《解直角三角形》单元测试卷

解直角三角形单元测试卷姓名____________ 时间:90分钟 满分:120分 总分_________ 注意事项:1. 请在试卷规定时间内作答.2. 请注意答题规范,书写规范.3. 请用0.5毫米黑色水笔把答案直接答在试卷上. 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图所示,在Rt △ABC 中,CE 是斜边AB 上的中线,AB CD ⊥,若6,5==CE CD ,则△ABC 的面积是 【 】 （A ）24 （B ）25 （C ）30 （D ）36第 1 题图第 5题图2. 在Rt △ABC 中,53sin ,90=︒=∠A C ,则B tan 的值为 【 】 （A ）54 （B ）34 （C ）43（D ）13. ︒30tan 的值等于 【 】 （A ）33 （B ）23 （C ）22 （D ）21 4. 在Rt △ABC 中,A B C ∠=∠︒=∠2,90,则A sin 的值为 【 】 （A ）23 （B ）33 （C ）3 （D ）21 5. 如图,在Rt △ABC 中,︒=∠︒=∠30,90A ACB ,CD 是斜边AB 上的高,2=BD ,则AD 的长为 【 】（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）86. 在Rt △ABC 中,7,35,90=︒=∠︒=∠AB B C ,则BC 的长为 【 】 （A ）︒35sin 7 （B ）︒35cos 7（C ）︒35cos 7 （D ）︒35tan 77. 如图所示,在△ABC 中,AC BE AB CF ⊥⊥,,M 为BC 的中点,5=EF ,△EFM 的周长为13,则BC 的长是 【 】 （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12第 7 题图M FEBCA 第 8 题图8. 如图所示,一水库大坝的横断面为梯形,坝顶BC 宽6米,坝高20米,斜坡AB 的坡度5.2:1=i ,斜坡CD 的坡角为︒30,则坝底AD 的长度为（精确到整数,其中7.13≈） 【 】（A ）84米 （B ）96米 （C ）91米 （D ）90米 9. 如图,53cos ,17,10,90=∠==︒=∠FGO OG EF EFG ,则点F 的坐标是 【 】 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛427,8 （B ）()12,8 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛433,6 （D ）()10,6yx第 9 题图FEOG第 10 题图港口10. 如图,已知B 港口位于A 观测点北偏东︒45方向,且其到A 观测点正北方向的距离BM 的长为210km,一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行74km 到达C 处,测得C 处位于A 观测点的北偏东︒75方向,则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为 【 】 （A ）38km （B ）39km （C ）36km （D ）37km二、选择题（每小题3分,共15分）11. 计算:()=---+︒253130cos 32021_________. 12. 在△ABC 中,若B A ∠∠,满足022sin 21cos 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ,则=∠C ______. 13. 如图,在Rt △ABC 中,︒=∠90BAC ,D 为BC 的中点,若︒=∠65C ,则BAD ∠的度数为_________.第 13 题图D ABCM第 15 题图N DBCA14. 在Rt △ABC 中,8,34tan ,90==︒=∠BC A C ,则△ABC 的面积为_________.15. 如图所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,8=AC cm,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ,连结BD ,若53sin =∠DBC ,则BC 的长是_________cm. 三、解答题（共75分）16.（8分）计算:（1）︒+︒-︒45tan 60tan 30sin 2; （2）︒-︒+︒⋅︒45tan 30cos 30tan 60sin 22.17.（9分）对于同一锐角α有:1cos sin 22=+αα.若锐角A 满足45cos sin =+A A ,试求:（1）A A cos sin ⋅的值; （2）A A cos sin -的值.18.（9分）如图所示,在△ABC 中,53cos ,5===A AC AB ,求BC 的长. B CA19.（9分）如图（13）所示,在△ABC 中,BC AD ⊥于点D ,,30,8︒=∠=ABD AB︒=∠45CAD ,求BC 的长.图（13）20.（9分）如图,在大楼AB 正前方有一斜坡CD ,坡角︒=∠30DCE ,楼高60=AB 米,在斜坡底的点C 处测得楼顶B 的仰角为︒60,在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为︒45,其中点A 、C 、E 在同一直线上. （1）求坡底点C 到大楼的距离; （2）求斜坡CD 的长度.21.（10分）如图（14）所示,平台AB 高为12米,在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°,底部点C 的俯角为30°,求楼房CD 的高度.（7.13≈）图（14）22.（10分）图中的铁塔位于我省开封市的铁塔公园,素有“天下第一塔”之称.为了测得铁塔EF 的高度,小明利用自制的测角仪在C 点测得塔顶E 的仰角为45°,从点A 向正前方行进23米到B 处,再用测角仪在D 点测得塔顶E 的仰角为60°.已知测角仪的高度为1.5米,求铁塔EF 的高度（结果精确到0. 1米,73.13≈）.开封铁塔23.（11分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题: （1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值.图 1BCA图 2BAC图 3C解直角三角形单元测试卷参考答案和评分标准一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 23- 12. ︒75 13. ︒25 14. 24 15. 4三、解答题（共75分） 16.（8分）计算:（1）︒+︒-︒45tan 60tan 30sin 2; 解:原式13212+-⨯= 32-=; （2）︒-︒+︒⋅︒45tan 30cos 30tan 60sin 22. 解:原式123332322-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯= 1431-+= 43=. 17.（9分）对于同一锐角α有:1cos sin 22=+αα.若锐角A 满足45cos sin =+A A ,试求:（1）A A cos sin ⋅的值; （2）A A cos sin -的值. 解:（1）∵45cos sin =+A A ∴()1625cos sin 2=+A A ∴1625cos sin 2cos sin 22=⋅++A A A A ∴1625cos sin 21=⋅+A A ∴329cos sin =⋅A A ; ……………………………………3分 （2）∵()()-+=-22cos sin cos sin A A A AA A cos sin 4⋅ ……………………………………5分 ∴()16732941625cos sin 2=⨯-=-A A ……………………………………7分∴47167cos sin ±=±=-A A . ……………………………………9分 18.（9分）如图所示,在△ABC 中,53cos ,5===A AC AB ,求BC 的长.解:作AC BD ⊥. 在Rt △ABD 中 ∵53cos ==AB AD A ∴535=AD ∴3=AD……………………………………4分 ∴235=-=-=AD AC CD ……………………………………5分 在Rt △ABD 中,由勾股定理得:4352222=-=-=AD AB BD ……………………………………7分 在Rt △BCD 中,由勾股定理得:52242222=+=+=CD BD BC . ……………………………………9分 19.（9分）如图（13）所示,在△ABC 中,BC AD ⊥,,30,8︒=∠=ABD AB︒=∠45CAD ,求BC 的长.图（13）解:∵BC AD ⊥∴△ABD 和△AC D 都是直角三角形 在Rt △ABD 中,∵︒=∠30ABD ∴421==AB AD ……………………………………3分 ∵23cos ==∠AB BD ABD ∴238=BD ∴34=BD……………………………………6分 ∵︒=∠45CAD∴△ACD 是等腰直角三角形 ∴4==CD AD……………………………………8分 ∴434+=+=CD BD BC . ……………………………………9分 20.（9分）如图,在大楼AB 正前方有一斜坡CD ,坡角︒=∠30DCE ,楼高60=AB 米,在斜坡底的点C 处测得楼顶B 的仰角为︒60,在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为︒45,其中点A 、C 、E 在同一直线上.（1）求坡底点C 到大楼的距离; （2）求斜坡CD 的长度.解:（1）在Rt △ABC 中 ∵ACABACB =∠tan ∴32060tan 60tan =︒=∠=ACB AB AC m……………………………………4分 答:坡底点C 到大楼的距离为320m; （2）作AB DE ⊥.……………………………………5分 设x DE =m,则x DE AE ==m ∴()x AE AB BE -=-=60m 在Rt △DCE 中 ∵︒=∠30DCE ∴x DE CD 22==m……………………………………6分 由勾股定理得:()xx x DE CD CE 322222=-=-=m……………………………………7分∴()x CE AC AE 3320+=+=m 在Rt △BDE 中 ∵︒=∠45BDE ∴︒=∠=∠45BDE DBE ∴()x BE DE -==60m……………………………………8分 ∵DE AE =∴()x x -=+603320解之得:60340-=x……………………………………9分 ∴()1203802-==x CD m 答:斜坡CD 的长度为()120380-m.注意:若题目无特殊要求,结果应保留根号.21.（10分）如图（14）所示,平台AB 高为12米,在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°,底部点C 的俯角为30°,求楼房CD 的高度.（7.13≈）解:作CD BE ⊥由题意可知:12==CE AB 米. 在Rt △BCE 中 ∵33tan ==∠BE CE CBE ∴3312=BE ∴312=BE 米……………………………………5分 ∵︒=∠45DBE ∴312==BE DE 米……………………………………8分 ∴()3112+=+=DE CE CD 米 ∴()4.327.1112≈+⨯≈CD 米 ……………………………………10分 答:楼房CD 的高度约为32. 4米. 22.（10分）图中的铁塔位于我省开封市的铁塔公园,素有“天下第一塔”之称.为了测得铁塔EF 的高度,小明利用自制的测角仪在C 点测得塔顶E 的仰角为45°,从点A 向正前方行进23米到B 处,再用测角仪在D 点测得塔顶E 的仰角为60°.已知测角仪的高度为1.5米,求铁塔EF 的高度（结果精确到0. 1米,73.13≈）.解:作EF CH ⊥,如下图所示. ……………………………………1分 由题意可知:5.1===FH BD AC 米︒=∠︒=∠60,45EDH ECH23==CD AB 米……………………………………2分开封铁塔在Rt △ECH 中 ∵︒=∠45ECH ∴︒=∠=∠45ECH CEH ∴EH CH =……………………………………4分 设x EH CH ==米,则:()23-=-=x CD CH DH 米在Rt △EDH 中 ∵DHEHEDH =∠tan ∴360tan 23=︒=-x x……………………………………7分 解之得:232369+=x ……………………………………9分∴232369+=EH 米∴9.55232372≈+=+=FH EH EF 米……………………………………10分 答:铁塔EF 的高度约为55. 9米. 23.（11分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:（1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值.图 1BCA图 2BAC图 3C解:（1）1;……………………………………3分 （2）作AB CD ⊥.图 2∵CA CB =,AB CD ⊥ ∴AB BD 21=……………………………………4分∵sad C 56=∴56=BC AB 设x AB 6=,则x BC 5= ∴x BD 3=在Rt △BCD 中,由勾股定理得:()()xx x BD BC CD 4352222=-=-=……………………………………5分 ∴3434tan ===x x BD CD B . ……………………………………6分 （3）延长AC 至E ,使AE AB =. ……………………………………8分图 3∵54sin =A ∴54=AB BC 设x AB x BC 5,4== ∴x AE 5=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:()()xx x BC AB AC 3452222=-=-=……………………………………9分 ∴x AC AE CE 2=-= 在Rt △BCE 中,由勾股定理得:()()xx x CE BC BE 52242222=+=+=∴sad A 552552===x x AB BE . ……………………………………11分。

九年级数学解直角三角形单元综合测试题直角三角形常用到一个非常重要的三角形定理，勾股定理。

下面是小编给大家带来的九年级数学解直角三角形单元综合测试题，希望能够帮助到大家!九年级上册数学单元综合测试卷(第23章解直角三角形)注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )A. B.3 C. D.22.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是( )A. B. C. D.3.如果∠ 为锐角，且sin =0.6，那么的取值范围是( )A.0°< ≤30°B.30°< <45°C.45°< <60°D.60°< ≤90°4.若为锐角，且sin = ，则tan 的值为( )A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标为(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则sin 的值为( )A. B. C. D.第5题图第8题图第9题图第10题图6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则cosA的值为( )A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是( )A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于( )A. B. C. D.9.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是( )A. (m2)B. (m2)C.1600sin (m2)D.1600cos (m2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为( )A.5mB. mC.4 mD.2二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC= ，AD=4.则DC=___________.第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan =0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为___________米.13.如图，已知点A(5 ，0)，直线y=x+b(b>0)与x轴、y轴分别相交于点C、B，连接AB，∠ =75°，则b=________.14.如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC= BC，则tan∠EAF=________.三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15.计算：(1) +2sin45°- ;(2)sin30° tan60°-(-tan45)2016+ .16.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB=6，AC=5 ，∠A=30°.(1)求BD和AD的长;(2)求tanC的值.四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度.小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据计算出河宽.(精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732)18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求tanB的值.五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.(1)求sinB的值;(2)如果CD= ，求BE的值.20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2.(1)求证：AD=CD;(2)若tanB=3，求线段AB的长﹒六、(本题满分12分)21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号)﹒七、(本题满分12分)22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1：2，且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测角器高度忽略不计，结果保留根号形式)八、(本题满分14分)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.(1)求△ABM的面积;(2)求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D B D A C B C A D二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11. . 12. 7 . 13. 5 . 14. .三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15. 解答：(1) +2sin45°- ;= +2× - ，= + -= + -2 +2=3 - ;(2)sin30° tan60°-(-tan45)2016+ .= × -(-1)2016+= -1+1-= .16.解答：(1)∵BD⊥AC，AB=6，∠A=30°，∴BD= AB=3，在Rt△ABD中，AD=AB cosA=6× =3 ;(2)∵AC=5 ，AD=3 ，∴CD=AC-AD=2 ，在Rt△BCD中，tanC= = = .四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17.解答：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，在Rt△AEC中：∠CAE=45°，∴AE=CE=x在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BE= CE= x，∵BE=AE+AB，∴ x=x+50，解得：x=25 +25≈68.30.答：河宽为68.30米.18.解答：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠MAN=∠BAC，∴△AMN∽△ABC，∴ = = ，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC= = ，在Rt△ABC中，tanB= = = .五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19.解答：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC= CH，∴CH：AC=1：，∴sinB= ;(2)∵sinB= ，∴AC：AB=1：，∴AC=2，∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB= ，设CE=x(x>0)，则AE= x，则x2+22=( x)2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2 ，∴BC=4，∴BE=BC-CE=3.20.解答：(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4，∴∠DEA=60°，DE= AE=2，∵EC=2，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C.又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°，∴∠C=30°=∠DAE，∴AD=CD;(2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°，∵AE=4，EC=2，∴AC=6.在Rt△AFC中，∠AFC=90°，∠C=30°，∴AF= AC=3.在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3，∴BF= =1，∴AB= = .六、(本题满分12分)21.解答：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM= AP=10海里，AM=AP cos30°=10 海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，∴AB=AM+BM=(10+10 )海里，∴BP= =10 海里，即小船到B码头的距离是10 海里，A、B两个码头间的距离是(10+10 )海里.七、(本题满分12分)22.解答：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，∴CO=AO tan60°=100 (米).设PE=x米，∵tan∠PAB= = ，∴AE=2x.在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，∵PF=CF，∴100+2x=100 ﹣x，解得x= (米)，答：电视塔OC高为100 米，点P的铅直高度为 (米).八、(本题满分14分)23.解答：(1)延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN= AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN= ×AB BN= ×4×8=16，∴S△ABM= S△ABN=8;∴△ABM的面积为8;(2)过点M作MK⊥BC，∵∠ABC=90°，∴MK∥AB，∴△NMK∽△NAB，∴ = = ，∴MK= AB=2，在Rt△ABN中，AN= = =4 ，∴BM= AN=2 ，在Rt△BKM中，sin∠MBC= = = ，∴∠MBC的正弦值为 .。

第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，=75°，则b的值为（）A.3B.C.4D.2、如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC＝100米，用测角仪测得∠ACP＝40°，则AP的长为（）A.100sin40°米B.100tan40°米C. 米D. 米3、某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（﹣1）米，则需要安装闪光灯（）A.79盏B.80盏C.81盏D.82盏4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=5、△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A. B. C. D.6、如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（）A. B. C. D.7、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A.6B.7C.8D.98、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=4，BD=2，则∠1的余弦值为（）A. B. C. D.9、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10、如图，在等腰中，，, 是上一点．若，那么的长为（）A.2B.C.D.111、如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，的值为（）A. &nbsp;B.C.D.12、在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为( )A. B. C. D.13、如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（）A.∠1=∠2=∠3B.∠1＜∠2＜∠3C.∠1=∠2＞∠3D.∠1＜∠2=∠314、如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（）A.sinα =B.cosα=C.tanα=D.tanα=215、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A. 8tan20°B.6cos15°C.8tan15°D.6cot15°二、填空题(共10题，共计30分)16、用科学计算器计算：8cos31°+=________17、如图，点A、点B是双曲线y＝上的两点，OA＝OB＝6，sin∠AOB＝，则k＝________.18、如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC＝4：5，则tan∠CFD＝________.19、实数tan45°，，0，﹣π，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是________个．20、如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是________m.（结果保留根号）21、如图，在△ABC中，CA =3， CB=4，AB= 5，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF 折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin ∠BED的值为________.22、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．23、计算：2sin60°+tan45°=________24、如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）25、计算：3tan30°+sin45°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣4 ﹣tan60°+| ﹣2|．27、如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）28、先化简，再求值：，其中a=2sin45°﹣tan30°，b=tan45°．29、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，CD的长为20 米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5（i为坡比即BE：AE），斜坡CD的坡度i＝1：2（i为坡比即CF：FD），求坝底宽AD的长．30、如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o 方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、D5、B6、A7、A8、D9、A11、A12、D13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。

第1章解直角三角形单元测试（B卷提升篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．sin A＝D．tan A＝2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．B．C．D．4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（）A．36 米B．18米C．72 米D．36米6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sin A＜sin B B．cos A＜cos B C．tan A＜tan B D．sin A＜cos A7．（3分）（2018秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°8．（3分）（2019•镇江模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C 的值为（）A．B．C．D．9．（3分）（2019•海港区校级自主招生）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2 D．310．（3分）（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan B＝．12．（4分）（2019•富顺县一模）在△ABC中，若，则△ABC是三角形．13．（4分）（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．14．（4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD 的值．15．（4分）（2019春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为．16．（4分）（2019•铜山区二模）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2009秋•祁阳县校级期中）（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．18．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，AC=3（1）求∠B的度数与AB的值；（2）求tan∠CDB．19．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D 点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．20. （10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB=2CF．（1）求sinA的值；（2）如果CD=5，求AE的值．21．（10分）（2019•锦州）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）22．（12分）（2019•嘉兴二模）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）23．（12分）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．第1章解直角三角形单元测试（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．sin A＝D．tan A＝【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【答案】解：∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，∴AC＝＝＝．sin A＝，cos A＝，tan A＝＝，只有选项D正确．故选：D．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【思路点拨】先判断出A的取值范围，再根据sin45°＝解答即可．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角．∵sin A＝，∴A＝45°．故选：B．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sin A＝＝＝，即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，cot A＝．4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【答案】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴tan55°＝＝，故选：B．【点睛】此题考查了考查仰角的定义，三角函数的定义，注意数形结合思想的应用．5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（）A．36 米B．18米C．72 米D．36米【思路点拨】求滑下的距离；设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【答案】解：如图，当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线．在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（x）2＝722．解得x＝36．即此人水平移动的距离为36米，故选：D．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解．6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sin A＜sin B B．cos A＜cos B C．tan A＜tan B D．sin A＜cos A【思路点拨】根据大角对大边定理以及三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：设∠A，∠B，∠C对应的边为a，b，c∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵sin A＝，sin B＝，cos A＝，cos B＝，∴sin A＞sin B，cos A＜cos B，故选：B．【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是熟练运用大角对大边定理，本题属于基础题型．7．（3分）（2018秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°【思路点拨】根据在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，可以得到∠A和∠ACD的度数，从而可以求得∠BDC的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，∴∠A＝30°，∠ACD＝45°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠BDC＝75°，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和角平分性的性质解答．8．（3分）（2019•镇江模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C 的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC＝10，求出BC，那么CD＝BC﹣BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tan C的值．【答案】解：∵在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝2，∠B＝30°，∴BD＝＝＝6．∵S△ABC＝BC•AD＝10，∴BC•2＝10，∴BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，∴tan C＝＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长. 9．（3分）（2019•海港区校级自主招生）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2 D．3【思路点拨】如图，作BH⊥AC于H．解直角三角形分别求出AH，CH即可．【答案】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵∠BHA＝90°，∴cos A＝＝＝，∴AH＝，BH＝＝，在Rt△CBH中，CH＝＝，∴AC＝AH+CH＝+＝3，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会解题常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．（3分）（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．【思路点拨】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD 置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．【答案】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴设DE＝CE＝1，则CD＝在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，则AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故选：D．【点睛】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan B＝．【思路点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理得到AC＝＝3x，根据正切函数的定义即可得到结论．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，勾股定理得AC＝＝3x，由正切等于对边比邻边，得tan B＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，正切函数的定义．12．（4分）（2019•富顺县一模）在△ABC中，若，则△ABC是等边三角形．【思路点拨】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出sin A＝，cos B＝，再利用特殊角的三角函数值求出答案．【答案】解：∵|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13．（4分）（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．【思路点拨】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．【答案】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．（4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．【思路点拨】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．【答案】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴===，∴CE=x，DE=x，∴AE=，∴tan∠CAD==，故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．15．（4分）（2019春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为．【思路点拨】过点D作DG⊥BC于点G，易求得AB＝AC＝13，AE＝6，BE＝CE＝5，然后利用中位线的性质即可求出DG＝6，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：过点D作DG⊥BC于点G，∵AB＝AC＝13，cos∠ABC＝，∴BE＝5，由勾股定理可知：AE＝12，∵AE⊥BC，∴BE＝EC＝5，∵D是AC的中点，DG∥AE，∴DG是△AEC的中位线，∴DG＝AE＝6，EG＝CE＝，∴BG＝，在Rt△BDG中，tan∠DBC＝＝，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．16．（4分）（2019•铜山区二模）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．【思路点拨】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2+BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．【答案】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，∴BE∥CD，∴∠AOD＝∠ABE．在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝，∵AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝90°，∴cos∠ABE＝＝＝，∴cos∠AOD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2009秋•祁阳县校级期中）（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．【思路点拨】（1）对已知条件分子分母同除以cosα即可求解；（2）根据已知条件可得sinα＝4cosα，代入式子求解即可．【答案】解：（1）分子分母同除以cosα，得＝2，去分母，得3tanα+3＝4tanα+2，解得tanα＝1；（2）∵tanα＝4，＝tanα，∴sinα＝4cosα，∴＝＝﹣13．【点睛】本题利用正弦、余弦与正切之间的关系tanα＝求解．18．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，AC=3（1）求∠B的度数与AB的值；（2）求tan∠CDB．【思路点拨】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=3，解得x=3，于是得到CE=3，AE=6，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=3，最后计算AE+BE得到AB的长，（2）利用CD为中线得到BD=AB=4.5，则DE=BD﹣BE=1.5，然后根据正切的定义求解．【答案】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，在Rt△ACE中，∵tanA==，∴AE=2x，∴AC==x，∴x=3，解得x=3，∴CE=3，AE=6，在Rt△BCE中，∵sinB=，∴∠B=45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE=CE=3，∴AB=AE+BE=9，答：∠B的度数为45°，AB的值为9；（2）∵CD为中线，∴BD=AB=4.5，∴DE=BD﹣BE=4.5﹣3=1.5，∴tan∠CDE===2，即tan∠CDB的值为2．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．19．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D 点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．【思路点拨】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．【答案】解：（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===10（米）；（2）在Rt△BCE中，CE=AD=10米，BE=CE•tanβ=10×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20（米）答：乙建筑物的高度DC为20m．【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的AD的长是解题的关键．20. （10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB=2CF．（1）求sinA的值；（2）如果CD=5，求AE的值．【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得到CD=AD，得到∠A=∠ACD，证明△EFC∽△CFB，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质求出AB，根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BE⊥CD，∴△EFC∽△CFB，∴===，∴CF=2EF，由勾股定理得，CE==EF，∴sin∠ACD==，∴sinA=；（2）∵CD=5，∴AB=10，∵sinA=，∴BC=2，由勾股定理得，AC=4，又EC=BC=，∴AE=3．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、锐角三角函数的概念，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（10分）（2019•锦州）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【思路点拨】过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．22．（12分）（2019•嘉兴二模）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）【思路点拨】（1）由题意CD＝CH，利用勾股定理求出CH即可．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．解直角三角形求出CK，PK，DN即可判断．【答案】解：（1）由题意CD＝CH，在Rt△ACH中，CH＝＝2≈12.2（cm）．∴CD＝CH＝12.6（cm）．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．在Rt△ECK中，EK＝EC•sin53°≈4（cm），CK＝EC•cos53°≈3（cm），在Rt△EPK中，PK＝＝＝2≈4.48（cm），∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（12分）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．【思路点拨】（1）只要证明∠CBG=∠CDE，即可用ASA证明△BCG≌△DCE．（2）利用勾股定理分别在RT△DHG，RT△BHG中，求出BH，HG即可解决．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCE=90°，BC=CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG=∠BCG=90°，∵∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE，（2）解：∵△BCG≌△DCE，∴CG=CE，∵BE=BC+CE=4，DG=CD﹣CG=2，∴BC=CD=3，CG=CE=，在RT△BDC中，∵∠BCD=90°，∴BD===6，过点G作GH⊥BD垂足为H，∵∠DHG=45°，∠DHG=90°，DG=2，∴=，∴DH=2，∴GH=DH=2，∵BD=BH﹣DH，∴BH=6﹣2=4，在RT△BHG中，∵∠BHG=90°，∴tan∠DBG=，∴tan∠DBG=．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用线段和差关系求出线段BC，CG是解题的关键．。