高三第一轮复习数学---一元二次不等式的解法
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高三第一轮复习数学---一元二次不等式的解法
一、教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三
者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．
二、教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法．
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、 二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。
（见P20）
2、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。
（见P21~22）
3、解一元二次不等式的步骤：
（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax
(2)解方程02
=++c bx ax
(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。
4、简单分式不等式的解法 ()()()
()()001>⋅⇔>x g x f x g x f ()()()
()()002<⋅⇔<x g x f x g x f ()()()()()()⎩
⎨⎧≠≥⋅⇔≥0003x g x g x f x g x f ()()()()()()⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0
003x g x g x f x g x f 5、简单的高次不等式的解法：用数轴标根法解。
（二）主要方法：
1．解一元二次不等式通常先将不等式化为2
0ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；
2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；
3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．
（三）例题分析：
例1、解下列不等式
（1）2
60x x --<；
（2）23100x x -++<； （3）
(1)(2)0(2)(1)
x x x x x +-≥+-． 解：（1）23x -<<；
（2） 5 2x or x ><-；
（3）原不等式可化为
(1)(2)(2)(1)02 1 0 1 2(2)(1)0x x x x x x or x or x x x +-+-≥⎧⇒-<≤-≤<≥⎨+-≠⎩
．
()11
242≥---x x x （答案为{}21121+≥<≤-x x x 或） 例2、已知不等式02>++c bx ax 的解集为{}32<<x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集。
解：由题6,5,0==-
<a c a b a ，所以0<c 且3
1,21是方程02=++a bx cx 的解 所以不等式02<++a bx cx 的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<>3121x x x 或。
例3、已知2()2(2)4f x x a x =+-+，
（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．
解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；
（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩
， 解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2
-． 例4、已知抛物线()()()R m x m x m y ∈--+-=1212
（1）当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点。
（2）若关于x 的方程()()01212=--+-x m x m 的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围。
（3）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且ABC S ∆的面积等于2，试确定m 的值。
练习：关于x 的方程023222=---k x kx 的两根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围。
(答案为：{}
40-<>k k k 或)
说明：一般地，设二次方程ax 2+bx+c=0的两个实根一个大于m 且另一个小于m,则有a ×f(x)<0(其中：f(x)= ax 2+bx+c).
例5．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤，
（1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围；
（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．
解：{|12}A x x =≤≤，
当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤．
（1）若A B ⊂≠，则122
a a a >⎧⇒>⎨
>⎩； （2）若B A ⊆，
当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意． 所以，a 的取值范围为[1,2)．
（四）巩固练习：
1．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是(2,2]-．
2．若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．
3．关于x 的方程2(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数，则m 的取值范围为3(,](0,1)(1,)2
-∞-+∞ ． 4．不等式2(1)(2)0(4)
x x x x +-≥+的解集为(,4)(0,2] 1or x -∞-=- ．
四、小结：
1、解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小。
2、二次不等式的解集有两种特殊情况，即Φ和R ，对其中的各种情况应理解。
3、当二次项系数含有系数时，不能忽略二次项系数为零的情形。
4、关于一元两次方程的根的范围问题，可设出对应的二次函数，用根的分布解决。
5、解简单的分式不等式要注意首先要将不等式一边化为0，一边分解因式，然后再转化为整式不等式用数轴标根法求解。
五、作业：。
