2017年天津市和平区高考数学四模试卷与解析PDF(理科)

2014年天津市和平区高考数学四模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共8小题，每小题5分，共40分 1. 复数i 32i−1（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A 15i B 15C −15i D −152. 下列命题：①G 2=ab 是三个数a 、G 、b 成等比数列的充要条件；②若y =f(x)不恒为0，且对于∀x ∈R ，都有f(x +2)=−f(x)，则f(x)是周期函数； ③对于命题p:∀x ∈R ，2x +3>0，则￢p:∃x 0∈R ，2x 0+3<0； ④直线l:√2x +√2y +1+a =0与圆C:x 2+y 2=a(a >0)相离． 其中不正确命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 43. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 2B −2C 4D −44. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1, m)到其焦点的距离为5，双曲线x 2−y 2a=1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =( ) A √2 B 2 C √22 D 145. 在△ABC 中，B =π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac =6，则b 的值是( ) A √2 B √3 C √5 D √66. 若(x 2−1ax)9(a ∈R)的展开式中x 9项的系数为−212，则函数f(x)=sinx 与直线x =a 、x =−a 及x 轴围成的封闭图形的面积为（ ）A 2−2cos2B 4−2cos1C 0D 2+2cos27. 定义域为R 的函数f(x)满足f(x +1)＝2f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝x 2−x ，则当x ∈(−2, −1]时，f(x)的最小值为（ ） A −116 B −18 C −14 D 08. 定义在R 上的函数f(x)满足f(4)=1，已知f(x)的导函数f(x)′的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f(2a +b)<1，则a+2b+3a+1的取值范围是（ ）A (75, 53) B (−∞, 13)∪(5, +∞) C (53, 11) D (−∞, 3)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答最卷上．9. 统计某校1000名学生的数学学业考试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若规定不低于80分的为优秀，则优秀学生人数为________．10. 已知平面直角坐标系xOy 内直线l 的参数方程为{x =ty =t −2（t 为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C 的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，则直线l 与圆C 的位置关系是________．11. 已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积等于________．12. 如图，在正方形ABCD 中，已知AB =2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM →⋅AN →的最大值是________．13. 如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PA =PE ，PB =9，PD =1，∠ABC =60∘，则EC 的长等于________． 14. 设a >b >c >0，则2a 2+1ab+1a(a−b)−10ac +25c 2的最小值是________．三、解答题，本大厦共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设函数f(x)=√32−√3sin 2ωx −sinωxcosωx(ω>0)，且y =f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求f(x)在[−π2, 0]上的单调区间；（2）若f(x 0)=35，且x 0∈[0, π3]，求sin2x 0的值．16. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望． 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥P −ABCD 中，∠ABC ＝60∘，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD =√2，点F 在PD 上，且PE:ED ＝2:1 (Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求二面角E −AC −D 的正弦值；(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF // 平面EAC ？若存在，试求出PF 的值：若不存在，请说明理由．18. 正项数列{a n }满足f(a n )=22−a n(a n ≠2)，且{a n }的前n 项和S n =14[3−2f(a n )]2．（1）求证：{a n }是等差数列；（2）若b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=4√3x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形． （1）求椭圆的方程；（2）若过点(1, 0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E(m, 0)，使PE →⋅QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数f(x)=ax +lnx ，函数g(x)的导函数g′(x)=e x ，且g(0)⋅g′(1)=e （1）求f(x)的极值；（2）若∃x ∈(0, +∞)，使得g(x)<√x成立，试求实数m 的取值范围：（3）当a =0时，对于∀x ∈(0, +∞)，求证：g(x)−f(x)>2．2014年天津市和平区高考数学四模试卷（理科）答案1. B2. C3. D4. D5. D6. A7. A8. C9. 350 10. 相切 11. π+2√3 12. 6 13. 4 14. 415. （1）解：f(x)=√32−√32(1−cos2ωx)−12sin2ωx (1)=√32cos2ωx −12sin2ωx =cos(2ωx +π6) (3)依题意，得14T =π4，故T =π． 由T =2πω=π，得ω=1，故f(x)=cos(2x +π6) (5)由x ∈[−π2, 0]，得(2x +π6)∈[−5π6, π6] (6)当x ∈[−π2, −π12]，即(2x +π6)∈[−5π6, 0)时，f(x)单调递增；当x ∈[−π12, 0]，即(2x +π6)∈[0, π6)时，f(x)单调递减； (8)（2）∵ f(x 0)=35，且x 0∈[0, π3]， ∴ cos(2x 0+π6)=35...9又2x 0+π6∈[π6, 5π6]， ∴ sin(2x 0+π6)=45．∴ sin2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]=sin(2x 0+π6)cos π6−cos(2x 0+π6)sin π6 (12)=45×√32−35×12=4√3−310...13 16. 解：设事件A i (i =1, 2, 3, 4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P(A 1)=56，P(A 2)=45，P(A 3)=34，P(A 4)=13，（1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则P(B)=P(A 1A 2A ¯3)=P(A 1)P(A 2)P(A ¯3)=56×45×(1−34)=16．（2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)=P(A ¯1+A 1A ¯2+A 1A 2A ¯3)=P(A ¯1)+P(A 1A ¯2)+P(A 1A 2A ¯3)=16+56×15+56×45×(1−34)=12． （3）X 的可能取值为1，2，3，4.P(X =1)=P(A ¯1)=16，P(X =2)=P(A 1A ¯2)=56×(1−45)=16，P(X =3)=P(A 1A 2A 3¯)=56×45×14=16，P(X =4)=P(A 1A 2A 3A 4¯)+P(A 1A 2A 3A 4)=56×45×34×1=12，所以，X 的分布列为E(X)=1×16+2×16+3×16+4×12=3． 17. （1）证明：∵ 底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60∘ ∴ AB ＝AD ＝AC ＝1，∵ 在△PAB 中，PA ＝AB ＝1，PB =√2， ∴ PA 2+AB 2＝PB 2， ∴ PA ⊥AB同理，在△PAD 中，可证PA ⊥AD ， ∵ AB ∩AD ＝A∴ PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，直线AD 、AP 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0, 0, 0)，B(√32, −12, 0)，C(√32, 12, 0)，D(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E(0, 23, 13)， 则AC →=(√32,12,0)，AE →=(0, 23, 13)，设平面EAC 的法向量为n →=(x, y, z)， 由{n →⋅AC →=0n →⋅AE →=0得{√32x+12y =023y +13z =0，令x ＝1，则y =−√3，z ＝2√3，故n →=(1,−√3,2√3)， 易知，平面DAC 的法向量为m →=(0, 0, 1)， 设二面角E −AC −D 的大小为θ（θ为锐角），由cosθ＝|cos <m →,n →>|=|n →⋅m →||n →||m →|，得cosθ=2√34×1=√32，故sinθ=12．(Ⅲ)设点F 是棱PC 上的一点， 且PF →=λPC →=(√32λ,12λ,−λ)，其中0<λ<1，又BP →=(−√32,12,1)，则BF →=(√32λ−√32,12λ+12,−λ+1)，由(Ⅱ)可知，平面EAC 的法向量为n →=(1, −√3, 2√3)， 要使BF // 面EAC ，需满足BF →⊥n →，则BF →⋅n →=0， ∴ √32λ−√32−√32λ−√32−2√3λ+2√3=0，解得λ=12，故F 为棱PC 的中点时，BF →∥EAC ，此时F(√34,14,12)，PF→=(√34,14,−12)， ∴ PF 的值为|PF →|=√316+116+14=√22． 18. （1）证明：∵ f(a n )=22−a n(a n ≠2)，S n =14[3−2f(a n)]2．∴ S n =14[3−(2−a n )]2=14(a n +1)2． 当n =1时，由a 1=14(a 1+1)2，得a 1=1， 当n ≥2时，S n−1=14(a n−1+1)2，由a n =S n −S n−1=14(a n 2−a n−12+2a n −2a n−1)，整理得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，∴ 当n ≥2时，由题意a n >0，则a n −a n−1=2， ∴ 数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可知{a n }的通项公式为a n =2n −1，∴ b n =a n2n =2n−12n，∴ T n =12+322+523+...+2n−12n，12T n=122+323+524+...+2n−12n+1， 两式作差得12T n =12+222+223+...+22n −2n−12n+1，∴ 12T n =2×(12+122+123+...+12n )−2n−12n+1−12=2×12(1−12n )1−12−2n−12n+1−12=32−2n+32n+1，∴ T n =3−2n+32n．19. 解：（1）由题意知抛物线的焦点F(√3，0)，∴ c =√3… 又∵ 椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形，∴ b =1， ∴ 椭圆的方程为x 24+y 2=1…（2）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：y =k(x −1) 代入椭圆方程，消去y ，可得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1… ∵ PE →=(m −x 1,−y 1)，QE →=(m −x 2,−y 2)∴ PE →⋅QE →=(m −x 1)(m −x 2)+y 1y 2=m 2−m(x 1+x 2)+x 1x 2+y 1y 2=m 2−m(x 1+x 2)+x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=m 2−m 8k 24k 2+1+4k 2−44k 2+1+k 2(4k 2−44k 2+1−8k 24k 2+1+1)=(4m 2−8m+1)k 2+(m 2−4)4k 2+1…=(4m 2−8m+1)(k 2+14)+(m 2−4)−14(4m 2−8m+1)4k 2+1=14(4m 2−8m +1)+2m−1744k 2+1…当2m −174=0，即m =178时，PE →⋅QE →为定值3364… 当直线l 的斜率不存在时，P(1,√32)，Q(1,−√32) 由E(178，0)可得PE →=(98,−√32)，QE →=(98,√32)，∴ PE →⋅QE →=8164−34=3364综上所述，当E(178，0)时，PE →⋅QE →为定值3364…20. （1）解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=a +1x (x >0)． （1）当a ≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，故f(x)没有极值； （2）当a <0时，f′(x)=a +1x =ax+1x=a(x+1a)x，当x ∈(0, −1a)时，f′(x)>0；当x ∈(−1a, +∞)时，f′(x)<0，∴ 当x =−1a时，f(x)取得极大值f(−1a)=−1+ln(−1a)．（2）解：∵ 函数g(x)的导函数g′(x)=e x ， ∴ g(x)=e x +c （其中c 为常数）由g(0)⋅g′(1)=e ，得(1+c)e =e ，故c =0， ∴ g(x)=e x ．若存在x ∈(0, +∞)，使得g(x)<√x成立，即m <x −e x √x +3成立．令ℎ(x)=x −e x √x +3，x ∈(0, +∞)，则问题等价于m <ℎ(x)max ， ℎ′(x)=1−e x (√x 2√x)，∵ 当x ∈(0, +∞)时，e x >1，√x +2√x≥2√√x 2√x=√2，∴ e x (√x 2√x )>1，故ℎ′(x)<0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=3，故m <3． （3）解：当a =0时，f(x)=lnx ，令φ(x)=g(x)−f(x)−2，则φ(x)=e x −lnx −2，φ′(x)=e x −1x ，而[φ′(x)]′=e x +1x 2>0在(0, +∞)上恒成立， ∴ φ′(x)在(0, +∞)上单调递增．设φ′(x)=0的根为x =t ，则e t =1t ，即t =e −t ．当x ∈(0, t)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0, t)上单调递减；当x ∈(t, +∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(t, +∞)上单调递增．故φ(x)min =φ(t)=e t −lnt −2=e t −lne −t −2=e t +t −2． 由φ′(1)=e −1>0，φ′(12)=√e −2<0，得t ∈(12，1)，∵ φ(t)=e t +t −2在(12, 1)上单调递增，∴ φ(x)min =φ(t)>φ(12)=√e +12−2>√94+12−2=0．∴ g(x)−f(x)>2．。

6.5. A . 1B .C. D . 8(5 分) 函数f （X ）在 则满足-K f (X — 2) （-X, +X ）单调递减，且为奇函数.若f （ 1） = - 1, <1的x 的取值范围是（A . [ - 2，2]B . （5分）（1弋I[-1, 1]C. [0, 4])(1+x ) 6展开式中x 2的系数为( D . [1, 3]2017年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标I ）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)已知集合 A={x|x < 1} , B=(x| 3x < 1}，贝U()A . A n B={x|x v 0}B . A U B=R C. A U B=(x|x > 1} D . A n B=?2. （5分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.一点，则此点取自黑色部分的概率是（为（ 在正方形内随机取3. （5分）设有下面四个命题Z 满足丄€R ，贝U z €R ；ZZ 满足 2^ R ,则 z € R ；P 1：若复数 P 2：若复数P 3：若复数 Z 1，Z 2满足 Z 1Z 2€ R,贝U 乙=工2'； z € R ,贝U R . P 4：若复数 其中的真命题为（4. A . P 1, (5 分) P 3B . P 1, P 4 记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项C. D .P 2, P 3若 a 4+a 5=24, S 6=48,则{a n }的公差D . P 2，P 47. （5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的 各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（A . 15B . 20 C. 30 D .35A . 10B . 12 C. 14 D . 168 （5分）如图程序框图是为了求出满足 3n -2n> 1000 的最小偶数n ,那么在两个空白框中，可以分别填入（A. A > 1000 和 n=n+1B. A > 1000 和 n=n+2C. A < 1000 和 n=n+1D . A < 1000和 n=n+2pjr9. (5分)已知曲线 G : y=cosx C2: y=sin(2x+^ ），则下面结论正确的是（ ）A .把G 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,TT向右平移学个单位长度，得到曲线C2 纵坐标不变，再把得到的曲线B .把G 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变，再把得到的曲线罡否/输单w ]全国统一高考试卷试题向左平移工个单位长度，得到曲线C 212C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的y 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移罟个单位长度，得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 寺倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向乙左平移2L 个单位长度，得到曲线C 21 210. （5分）已知F 为抛物线C : y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线11, 12, 直线h 与C 交于A 、B 两点，直线12与C 交于D 、 小值为（ ）填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M 、N 两点.若/ MAN=60，贝U C 的离心率为 ______ .第3页（共36页）E 两点, 贝U | AB+I DE 的最 A . 16B . 14C. 12D . 1011. （5 分）设 X 、y 、 z 为正数，且2X =3y =5z ，贝U （ A . 2x v 3y < 5z12. （5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大 家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1, 2，1, 2, 4，1, 2，4, B . 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD . 3y v 2x v 5z8，1, 2, 4, 8, 16,…，其中第一项是20,接下来的两项是20, 21, 来的三项是20, 21, 22，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N : 且该数列的前N 项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（ 再接下 N > 100 A . 440B . 330 C. 220 D . 11013. （5 分）已知向量已，b 的夹角为60° I 刖=2, |b |=1，则|Q +2b | = 14. （5 分） 设x , y 满足约束条件2x+y>-l ，则z=3x- 2y 的最小值为15. （5 分）已知双曲线C : 2=1 （a >0，b >0）的右顶点为A ,以A 为圆b16. （5分）如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为0. D、E、F为圆0上的点，△ DBC, △ ECA △ FAB分别是以BC, CA AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC, CA, AB为折痕折起△ DBC, △ ECA △ FAB使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. （12分）△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知△ ABC的面积2为」一.SsinA（1）求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1 a=3，求^ ABC的周长.18. （12 分）如图，在四棱锥P- ABCD中，AB// CD,且/ BAP=^ CDP=90.（1）证明：平面PABI平面PAD(2)若PA=PD=AB=DC / APD=90,求二面角A- PB- C的余弦值.19. （12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产 线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验, 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N （卩，02）.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（卩-3 c, u +3o ）之外的零件数，求P （X > 1）及X 的数学期望；（2） —天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ 厂3 c ，p+3o ）之外的零件，就 需对当天的生产 过程进行检查.（i ）试说明上述监控生产过程方法的合理性;（ii ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.129.969.9610.019.929.98 10.04 10.269.91 10.13 10.02 9.22 10.0410.059.95经计算得-1 W 艾16^右 丄 D 1=1=9.97, s=2-应） "0.212,其中Xi 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2，•••，16.用样本平均数工作为卩的估计值（1，用样本标准差s 作为C 的估计值CT ，利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（— 3巧、口 +3cy ）之 外的数据，用剩下的数据估计 卩和6（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布N （卩，C ）,则P （卩-3o< Z V 妙3C =0.9974, 0.997416~0.9592, UdOD 8"0.09.卩-3 c认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,(2)设直线I 不经过P2点且与C 相交于A , B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜 率的和为-1,证明：I 过定点.21. (12 分)已知函数 f (X )=ae 2x + (a - 2) e x - x . (1)讨论f (X )的单调性；(2)若f (X )有两个零点，求a 的取值范围.20. (12分)已知椭圆 爭),P4(1)求C 的方程；P 3 (- 1,- 2C ：耳+冬=1 (a >b >0),四点 P 1 (1 , 1), R (0 , 1), b? (1 ,孕 中恰有三点在椭圆C 上.［选修4-4,坐标系与参数方程］直线I 的参数方程为(沪針牡(1) 若a=- 1,求C 与I 的交点坐标；(2) 若C 上的点到丨距离的最大值为"TV ,求a .［选修4-5:不等式选讲］23.已知函数 f (x ) =-x 2+ax+4, g (x ) =|x+1|+| x - 1| . (1)当a=1时，求不等式f (x )> g (X )的解集;(2)若不等式f (x )> g (X )的解集包含［-1,1］，求a 的取值范围.22.( 10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 K =3COS8V=si nG,(0为参数),,(t 为参数).一点，则此点取自黑色部分的概率是（ADA. 4f 开D.-2017年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标I ）参考答案与试题解析、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)已知集合 A={x|x < 1}，B=(x| 3x < 1}，贝U()A . A n B={x|x v 0}B . A U B=RC. A U B=(x|x > 1} D . A n B=?11:计算题；37:集合思想；40:定义法；5J:集合.B={x| 3x < 1}={x| x < 0}，••• A n B={x|x < 0}，故 A 正确，D 错误; A U B={x| x < 1}，故B 和C 都错误. 故选：A .交集、并集定义的合理运用.2. （5分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取【考点】 1E:交集及其运算. 【专题】 【分析】 先分别求出集合A 和B,再求出 A n B 和A U B ,由此能求出结果.【解答】解：•••集合 A={x|x v 1}, 【点评】本题考查交集和并集求法及应用, 是基础题，解题时要认真审题，注意案. 解：若复数Z 满足A€R ，则z € R,故命题P 1为真命题;【考点】CF 几何概型.【专题】35:转化思想；40:定义法；51:概率与统计.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积， 结合几何概型的概率公式进行 求解即可.【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1, 则正方形的边长为2, 则黑色部分的面积S 匹27T则对应概率P= 2二兀,4 8 故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算， 根据对称性求出黑色阴影部分的面 积是解决本题的关键.3. （5分）设有下面四个命题Z 满足丄€R ，贝U z €R ；ZZ 满足 2^ R ,则 z € R ；P 1：若复数 P 2：若复数P 3：若复数 Z 1, Z 2满足 Z 1Z 2€ R,贝U 乙=工2'； z € R ,贝U R . P 4：若复数 其中的真命题为（A . P 1, P 3B . P 1, P 4C. P 2, P 3D. P 2, P 4【考点】 2K ：命题的真假判断与应用; A1：虚数单位i 、复数；A5：复数的运算.【专题】 【分析】 2A :探究型；5L ：简易逻辑； 根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答5N ：数系的扩充和复数.【解答】P 2：复数z=i 满足z 2=- 1 € R ,则z?R,故命题P 2为假命题;P 3：若复数Z 1 = i , z 2=2i 满足z 1z 2€ R ,但Z 1M 石，故命题p 3为假命题; P 4：若复数z € R ,则艺=z € R ,故命题P 4为真命题. 故选：B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体, 考查了复数的运算，复数的分类, 复数的运算性质，难度不大，属于基础题.4. （5分）记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和. 为（ 若 a 4+a 5=24, S=48,则｛a n ｝的公差A . 1B . 2C.D . 8【考点】 【专题】 84:等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和.11:计算题；34:方程思想；40:定义法；54：等差数列与等比数列. 【分析】 利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差, 由此能求出｛a n ｝的公差.【解答】解：••• S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，a 4+a 5=24,解得 a i =- 2, d=4, 二｛a n ｝的公差为4.【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题, 注意等差数列的性质的合理运用.5. （5分）函数f 则满足-K f （X ）在（-X, +X ）单调递减，且为奇函数.若f （ 1） = - 1,（X- 2）＜ 1的X 的取值范围是（ ）A . [ - 2, 2]B . [ - 1, 1]C. [0, 4]D . [1, 3]【考点】3P:抽象函数及其应用.【专题】35:转化思想；4R:转化法；51:函数的性质及应用.【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式-1<f (X- 2)< 1化为-KX-2< 1,解得答案.【解答】解：•••函数f (X)为奇函数.若 f (1) =- 1,则 f (- 1) =1,又•.•函数 f (%)在(-X, +X)单调递减，-1 <f (X- 2)< 1, ••• f (1)< f (X-2)< f (- 1),•••- KX- 2< 1,解得：x€ [1, 3],故选：D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性, 难度中档.6. (5分)(1鱼)(1+X) 6展开式中X2的系数为(A. 15B. 20C. 30D. 35【考点】DA: 二项式定理.【专题】35:转化思想；4R:转化法.【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解：(1七)(1+X) 6展开式中:(1怕)=(1+X-2)提供常数项1,贝八1+X) 6提供含有X2的项，可得展开式中X2的系数：(1七)提供X-2项，则(1+X) 6提供含有X4的项，可得展开式中X2的系数: 1(1+X)6通项公式可得C討.可知r=2时，可得展开式中X2的系数为二15.可知r=4时，可得展开式中X2的系数为C A15.)(1+X )6展开式中X 2的系数为：15+15=30. 【点评】本题主要考查二项式定理的知识点， 通项公式的灵活运用.属于基础题.7. (5分)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的 各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题；31 :数形结合；44:数形结合法；【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面, 根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图, 该立体图中只有两个相同的梯形的面, S 梯形丄X 2X( 2+4) =6，•••这些梯形的面积之和为6X 2=12, 故选：B.(1+丄 2X故选：C.A . 10B . 12 C. 14 D . 165Q :立体几何.“A【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8 （5分）如图程序框图是为了求出满足 3n -2n > 1000的最小偶数n ,那么在11:计算题；38:对应思想；49:综合法；5K :算法和程序框图.“>1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2.解：因为要求A > 1000时输出，且框图中在 否”时输出,两个空白框中，可以分别填入（B. A > 1000 和 n=n+2D . A < 1000和 n=n+2【考点】 EF:程序框图.【专题】 【分析】通过要求A > 1000时输出且框图中在 否”时输出确定“ ”内不能输入 【解答】 和C. A < 1000 和 n=n+1全国统一高考试卷试题所以““A全国统一高考试卷试题又要求n 为偶数，且n 的初始值为0,故选：D .【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分.9. （5分）已知曲线Cl ： y=cosx C2: y=sin （2x ^5-）,则下面结论正确的是（）2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线左平移召■个单位长度，得到曲线 C -L 厶HJ 函数y=Asin （ wx©）的图象变换.11:计算题；35:转化思想；57:三角函数的图像与性质.利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.解：把G 上各点的横坐标缩短到原来的目倍，纵坐标不变，得到函数TTy=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移 時个单位长度，得到函数 y=cos2故选：D .【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力.10. （5分）已知F 为抛物线C : y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l i, I 2,第14页（共36页）所以所以D 选项满足要求,”中n 依次加2可保证其为偶数,A. 把G 上各点的横坐标伸长到原来的向右平移*■个单位长度，得到曲线C 2B. 把C i 上各点的横坐标伸长到原来的 向左平移工个单位长度，得到曲线C 2122倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 C •把C i 上各点的横坐标缩短到原来的 专倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移个单位长度，得到曲线C 2 6D .把C i 上各点的横坐标缩短到原来的 y 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向£【考点】 【专题】【分析】 【解答】 (x ^-) =cos (2x+^）=sin （2x -^）的图象，即曲线C 2,直线11与C 交于A 、B 两点，直线12与C 交于D 、 小值为（ ）【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题；34:方程思想；4R:转化法; 质与方程.【分析】方法一：根据题意可判断当 A 与D , B , E 关于x 轴对称，即直线DE 的 斜率为1 , IABI+I DE 最小，根据弦长公式计算即可.方法二：设直线11的倾斜角为0,则12的倾斜角为今+0 ,利用焦点弦的弦长公 式分别表示出I AB , I DE ，整理求得答案【解答】解：如图，h 丄12,直线11与C 交于A 、B 两点, 直线12与C 交于D 、E 两点， 要使I ABI+I DE 最小，则A 与D , B, E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1, 又直线12过点（1 , 0）, 则直线12的方程为y=x - 1 ,y —°卞,则 y 2— 4y — 4=0, y 1+y 2=4, y 1y 2= — 4, .丨 DE| =J1+ ； y 1 — y 2| ^2=8 ,••• I ABI+I DE 的最小值为 2| DE =16,方法二：设直线11的倾斜角为0,则12的倾斜角为冷-+0, 根据焦点弦长公式可得|AB|—=_与— S1 n f sin 勺]DE ___________ = 4品,（丁+9） cos^ 6 cos^ 04 4 416•••I AB|+| DE =_与一+——二—=——一_-—=—普—S1 n y co s y sin o cos v sin 2灯E 两点，贝U I AB+I DE 的最 A . 16B . 14C. 12D . 105D :圆锥曲线的定义、性联立方程组••• 0< sin 22 1,•••当0 =45°, IAB+I DE 的最小，最小为16,【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系， 弦长公式, 对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题.11. （5 分）设 X 、y 、z 为正数，且 2x =3y =5z ，贝U （ ） A . 2x < 3y < 5z B . 5z <2x < 3yC. 3y < 5z <2xD . 3y <2x < 5z【考点】72:不等式比较大小.【专题】35:转化思想；51:函数的性质及应用；59:不等式的解法及应用. ，z 諾•可，5z 古g .根据砺钢，^^32>阪=隔•即可得出大小关系.另解：x 、y 、z 为正数，令 2x =3y =5z =k > 1. lgk > 0 .可得x 豐，y 書，【分析】X 、y z 为正数，令2x =3y =5z =k > 1. Igk > 0.可得全国统一高考试卷试题21,件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1, 2, 1, 2, 4, 1, 2，4, 8，1, 2, 4, 8, 16,…，其中第一项是2°,接下来的两项是20, 来的三项是2°, 21, 22,依此类推.求满足如下条件的最小整数再接下 N : N > 100•令勿器豐>1可得2x >3y ,同理可得5z >2X.【解答】解：X 、y 、z 为正数， 令 2X =3y =5z =k > 1. Igk >0. 贝y x=l 韭,y=l 営k , z=lgk .Ig2 lg5 ••• 3y ^iU , 2x ^^, 5z ^!^. 1 笆烧 lsV2 lsV5•••丽=畅> 野杆,;迈J 师>|1顷=祈- ；1官需> g 血 > ^ Vs >0- ••• 3y v 2x < 5z.另解：X 、y 、z 为正数， 令 2X =3y =5z =k > 1. Igk >0. 则 x S , y 4, z M lg2 U3• 2這-2 IgS L lgg • 3y 3 lg2| IgS—-厘-1還_ > 1 .可得 5z >2x . 综上可得：5z > 2x > 3y .解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系. 故选：D .【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题.12. （5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大 家学习数学的兴趣，他们推出了 解数学题获取软件激活码”的活动.这款软且该数列的前N 项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（lg5> 1,可得 2x > 3y ,全国统一高考试卷试题【考点】8E:数列的求和.【专题】35:转化思想；4R:转化法；54:等差数列与等比数列.【分析】方法一：由数列的性质，求得数列｛b n ｝的通项公式及前n 项和，可知当N 为口时（n € N +）,数列｛a n ｝的前N 项和为数列｛b n ｝的前n 项和，即为 2 2n +1- n - 2,容易得到N > 100时，n A 14,分别判断，即可求得该款软件的激由题意求得数列的每一项，及前 n 项和S n =2n +1 - 2- n ,及项数，由题意2n +1为2的整数幕.只需将-2 -n 消去即可，分别即可求得 N 的值. 解：设该数列为｛a n ｝，设b n =n （叶］）职I 则 E b ,=E i=i 由题意可设数列｛a n ｝的前N 项和为S N ,数列｛ b n ｝的前n 项和为T n ,则T n =21 - 1+22-1+..+2n +1- 1=2n +1 - n - 2,可知当N 为口畸1）时（n € N +）,数列｛&｝的前N 项和为数列｛b n ｝的前n 项和，即为 2n +1 - n - 2,容易得到N > 100时，n A 14，A 项，由四幕0=435, 440=435+5,可知 S 440=T 29+b 5=230 - 29 - 2+25 - 1=230,故 A项符合题意.B 项，仿上可知举2L =325,可知 S 330=T 25+b 5=226 - 25 - 2+25 - 1=226+4，显然不为2的整数幕，故B 项不符合题意.C 项，仿上可知 竺严=210，可知 S 220=120+b 10=221 - 20 - 2+210 - 1=221+210 - 23,显然不为2的整数幕，故C 项不符合题意. D 项，仿上可知=105,可知 Si io =T i4+b 5=215 - 14-2+25 - 1=215+15，显然A . 440B . 330 C. 220 D . 110活码; 方法可知:【解=2n +1- 1,（n € N +）, 2nCn+Ga , L=1不为2的整数幕，故D项不符合题意. 故选A.Q 0 Q 1 rj 2 n 0 Q 1 Q 2・■・ 仃 1乙 P 乙 T 必...己， £ t 乙？ T 』第三项根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21 - 1, 22 - 1, 23- 1, (2)-1, 每项含有的项数为：1, 2, 3,…，n , 总共的项数为N=1+2+3+"n=（14ng •2所有项数的和为 S n ：21 - 1+22- 1+23- 1+-+2n - 1=(21+22+23+-+2n ) - n=(l —旷)1-2100,④ 1+2+4+8+16+ (-2-n ) =0,解得：n=29,总共有(［十 X 四 +5=440,满足 N > 100,•••该款软件的激活码440. 故选：A .【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力, 属于难题.、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.13. （5分）已知向量已，b 的夹角为60° ||引=2, |b |=1,则|Q +2b |.【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】31 :数形结合；40:定义法；5A :平面向量及应用.由 题 意 可 知黒一顷第口项-n=2n +1 -2 - n ,由题意可知：2n +1为2的整数幕. 只需将-2 - n 消去即可，〔1+1) XI2 CL+5)X5 2~③ 1+2+4+8+ (- 2-n ) =0,解得：n=13，总共有厲十 13)* 13 +4=95,不满足 N >则① 1+2+ (-2-n ) =0,解得: ② 1+2+4+ (-2-n ) =0,解得: n=1,总共有n=5,总共有+2=3，不满足 N > 100, +3=18,不满足 N > 100,【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.•••需 m 『于+4；?&4^2 =22+4X 2X 1X COS60+4X 12 =12,【解法二】根据题意画出图形，如图所示;结合图形云硕五刁+2*; 在^ OAC 中，由余弦定理得长，是基础题.K-^2y^l14. （5分）设X , y 满足约束条件2x+y>-l ，则z=3x- 2y 的最小值为K-^011:计算题；31:数形结合；35:转化思想；5T :不等式.由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结【解答】解：【解法一】向量a , b 的夹角为60° 且 |7|=2, |肓=1,【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题, 解题时应利用数量积求出模 【考点】 7C:简单线性规划.【专题】 【分析】 即 | ,l +2b | =2jj •合得答案.【解答】解：由X ，y 满足约束条件-2x-Hy>-l 作出可行域如图,xXO由图可知，目标函数的最优解为 A ， 联立j 好，解得A （- 1, 1）.,2K+y=-l••• z=3x - 2y 的最小值为-3X 1 - 2X 1 = - 5.2 ^=1（a >0，b >0）的右顶点为A '以A 为圆心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M 、N 两点•若/ MAN=60，贝U C 的离心率为【考点】KC 双曲线的性质.【专题】11：计算题；35:转化思想；49:综合法；5D :圆锥曲线的定义、性 质与方程.【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后 求解双曲线的离心率即可.考查了数形结合的解题思想方法，是中档15. （5分）已知双曲线C :题.故答案为：-5.全国统一高考试卷试题2【解答】解：双曲线C:刍2 a以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若/ MAN=6° ,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=^_b ,2b ,即巨理,可得离心率为：e吕3.C 2 3【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力.16. （5分）如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O. D、E、F为圆0上的点，△ DBC, △ ECA △ FAB分别是以BC, CA AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC, CA, AB为折痕折起△ DBC, △ ECA △ FAB使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为旋cm3【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11:计算题；35:转化思想；49:综合法；5E:圆锥曲线中的最值与范围冋题.【分析】法一：由题,连接OD，交BC于点G,由题意得OD丄BC, OG習BC,设OG=x则BC=*^x , DG=5- x,三棱锥的高h也5-L0工,求出&:V吉仏插Q X25 J -10 J，令 f (x) =25x - 10x5，x€(0,号)，f(X)=100x3- 50X4, f （x）＜f （2）=80,由此能求出体积最大值.第22页（共36页）-7=1 (a>0, b>0)的右顶点为A (a, 0),可得：1曲迟•3故答案为:法二：设正三角形的边长为x，贝U OG i*迈囂空兀，FG=SG=5■返K，3 2 6 6S O=hf S* 410 2 —省;啡（5爭，由此能示出三棱锥的体积的最大值.【解答】解法一：由题意，连接OD,交BC于点G,由题意得OD丄BC, OG亚BC,6即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x 贝U BC二馮，DG=5- X,三棱锥的高h珂BG J G2勺25-10工十X 2 -12引25-1 (k ,电ABC今X乎X(2后产3乐］则V吉％幅匚X hpF X也5-1。

2015年天津市和平区高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.若复数z满足z（2-i）=11+7i，则z=（）A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5i【答案】A【解析】解：∵z（2-i）=11+7i，∴z====3+5i．故选A．由z（2-i）=11+7i，知z=，再利用复数的代数形式的乘除运算，能求出z．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A.-1B.3C.11D.12【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z经过点A时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2），代入目标函数z=3x+y得z=3×3+2=11．即目标函数z=3x+y的最大值为11．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3.阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S的值为（）A.57B.119C.120D.247【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1k=2，S=4不满足条件k＞5，k=3，S=11不满足条件k＞5，k=4，S=26不满足条件k＞5，k=5，S=57不满足条件k＞5，k=6，S=120满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为120．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.已知a，b为实数，则“|a|+|b|＜1”是“＜且＜”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵是“＜且＜”，∴|a|+|b|＜1，若“|a|+|b|＜1”，令|a|=0.6，|b|=0.3，∴|a|+|b|=0.9＜1，∴“|a|+|b|＜1”是“＜且＜”的必要不充分条件，故选B．可以利用特殊值法令|a|=0.6，|b|=0.3，再考查了必要条件和充分条件进行判断；此题主要考查绝对值的性质，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．5.设F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex-a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2-a2=ab∴b2-a2=ab，即9b2-4a2-9ab=0，∴（3b-4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex-a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．6.设min{p，q}表示p，q中较小的一个，给出下列命题：①min{x2，x-1}=x-1；②设，，则min，；③设a，b∈N*，则min，的最大值是1，其中所有正确命题的序号有（）A.①B.③C.①②D.①③【答案】D【解析】解：①∵x2-（x-1）=＞0，∴x2＞x-1，∴min{x2，x-1}=x-1，正确；②∵，，∴sinθ∈（0，1]，∴-==≤0，则min，=，因此不正确；③设a，b∈N*，∵=≤=≤1，a≥1．可得：min，的最大值是1，正确．故选：D．①作差：x2-（x-1）=＞0，即可得出min{x2，x-1}，进而判断出正误；②由，，可得sinθ∈（0，1]，作差-=≤0，即可判断出正误；③设a，b∈N*，由=≤=≤1，a≥1，即可判断出正误．本题考查了新定义、“作差法”比较数的大小、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.如图，AD切圆O于D点，圆O的割线ABC过O点，BC交DE于F点，若BO=2，AD=2．则给出的下列结论中，错误的是（）A.AB=2B.=C.∠E=30°D.△EBD∽△CDB【答案】D【解析】解：由切割线定理可得AD2=AB•AC，即12=AB•（AB+4），所以AB=2，故A正确；由相交弦定理可得BF•CF=DF•EF，故可得B正确；由△ABD∽△ADC，可得，因为BC=4，所以DC=23，所以∠C=30°，所以∠E=30°，故C正确；△EBD、△CDB中只有一对角相等，不可推出△EBD∽△CDB，故不正确．故选：D．对四个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.已知x1、x2是函数f（x）=|lnx|-e-x的两个零点，则x1x2所在区间是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，e）【答案】B【解析】解：令f（x）=0，∴|lnx|=e-x；∴函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数|lnx|和函数e-x的交点，画出这两个函数图象如下：由图看出0＜-lnx1＜1，-1＜lnx1＜0，0＜lnx2＜1；∴-1＜lnx1+lnx2＜1；∴-1＜lnx1x2＜1；∴＜＜；由图还可看出，-lnx1＞lnx2；∴lnx1x2＜0，x1x2＜1；∴x1x2的范围是（，）．故选B．能够分析出f（x）的零点便是函数|lnx|和函数e-x交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象可看出＜＜＜＜＞，这样即可得出-1＜lnx1x2＜0，根据对数函数的单调性即可求出＜＜．考查函数零点的概念，函数零点和方程解的关系，方程f（x）=g（x）的解和函数f（x）与g（x）交点的关系，对数的运算，以及对数函数的单调性．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.某校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．用分层抽样的方法共抽取40人，则抽取音乐特长生的人数为______ ．【答案】16【解析】解：∵体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．用分层抽样的方法共抽取40人，∴抽取音乐特长生的人数为=人，故答案为：16根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于______cm3．【答案】10【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个长方体，挖去一个三棱柱和一个三棱锥后所得的组合体，长方体的体积为：3×2×2=12cm3，三棱柱的体积为：3×（×1×1）=cm3，三棱锥的体积为：×3×（×1×1）=cm3，故组合体的体积V=12--=10cm3，故答案为：10．由已知中的三视图，可知该几何体是一个长方体，挖去一个三棱柱和一个三棱锥后所得的组合体，分别求出长方体，三棱柱和三棱锥的体积，相减可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足（a+b+c）（a-b+c）=4，若A、B、C成等差数列，则ac的值为______ ．【答案】【解析】解：∵△ABC中，A、B、C成等差数列，且A+B+C=π，∴2B=A+C=π-B，即B=，∴由余弦定理得：cos B==，即a2+c2-b2=ac，∵（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）2-b2=a2+c2-b2+2ac=4，∴ac+2ac=4，即ac=，故答案为：由三角形三个内角成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，利用余弦定理表示出cos B，将B的度数代入整理得到关系式，已知等式变形后代入计算求出ac的值即可．此题考查了余弦定理，等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12.已知m=（sint+cost）dt，则的展开式的常数项为______ ．【答案】-【解析】解：m=（sint+cost）dt=（-cost+sint）|=-cosπ+sinπ-（-cos0+sin0）=1+1=2，则=（x-）6，其展开式的通项为T r+1=C6r x6-r•（-）r=C6r（-）r x6-2r，令6-2r=0，可得r=3，此时T4=C63（-）3=-，故答案为：-根据题意，由定积分公式可得m=2，由二项式定理可得其展开式的通项，令x的指数为0，可得r的值，将r的值代入通项，计算可得其展开式中常数项，即可得答案本题考查二项式定理的运用，关键是由定积分公式求出a的值，属于中档题．13.在极坐标系中，已知圆ρ=2sinθ与直线4ρcosθ+3ρsinθ-a=0相切，则实数a 的值是______ ．【答案】-2或8【解析】解：由圆ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y-1）2=1，圆心C （0，1），半径r=1．由直线4ρcosθ+3ρsinθ-a=0，得4x+3y-a=0，∵直线与圆相切，∴，解得a=-2或8．故答案为：-2或8．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆的极坐标方程和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．14.已知点A（-1，0），B（0，1），点P是圆（x-a）2+y2=1上的动点，当数量积•取得最小值2时，点P的坐标为______ ．【答案】（1+，）【解析】解：设点P（a+cosθ，sinθ），则由点A（-1，0），B（0，1），可得=（1，1），=（a+cosθ+1，sinθ），∴•=a+cosθ+1+sinθ=a+1+cos（θ+），故当cos（θ+）=-1时，故数量积•的最小值为a+1-=2，∴a=1+，此时θ=；故答案为：（1+，）．设点P（a+cosθ，sinθ），求得•=a+cosθ+1+sinθ=a+1+cos（θ+），再利用余弦函数的值域、•的最小值为2，求得a的值本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，余弦函数的值域，属于基础题三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ≤）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和φ的值；（2）若f（）=（＜α＜），求sinα的值．【答案】解：（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合-≤φ＜，可得φ=-．（2）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α-）=，∴sin（α-）=．再根据0＜α-＜，∴cos（α-）==，∴sinα=sin[（α-）+]=sin（α-）cos+cos（α-）sin=×+×=．【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合-≤φ＜可得φ的值．（2）由条件求得sin（α-）=．再根据α-的范围求得cos（α-）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α-）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．16.某商场根据市场调研，决定从3种服装商品、2种家电商品和4种日用商品中选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（Ⅱ）被选中的促销商品在现价的基础上提高60元进行销售，同时提供3次抽奖的机会，第一次和第二次中奖均可获得奖金40元，第三次中奖可获得奖金30元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，顾客所得奖金总数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】解：（I）从3种服装商品、2种家电商品，4种日用商品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有种．所以选出的3种商品至少有一种日用商品的概率为P=1-．（Ⅱ）X可能取得值为0，30，40，70，80，110P（X=0）=P（X=30）=P（X=40）=P（X=70）=P（X=80）=P（X=110）=所以X的分布列为EX=【解析】（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，利用间接法能求出选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率．（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为X，则X的可能取值为0，30，40，80，70，110分别求出P（X=0），P（X=30），P（X=40），P（X=80），P（X=70），P（X=110），由此能求出顾客中奖次数的数学期望EX．本题主要考查超几何分布的应用和随机变量的分布列期望，属中档题型，高考常考题型．17.如图，△BCD与△ECD都是边长为2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABE；（Ⅱ）求点A到平面EBC的距离；（Ⅲ）求平面ACE与平面BCD所成二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取CD的中点F，连接BF，EF，则EF⊥CD，∵平面ECD⊥平面BCD，平面ECD∩平面BCD=CD，∴EF⊥平面BCD，∵AB⊥平面BCD，∴EF∥AB，∴A，B，F，E共面，∵△BCD是正三角形，F是CD的中点，∴CD⊥BF，∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BF=B，∴CD⊥平面ABF，即CD⊥平面ABE；（Ⅱ）解：由上知，CF即为C点到平面ABE的距离，△BEC中，BC=2，CE=2，BE=，S△BEC==设点A到平面EBC的距离为h，则由等体积可得，∴h=；（Ⅲ）解：延长AE与BF延长线交于点O，连CO，则CO是平面ACE与面BCD的交线，F是BO的中点，作FG⊥CO，连接EG，则∠EGF为平面ACE与平面BCD所成二面角的平面角在△EFG中，EF=，FG=1，EG=2∴平面BCD与平面ACE所成二面角为．【解析】（Ⅰ）证明A，B，F，E共面，CD⊥BF，AB⊥CD，即可证明：CD⊥平面ABE；（Ⅱ）可以利用等体积法，CF即为C点到平面ABE的距离，求出三角形ABE的面积可得结论；（Ⅲ）延长AE与BF延长线交于点O，连CO，则CO是平面ACE与面BCD的交线，F 是BO的中点，作FG⊥CO，连接EG，则∠EGF为平面ACE与平面BCD所成二面角的平面角，即可得出结论．本题考查点A到平面BCE的距离的求法，证明CD⊥平面ACE，求平面BCD与平面ACE 所成二面角的大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=2，a n+1=S n+n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）正项等差数列{b n}的前n项和为T n，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+成等比数列．（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）试确定与的大小关系，并给出证明．【答案】（本题13分）（Ⅰ）解：由a n+1=S n+n，得a n=S n-1+（n-1）（n＞1），…（1分）两式相减，得a n+1-a n=S n-S n-1+1=a n+1，∴a n+1=2a n+1，即a n+1+1=2（a n+1）（n＞1）．…（2分）∵a1=2，∴a2=S1+1=a1+1=3．…（3分）∴（n＞1）．…（4分）∴{a n}的通项公式为，，＞…（5分）（Ⅱ）解：（ⅰ）∵{b n}为等差数列，且T3=9，∴b2=3．…（6分）设{b n}的公差为d，则b1=3-d，b3=3+d．∵a1=2，a2=3，a3=7，∴a1+b1=5-d，a2+b2=6，．…（7分）∵a1+b1，a2+b2，成等比数列，∴（5-d）（17+d）=72．∴d=1或d=-13（不合题意，舍去）．…（8分）∴b n=b1+（n-1）d=n+1．…（9分）（ⅱ）∵＜（k∈N*），（10分）∴＜…（11分）=＜．…（13分）【解析】（Ⅰ）利用a n+1=S n+n，得到a n+1-a n=S n-S n-1+1=a n+1，推出{a n+1}的数列特征，然后求解{a n}的通项公式．．（Ⅱ）（ⅰ）利用数列的和，结合等差数列即可求出{b n}的通项公式b n=b1+（n-1）d=n+1．（ⅱ）通过数列的通项公式，利用放缩法以及列项求和，推出结果即．本题考查数列的综合应用，数列求和，放缩法的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.已知点，是离心率为的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BC交椭圆于B、C两点，且B、C与A点均不重合．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否存在着最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求直线AB与直线AC斜率的比值．【答案】（本题14分）（Ⅰ）解：依题意，得，，…（2分）解得，…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（Ⅱ）解：设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为，则有整理，得．…（5分）由＞，解得＜＜．…（6分）由根与系数的关系，得：，．…（7分），设d为点A到直线BC的距离，则．…（8分）∴．∵≤，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值．…（9分）（Ⅲ）解：设直线AB与直线AC的斜率分别为k AB和k AC，则，，…（10分）故∵，∴．∴．…（12分）由，，得，…（13分）∴．∴．…（14分）【解析】（Ⅰ）利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABC的面积的最大值．（Ⅲ）设直线AB与直线AC的斜率分别为k AB和k AC，求出斜率的比值，结合（Ⅱ）求解即可．本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．20.已知函数f（x）=-bx，g（x）=lnx-f（x）．（Ⅰ）若f（2）=2，讨论函数g（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）是关于x的一次函数，且函数g（x）有两个不同的零点x1，x2，求实数b的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：x1x2＞e2．【答案】解：（Ⅰ）由f（2）=2，得a-b=1．则，其定义域为（0，+∞），，当a＜0时，令g'（x）=0，解得，x2=1，①当a＜-1时，则＜＜，函数g（x）在区间，和（1，+∞）上单调递增，在区间，上单调递减，②当a=-1时，≥0，函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，③当-1＜a＜0时，则＞，函数g（x）在区间（0，1）和，∞上单调递增，在区间，上单调递减，④当a≥0时，g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，（Ⅱ）∵f（x）是关于x的一次函数，∴g（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+∞）．由g（x）=0，得，记，则，∴在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∴当x=e时，取得最小值，由h（1）=0，得x∈（0，1）时，h（x）＞0，而x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，如下图：∴实数b的取值范围是，．（Ⅲ）由题意，得lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，故lnx1x2+b（x1+x2）=0，．∴．不妨设x1＜x2，要证＞，只需证＞，即证＞，设（t＞1），，则＞，∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，而F（1）=0．∴F（t）＞0，即＞．∴＞．【解析】（Ⅰ）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性；（Ⅱ）由f（x）=-bx，得到g（x）的表达式，令g（x）=0，得，记，通过讨论h （x）的单调性，得到h（x）取得最小值，从而得到b的范围；（Ⅲ）要证＞，即证＞，设（t＞1），，通过求导得到F（t）的单调性，从而得到F（t）＞0，进而证出结论．本题考察了导数的应用，考察函数的单调性、函数的极值问题，考察分类讨论思想、换元思想，本题是一道难题．。

N 单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲21．N1A.[2017·江苏卷] 选修4-1：几何证明选讲如图1-7，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．图1-7求证：(1)∠P AC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .21．A.证明：(1)因为PC 切半圆O 于点C ， 所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径， 所以∠ACB ＝90°.因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠P AC ＝∠CAB .(2)由(1)知，△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝ACAB， 即AC 2＝AP ·AB .N2 选修4-2 矩阵21．N2B.[2017·江苏卷] 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．B ．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2. 因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.N3 选修4-4 参数与参数方程11．N3[2017·天津卷] 在极坐标系中，直线4ρcos (θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．11．2 [解析] 直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，∵圆心到直线的距离d ＝|2＋1|（23）2＋22＝34<1，∴直线与圆的公共点的个数为2.21．N3C.[2017·江苏卷] 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．C ．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋（－2）2＝2（s －2）2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.22．N3[2017·全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．22．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cos θ.由|OM|·|OP|＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)， 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)．由题设知|OA|＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA|·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.22．N3[2017·全国卷Ⅰ] 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 22．解： (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425. 从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917，由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.22．N3[2017·全国卷Ⅲ] 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．22．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)，消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2），消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ) ．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.11．N3[2017·北京卷] 在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为________．11．1 [解析] 在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心C (1，2)，半径r ＝1，点P 为(1，0)，所以|AP |的最小值为|CP |－r ＝2－1＝1.N4 选修4-5 不等式选讲21．N4D .[2017·江苏卷] 选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. D ．证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，当且仅当ad ＝bc 时取等号，因此ac ＋bd ≤8.23．N4[2017·全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲 已知a>0，b>0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b)(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.23．证明：(1)(a ＋b)(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab(a 4＋b 4)＝4＋ab(a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab(a ＋b)≤2＋3（a ＋b ）24(a ＋b)＝2＋3（a ＋b ）34， 所以(a ＋b)3≤8，因此a ＋b ≤2.23．N4[2017·全国卷Ⅰ] 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围． 23．解： (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0，①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1，1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1， 所以a 的取值范围为[－1，1]．23．N4[2017·全国卷Ⅲ] 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 23．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54.N5 选修4-7 优选法与试验设计1年模拟2．2017·广州模拟在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数).在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．2．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t ，消去t 得x ＋y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即()x －12＋()y －12＝2.(2)由(1)知，圆心(1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－4|2＝2，故所求距离的最大值为2＋2＝2 2.4．2017·南昌一模在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．4．解：(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0，则Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a 2.根据参数方程的几何意义可知||P A ＝2||t 1，||PB ＝2||t 2， 又由||P A ＝2||PB 可得2||t 1＝2×2||t 2，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2⇒a ＝136>0，符合题意； 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2⇒a ＝94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136或94.5．2017·淮北质检以平面直角坐标系的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4（1＋tan 2θ）1－tan 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)过极点的射线l 1：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，－π4<α<0与曲线C 交于点A ，射线l 1绕极点逆时针旋转π4得到射线l 2，射线l 2与曲线C 交于点B ，求||OA ·||OB 的最小值以及此时点A 的一个极坐标．5．解：(1)方程ρ2＝4（1＋tan 2θ）1－tan 2θ，即ρ2＝4（cos 2θ＋sin 2θ）cos 2θ－sin 2θ，即ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，故曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4.(2)由ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝4cos 2θ，与θ＝α联立，以及ρ>0，得||OA ＝2cos 2α.由题意，射线l 2的极坐标方程为θ＝α＋π4(ρ>0)，与ρ2＝4cos 2θ联立，得||OB ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2－sin 2α.所以||OA ·||OB ＝4－sin 2αcos 2α＝42－sin 4α.因为－π4<α<0，所以－π<4α<0，所以0＜－sin 4α≤1，所以||OA ·||OB ＝42－sin 4α≥42，当且仅当4α＝－π2，即α＝－π8时等号成立，取得最小值42，此时||OA ＝2cos 2α＝222＝254，即点A 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫254，－π8.2．2017·南昌一模已知函数f (x )＝||2x －a ＋||x －1，a ∈R . (1)若不等式f (x )≤2－||x －1有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．2．解：(1)f (x )≤2－||x －1，即为⎪⎪⎪⎪x －a 2＋||x －1≤1.又⎪⎪⎪⎪x －a 2＋||x －1≥⎪⎪⎪⎪a2－1， ∴由不等式f (x )≤2－||x －1有解，得⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4，∴实数a 的取值范围为[0，4]．(2)函数f (x )＝||2x －a ＋||x －1的零点为a 2和1，当a <2时，a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x <a2，x －a ＋1⎝⎛⎭⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1（x >1），∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎡⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a2＋1＝3，得a ＝－4<2，故a ＝－4.4．2017·石家庄二检设函数f ()x ＝||x －1－||2x ＋1的最大值为m . (1)作出函数f ()x 的图像；(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值．4．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12<x <1，－x －2，x ≥1，画出f (x )的图像如图所示．(2)由(1)知m ＝32. ∵32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝()a 2＋b 2＋2()c 2＋b 2≥2ab ＋4bc ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝12时，等号成立， ∴ab ＋2bc ≤34，∴ab ＋2bc 的最大值为34.6．2017·江南十校联考已知关于x 的方程log 2(x 2－2x ＋5)－||2a －1＝0在[0，3]上有解．(1)求正实数a 的取值所组成的集合A ；(2)若t 2＋at －3≥0对任意a ∈A 恒成立，求实数t 的取值范围．6．解：(1)当x ∈[0，3]时，log 2(x 2－2x ＋5)＝log 2[(x －1)2＋4]∈[]2，3，∴2≤||2a －1≤3，又a >0，∴32≤a ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪32≤a ≤2. (2)由(1)知32≤a ≤2.设g (a )＝t ·a ＋t 2－3，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫32≥0，g （2）≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥57－34或t ≤－57－34，t ≥1或t ≤－3，故t ≥57－34或t ≤－3.。