9洛朗级数

1 ( z 1) k ( z 1) k ,(0 | z 1| 1) z 1 k 0 k 1 (2)| 1/ z | 1,| z / 2 | 1

1 2
1 1 1 1 1 1 1 z f ( z) z 11 z 2 1 z 2 z k 0 z 2 k 0 2
f ( ) k d a ( z z ) ,( R2 | z z0 | R1 ) k 0 C 'R1 ( z0 )k 1 k
f ( ) C 'R1 ( z0 )k 1 d (形式上的定义)

C 'R 2

C 'R 1
z2 z4 z6 f ( z ) 1 (| z | )此即f ( z )的泰勒级数。 3! 5! 7!
例2在1 | z | 的环域上将f ( z ) z 1是函数
1 展开为洛朗级数。 2 z－ 1
1 的奇点,而1 | z | 的环域刚好避开了奇点。 2 z－ 1
k
C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一圈的任一闭合曲线。
CR z CR’
1
1
以z0为中心，以z0到最邻近的奇点距离R1为半径作圆CR1 , 并把它稍缩小为CR1 '；又以z0为中心，以R2为半径作圆CR 2， 并将它稍稍扩大为CR 2 '，则f ( z )在CR1 '、CR 2 '的闭圆环域 上是解析的。(这样做保证环域上无奇点，避免了涉及 边界上的敛散性问题)
(1) z0 1是函数f ( z )的奇点，另一个奇点为z1 2， 故在z0 1的邻域的一个收敛环为： 0 | z 1| 1
1 1 ( z 1) k ,(| z 1| 1) z 2 1 ( z 1) k 0

十个常用的洛朗展开公式洛朗展开是一种将函数在某个点展开成幂级数和幂函数的方法。

以下是十个常用的洛朗展开公式：1. 正弦函数的洛朗展开公式：sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...2. 余弦函数的洛朗展开公式：cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...3. 指数函数的洛朗展开公式：e^x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...4. 自然对数函数的洛朗展开公式：ln(1+x) = x - (x^2/2) + (x^3/3) - (x^4/4) + ...5. 根号函数的洛朗展开公式：sqrt(1-x) = 1 - (x/2) + (3x^2/8) - (5x^3/16) + ...6. 三角函数tan(x)的洛朗展开公式：tan(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...7. 双曲正弦函数sinh(x)的洛朗展开公式：sinh(x) = x + (x^3/3!) + (x^5/5!) + (x^7/7!) + ...8. 双曲余弦函数cosh(x)的洛朗展开公式：cosh(x) = 1 + (x^2/2!) + (x^4/4!) + (x^6/6!) + ...9. 双曲正切函数tanh(x)的洛朗展开公式：tanh(x) = x - (x^3/3) + (2x^5/15) - (17x^7/315) + ...10. 双曲余切函数coth(x)的洛朗展开公式：coth(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...以上是十个常用的洛朗展开公式，它们被广泛应用于数学和科学领域中的计算和分析中。

C
z0
R1 R2
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开 式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这 个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式. 例1 解 函数 f (z) 在圆环域
， ，C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. [证] 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1 与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.
R1 R2 z r K1 ζ R
K2 ζ
z0
由柯西积分公式得， 。 因此有 。 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原 理, 这两个式子可用一个式子来表示:
讨论下列形式的级数: 只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和. 正幂项是一 幂级数, 设其收敛半径为 R2： 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到： 这是z 的幂级数, 设收敛半径为R： 。则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R, 因此, 只 有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
例如在 z=i 和z=-i处展开函数为洛朗级数。在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i为中 心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:
1)在|z-i|<1中的泰勒展开式; 2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式; 3)在2<|z-i|<+中的洛朗展开式;

1 在 0 <| z 1 |< 1内展开为洛朗级数 。 2 ( z 2)( z 3)
例2
将 f (z) =
对级数 ∑ c n ( z z0 )
n =1
| ξ |<
1 内收敛 , 在该圆域外必散 。 R1
c n ( z z 0 ) n 在 | z z 0 |> R1内收敛 。 ∑
n =1 ∞
洛朗级数
f ( z ) 在该圆环内解析 。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n 在 R1 <| z z 0 |< R2 内收敛 , 且它的和函数 ∑
n = ∞
c n ( z z 0 ) n = L + c n ( z z 0 ) n + L + c 2 ( z z 0 ) 2 + c 1 ( z z 0 ) 1 ∑
∞
+ c0 + c1 ( z z 0 )1 + c 2 ( z z 0 ) 2 + L + c n ( z z 0 ) n + L
第八模块 复变函数
第八节 洛朗级数
一、洛朗级数的概念 二、解析函数的洛朗展开式
一、洛朗级数的概念
正整数次幂的幂级数
∑c
n=0
∞
n
( z z 0 ) n 与负整数次幂的幂级数
∑c
n =0
∞
n ( z z0 )
n
相加得到的级数 :
n = ∞
∑c
∞
( z z 0 ) n 称为 n
洛朗级数。 洛朗级数。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n收敛 ∑
∞
∑ 与 ∑ c n ( z z 0 ) n 都 收敛 。