系综理论正则系综

同粒子的交换不产生新的微观状态，所以N个粒子交
换所产生的N ! 个相格实际上是系统的同一状态。这 样，系统在能量E到E +ΔE范围内的微观状态数为：
2014年1月13日星期一 第九章 系综理论
1 Ω N ! h Nr
E H ( q , p ) E E

dqdp
（9.2.8）
上式是计算系统微观状态数的常用公式。
示在t时刻系统处在状态s的概率 s (t ) 。满足归一化条件：
用指标s=1,2,…标志系统的各个可能微观态，用 s (t ) 表
(t ) 1
s s
（9.2.4）
以As表示微观量A在量子态s上的数值，则微观量A在 一切可能的微观状态上的平均值为 :
A(t ) As s (t )
A(t ) A( q, p ) ( q, p, t )dΩ
便是系统的与微观量A相应的宏观量。
（9.2.3）
式（9.2.3）是计算统计平均值的一般公式。其中A t
在量子理论中，系统的微观状态称为量子态。在给 定条件下，系统的可能微观状态是大量的。
2014年1月13日星期一 第九章 系综理论
H (q1 , q2 ,..., q f , p1 , p2 ,..., p f )
则由哈密顿正则方程
H qi pi

H pi q i

(i=1,2,…f )
(9.1.2)
确定其运动规律。
2014年1月13日星期一 第九章 系综理论
对于孤立系统，系统的总能量在运动中保持不变，
哈密顿函数可表示为：
一个整体来考虑。
2014年1月13日星期一 第九章 系综理论
(9.1.1)

系综系综理论简介姓名:毕思峰学号：130********摘要：通过查阅相关⽂献，本⽂简单介绍了系综理论的历史，阐述了Γ-空间、系综的统计分布及配分函数等基本概念，并总结了三则系综的相互关系。

希望对初学者能更好的理解系综理论有所帮助。

关键词：系综理论Γ-空间统计分布配分函数Abstract:To help fresh learners understand the ensemble theory better,this paper briefly introduce the history of the ensemble theory, giving some basic concept including Γ-space and statistics distribution and partition function of the ensemble theory by referring to related articles, and last, summarize the relationship of three types of ensembles.Key words: ensemble theory Γ-space statistics distribution partition function1、系综理论的由来系综的观念是由吉布斯继承和借鉴玻尔兹曼、麦克斯韦的思想发展⽽来的。

⾸先，吉布斯从玻-麦那继承了描述体系状态的动⼒学⽅法和统计⽅法[1]，并对其相空间的概念进⾏了改⾰，使玻尔兹曼、麦克斯韦的分⼦向空间发展为吉布斯的Γ-空间。

两者的区别⽽在于：前者只能描述相互作⽤微弱的⽽近乎独⽴的粒⼦组成的体系，⼀个相点只能描述⼀个粒⼦的相，⽽后者还能描述由相互作⽤强的粒⼦组成的体系，⼀个相点就可描述整个体系的相。

所以后者更具有实际意义。

其次，麦克斯韦的考察对象只是与外界既⽆物质也⽆能量交换的孤⽴系统，⽽吉布斯最初研究的是与外界有能量交换封闭系统，因此引⼊了外参量，并以此为基础上建⽴了正则系综。

第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。

则有 = 1 kT
（9）
微正则系统
微正则系综的熵 由（7）、（8）
S=kln
微正则分布的α和γ参量
（10）
类似上述讨论，假设让系统A1、A2进行接触，两者可以交 换粒子或改变体积，我们定义
= ln （N，E，V） =- f N E，V kT
（11）
=
p ln （N，E，V） = V N，E kT

（33）
(E-E)2 E
=
kT CV E
2
N 1 （34） 故巨正则系综能量涨落非 N N 常小。
这里的N同样是个大数，
三种系综的等效
Ⅲ、巨正则系统的粒子涨落 与能量涨落同理
(N-N) = N -N
2 2 2
（35）
E = Ei N，i
2 2 N=0 i

1 2 1 1 1 2 N Ei 2 e 2 i
（36）

2 1 ln ln ln ln E E

N N ∴(N-N) =N -N = =kT ，V f V , N
（45）
（46）
三种系综的等效
将（39）式带入（37）式
kTN P kTN 1 P 2 N -N == T， T =- 2 V V N，T V V V N，T
2
2
2
（47）
kTN T (N-N) 2 kT T 1 V ∴ = V N N N