全国初中数学联赛（初二组）初赛试卷及其解析一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 103(1)π---的值是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9解析：此题利用算术平方根、绝对值、非零数的零次幂的意义，即可解答。
答案为A 2、若2(2)()2x x a x bx -+=+-，则a b +=（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2解析：利用多项式相等，原等式化为22(2)22x a x a x bx +--=+-，∴22a -=-，2a b -= 求得1,1a b ==-，故0a b +=，答案为B3、如图已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且O M ∥AB ，ON ∥AC ，若CB=6，则△OMN 的周长是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、12解析：利用角平分线性质、平行线性质，可证得BM=OM,CN=ON ，由图易得△OMN 的周长就等于BC 的长，故答案为B.4、不等式组11212332x x x x ⎧+≥+⎪⎨⎪<+⎩的解是（ ） A 、61x -<≤ B 、61x -<<C 、61x -≤<D 、61x -≤≤ 解析：解不等式组的问题，答案为C5、非负整数,x y 满足2216x y -=，则y 的全部可取值之和是（ ） A 、9 B 、5 C 、4 D 、3解析：由2216x y -=，,x y 为非负整数，可知()()16x y x y +-=，且x y >，而16可分解为整数相乘的有1×16、2×8、4×4，于是便有1684124x y x y x yx y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩或或，可求得符合条件的只有543,0x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，答案为D 6、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M点是A 点关于线段EF的对称点，则AEED=( )A 、53B 、35C 、2D 、12解析：连结EM ，可知由题EF 垂直平分AM ，所以AE=EM ，AE+ED=4，所以EM=4-ED ，，易知DM=2，在R t △EDM 中，由勾股定理有222ED DM EM +=,所以2222(4)ED ED +=-，解之，32ED =，故AE= 52，∴552332AE ED ==，答案为A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）130y +=，则22x y +=2x =，再由非负数和为0可求3y =-，∴22x y +=1323=，则231x x x ++=解析：由已知可知0x ≠3=两边平方，可得17x x +=，∴211113173103x x x x x===+++++ 3、设23234536x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则32x y z -+=解析： 将2323(1)4536(2)x y z x y z ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩中（1）×2—（2），就得32x y z -+=104、如图，在△ABC 中，AC=BC ，且∠ACB=90°，点D 是AC 上一点，AE ⊥BD,交BD 的延长线于点E,且12AE BD =，则∠ABD= 解析：延长AE 、BC 交于点F,∵∠ACB=∠AEB=90°, ∠ADE=∠BDC ， ∴∠FAC=∠DBC ， 在△AFC和△BDC 中FAC DBC CB 90AC BCD FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ △AF C ≌△BDC ， ∴ BD=AF ， 又∵12AE BD =∴12AE AF = ∴ E 是AF 的中点， ∵AE ⊥BD∴ BE 是AF 的垂直平分线，∴ BE 平分∠ABC ，即∠ABD=1ABC 2∠∵ AC=BC ，且∠ACB=90° ∴∠ABC=45°∴ ∠ABD=1ABC 2∠=22.5° 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中1a =. 解：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++ 22222212()(2)(2)442(2)442(2)41(2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+=-⨯++---++=⨯+--+=⨯+-=+当1a =-原式1==四、（本大题满分25分） 如图，已知直角梯形OABC 的A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=OB=10，P Q ∥AB 交AC 于D 点，且∠ODQ=90°，求D 点的坐标.解：连结OB ，延长OD 交AB 于点E∵A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=10 ∴ C （0,6） A （10，0） 设AC 直线的解析式为16y kx =+ ∴ 1060k += 35k =-1365y x =-+ ∵ OB=10 B C ∥OA 令(,6)B b (0)b > 由两点距离公式，10= ∴ 8b = ∴ (8,6)B∵ P Q ∥AB,∠ODQ=90° ∴ OE AB ⊥又 ∵ OA=OB ∴ E 是AB 的中点，由中点坐标公式 得 (9,3)E设OE 直线的解析式为2y mx = 故93m = 13m =213y x =由图可知，点D 为函数1y 、2y 的交点，D 的坐标是方程组36513y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的解，解之457157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D 点坐标为4515(,)77五、（本大题满分25分）如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，E 、F 分别为AD 与BC 的中点，连接EF 与BA 的延长线相交于N ，与CD 的延长线相交于M ， 求证：∠BNF=∠CMF此题解答方法较多，就初二而言，提供以下几种解答方案。
2006四川省初中数学联赛初赛试题（初二组）（考试时间120分钟 满分140分）班级 姓名一、选择题（每小题7分，共42分）1．当1=-y x 时，那么42233433y xy y x y x xy x ++---的值是（ ） （A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上， 且BD ＝BC ，AD ＝DE ＝EB ，那么∠A 的度数是（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）55° （D ）60°3．如果多项式b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除，那么a ∶b 的值是（ ） （A ）－2 （B ）－3 （C ）3 （D ）6 4．如图，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于G ，BD 和AF 相交于H ，那么四边形BEGH 的面积是（ ）（A ）31 （B ）52 （C ）157 （D ）1585．已知1=abc ，2=++c b a ，3222=++c b a ，那么111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值是（ ）（A ）1 （B ）21-（C ）2 （D ）32- 6．如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥+-23)21(22)(3x b b x a x a x 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数对（a ，b ）共有（ ）（A ）32对 （B ）35对 （C ）40对 （D ）48对 二、填空题（每小题7分，共28分）1．如果从5根长度分别为3、4、5、7、8的木棒中任取三根，那么把三根木棒首尾顺次相接能围成三角形的概率是 ．G F HE A C B DCADBE2．如图，∠BAC=100°，点M 在边BC 上，△A'BC 和△ABC 对称于BC ，△A'B'C 和△A'BC 对称于A'C ，△A'B'C'和△A'B'C 对称于A'B'，这时点M 陆续变成M'和M''，那么∠MA'M''＝ ．（2题图） （3题图）3．如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；……；如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ，那么四边形A 15B 15C 15D 15的周长为 ．4．某剧场安有25排共1000个座位，如果从第二排起，每排比前一排多一个座位，则该剧场第一排有 个座位． 三、（本题满分30分，每小题15分）1．已知一次函数111+++=k x k k y （k 为正整数）的图象与x 轴、y 轴的交点是k A 、k B ，O 为坐标原点，设Rt △A k B k O 的面积是k S ，求200621S S S +++ 的值．M''M'MB'A'C'A B CD 2D 1B 2B 1C 2C 1A 2A 1C DB A2．平面直角坐标系内有A（2，－1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B的距离之和最小时的坐标．Array四、（满分20分）已知三角形的三条边的长是三个连续的正整数，试讨论最小边长分别取什么值时，这个三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形？五、（满分20分）已知：AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∠B 是平分线BE 与AD 相交于点F ，G 是AC 边上满足CG ＝AF 的一点（如图）．求证：FG ∥BC ．GE BADF。
2007年全国初中数学联赛江西省预赛试卷第一试一、选择题1．2007的末位数字是（）（A）1 （B）3 （C）7 （D）92）（A（B（C（D3．若a，b，c为正数，已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根，•则方程（a+1）x2+（b+2）x+（c+1）=0的根的情况是（）（A）没有实根（B）有两个相等的实根（C）有两个不等的实根（D）不能确定4．若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点，•则这种直角三角形的个数为（）（A）36 （B）60 （C）96 （D）1205．对于给定的单位正方形，若将其两条对角线以及每两条边的中点连线作出，便得到如图，则图中互为相似的三角形“对子”数有（）（A）44 （B）552（C）946 （D）18926．若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题（每小题7分，共28分）7的解为________．8．边长为整数，周长为20的三角形个数是______．9．在边长为1的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，作半径为1的圆弧，将正方形分成图中的九个小块，则中心小块的面积是______．10．用数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样的四位数共有_______个．第二试三、解答题11．（20分）试求所有的整数a，使得关于x的一元二次方程x2-（a2-4a+9）=0 ①的两根皆为整数．12．（25分）四边形ABCD的对角线AC，BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．证明：四边形ABCD为平行四边形．13．（25分）若数a能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称a为“好数”，•试确定，在前200个正整数1，2，…，200中，有多少个“好数”？参考答案一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A二、7．43，53，133 8．8 9．3π10．8个 三、11．设方程的两根为x 1，x 21+x 2=整数，即①为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式△必为完全平方数． 设（5a 2-26a -8）+4（a 2-4a+9）=b 2，b ∈N ，即（3a -7）2-b 2=21． 故得（3a-7-b ）（3a-7+b ）=21．因21=3·7=1·21=（-7）·（-3）=（-21）·（-1），373377;3713721;377373;372137 1.a b a b a b a b a b a b a b a b --=⎧⎨-+=⎩--=⎧⎨-+=⎩--=-⎧⎨-+=-⎩--=-⎧⎨-+=-⎩故有或或或 分别解得，a=4，6，43，-43． 因为a 为整数，且当a=4故只有a=6，此时方程①成为x 2-4x-21=0，•它有两个整根：7和-3， 因此本题所求的整数a=6．12．在PA ，PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ，则PM=PN ，于是EMFN •为平行四边形．得∠AME=∠CNF ，且△AME ，△CNF 皆为等腰三角形，则∠PAE=∠PCF ，所以△PAE •≌△PCF ，得PA=PC ．故AFCE 为平行四边形．AE ∥CF ，所以∠PED=∠PFB ，△ PED ≌△PFB ，因此，PB=PD ，即对角线AC ，BD 互相平分， 从而四边形ABCD 为平行四边形．13．不超过200的平方数是02，12，22， (142)显然，12，22，…142中的每个数k 2可表为k 2+0形式，这种数共有14个；而12，22，…，102中的每一对数（允许相同）的和不大于200， 这种数有1092⨯+10=55（个）， （•其中，x 2+x 2形式的数10个，x 2+y 2（x ≠y ）形式的数1092⨯=45个）． 其次，112+x 2（x=1，2，…8）形式的数8个；122+x 2（x=1，2，…，7）形式的数7个；132+x 2（x=1，2，…，5）形式的数5个；142+x 2（x=1，2）形式的数2个．共得22个．再考虑重复情况，利用如下事实：若x=a 2+b 2，y=c 2+d 2（a ≠b ，c ≠d ），则xy=（ac+bd ）2+（ad-b c ）2=（ac-bd ）2+（ad+bc ）2．不超过40且能表为两个不同正整数的平方和的数有5，10，13，17，20，25，26，29，•34，37，40，该组中的每个数与5的积，以及13都不大于200，•且都可用两种方式表为平方和，故各被计算了两次，累计有12次重复（10，13，17，20与10的积已包含在以上乘积组中）．因此，满足条件的数共有：14+55+22-12=79个．。
