 是中心为O 的 的椭圆的两条相交弦，交点为P .两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2. 求证：|P A|· |PB|＝|PC|· |PD|.
例题选：
一、求直线上点的坐标
例1 已知过点P(2,0)，斜率为4/3的直线和抛物线y 2=2x 相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标．
解：设过点P(2,0)的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得：3cos 5α=，4
sin 5
α=．
所以，直线的参数方程为325
45x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．代入y 2=2x ，整理得2815500t t --=．
中点M 的相应参数是1215216t t t +==，所以点M 的坐标是413
(,)164
．
例2 求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x = −1 − 2
13
t ，y = −2 + 3
13 t
(t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d = 513， ∴ t = AA ' = 1013
，代入直线的参数方程得A ' (− 3313，4
13)
二、求解中点问题
例1 已知双曲线 x2 − y2
2 = 1，过点P （2，1）的直线交双曲线于P 1，P 2，求线段P 1P 2的中点M 的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。
解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x = x0 +t cos θ，
y = y0 +t sin θ(t 是参数)，
代入双曲线方程得：(2cos 2θ −sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ −y 0sin θ)t + (2x 02 −y 02 −2) = 0，
由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ −y 0sin θ =0，得tanθ = 2x0
y0。
又直线P 1P 2的斜率 k = tan θ = y −y0
x −x0，点P （2，1）在直线P 1P 2上，
