2019_2020学年高中数学课时分层作业22平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(含解析)新人教A版必修4

课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53D.32 答案：A2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )A ．4 2B ．2 5C ．8D ．8 2 答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 答案：D 4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( ) A.55B.15 C ．－55 D ．－15答案：A5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案：A二、填空题6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．答案：47.如图，已知点A (1,1)和单位圆上半部分上的动点B ，若OA ⊥OB ，则向量OB 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 8．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 三、解答题9．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x2＋y2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)．∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y . ∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)，∴MA ＝(1－2y,7－y )．同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12.可知当y ＝202×5＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)，|MA |＝34，|MB |＝2， MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA ·MB | MA ||MB |＝－834×2＝－41717.11．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b 不共线． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直； (2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意知，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32， a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32， ∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2，化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0， ∴tan α＝33， 又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.。

求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题． (2)坐标表示下的运算 若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，向量 b＝(3，0)，
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边 形，A→B＝(1，－2)，A→D＝(2，1)，则A→D·A→C＝________． 解析：由四边形 ABCD 为平行四边形，知A→C＝A→B＋A→D＝(3， －1)，故A→D·A→C＝(2，1)·(3，－1)＝5. 答案：5
3．已知 a＝(1， 3)，b＝(2，m)． (1)当 3a－2b 与 a 垂直时，求 m 的值； (2)当 a 与 b 的夹角为 120°时，求 m 的值．
答案：23
平面向量的模
(1)已知点 A(0，1)，B(1，－2)，向量A→C＝(4，－1)，则 |B→C|＝________． (2)(2019·山东枣庄三中期中检测)已知平面向量 a＝(2m－1，2)， b＝(－2，3m－2)，且|a＋b|＝|a－b|，则 5a－3b 在向量 a 方向上 的投影为________．
1．设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(－3，4)，向量 c＝(3，2)，则向
量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12)
B．0
C．－3
D．－11
解析：选 C.依题意可知， a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)， 所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
利用数量积求两向量夹角的步骤
1．已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)．若向量 a，b 的夹角为π6，

(2)已知→a ＝(x，y)，则|→a |＝ x2＋y2.
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方法归纳 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题． (2)坐标表示下的运算 若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
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类型三 平面向量的夹角(垂直)
例 3 (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ 5，若(c－
b)·a＝125，则 a 与 c 的夹角为( )
A.30°
B．60° C．120°
D．150°
(2)已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若 λa－2b 与 a 垂直，则
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方法归纳 数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利 用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
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跟踪训练 1 已知 a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量 c，满足 a·c＝2，b·c＝5，则向量 c＝________.
＋b|＝( )
A. 5
5 B. 2
C．2 5
D．5
(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|
＝________.
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【解析】 (1)因为 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a∥b，所以－2x
－1×1＝0，解得 x＝－12.
实数 λ 等于________．
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2019-2020学年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学案 新人教A 版必修4【学习目标】 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法，通过向量的坐标求出向量的数量积．2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．3．运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．【学习重点】两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．【学习难点】对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．【自主学习】1、 课前回顾① A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2)．＝_________ ＝_________ ② 用平面向量的数量积如何表示向量的模、夹角？两向量平行或垂直时满足什么？2、 思考：前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积？ 设两个非零向量为＝(x 1，y 1)， ＝(x 2，y 2)． 为x 轴上的单位向量，为y 轴上的单位向量，则＝_________， ＝_________则 ·= ___________________________= ___________________________又 ∵ ·＝______ ·＝______·＝·＝______∴ · ＝________ 这就是说：__________________________________________．【合作探究】 1. 向量模的坐标表示若＝(x ，y) ，则a 2 ＝_________ ＝ ___________，即a ＝_________ 2. 平面上两点间的距离公式： 向量的起点和终点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 则 = ___________________________ 3. 两向量垂直的充要条件的坐标表示 若＝(x 1，y 1)， ＝(x 2，y 2) 则 a ⊥b ⇔ _______________________即_______________________________________________________4. 两向量的夹角公式 设＝(x 1，y 1)， ＝(x 2，y 2)， ＝θ．则 cos θ= __________________ = _________________________ 练习：①已知＝(－3，4)，＝(5，2)．求a 、b 、·。