承诺书
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一个飞行管理
摘要
高空正方形区域内的若干架飞机作水平飞行，每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。如果会碰撞，则应计算如何调整各架飞机飞行的方向角，以避免飞机飞行过程中发生碰撞。
本题要求通过调整飞机飞行方向角调整的幅度，对飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，通过对区域内每架飞机的位置和速度向量计算，解决飞机飞行方向角调整幅度的优化问题。
针对此问题，我们采用非线性规划的方法，建立单目标函数，让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于飞行管理所以在飞机飞行过程中要适当调整各架飞机的方向角（调整角度要尽量小），题目要求不发生碰撞，本文以飞机的空中距离要大于8km为突破口，t时刻后的飞机为研究对象在通过空间两点的距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，从而判断根的取值。
当0
?<时，说明方程无解，即两飞机不会相碰。相反若0
?≥时说明方程有解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定的区域内（00.283
t h
<<）。若不再范围内则两飞机不会相碰，若在规定的范围内则会发生碰撞，对此要调整个飞机的方向角来避免碰撞的发生，方向角要在30度以内，对应的解有很多，因此我们要求出相应的最优解，应当调整一架飞机的方向角后进行模型检验，判断该飞机会不会与其他飞机相撞。在保证不发生撞击的情况下，通过非线性约束条件使得目
标函数
6
1i
i
α=
?
∑（方向角调整的幅度之和）最小。
利用lingo编程，对目标函数进行求解，得到的最优结果：
认为本文对研究的飞机飞行方向角调整幅度优化问题有一定的利用价值。关键字：数学模型；优化问题；非线性规划；单目标函数；
一、问题重述
在约10000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。以避免碰撞。现假定条件如下：
1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里
2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度
3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上
5）最多需要考虑6架飞机
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。（飞机的飞行坐标及其初始飞行角度见附录一）。
二、符号说明
三、模型假设
（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里。 （2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。 （3）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上。
（4）假设所有飞机飞行速度均为每小时800公里。 （5）假设不必考虑飞机离开区域后的情况。
（6）假设飞机进入控制区后完全听从地面控制台的指令，未收到指令，飞机不会调整角度。
（7）假设计算机从记录新进入飞机数据给飞机发指令的时间很短。 （8）假设飞机收到指令后可以认为立即调整好角度，而不是多次调整。
四、问题分析
目标函数分析：本文根据对模型建立的要求，把目标函数确定为个飞机飞行方向角幅度变化的平方和，以排除方向角变化幅度的正负号干扰问题，在保证任意两架飞机不相撞的情况下，使各架飞机调整的角度和最小。
不相撞条件分析：飞机相距不小于8千米时才不相撞，而且是在平面区域上考虑问题， 我们拟采用以t 时刻后的飞机为研究对象再通过空间两点的距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，再根据对根的判断进行取值。
我们对一元二次不等式进行初步分析，并打算拟max t 为飞机在正方形区域沿对角线飞行的时间，对时间t 进行加强处理，在区域[0，max t ]内求解一元二次方程根的分布问题。我们打算分三种情况求解，（1）当max 0t t <<时，要求0?≤，才能满足不相撞条件；(2)当02b a -
≤时，需满足(0)0f ≥；(3)当max 2b
t a
-≤时，需满足max ()0f t ≥，才能保证任意两架飞机相距不小于8千米。然后保证飞机方向角幅度的调整在30O 范围内，从而对目标函数加以限制，得到最优解。 但是这种理想化简化处理，保证了飞机的飞行位置坐标(,)x y ，以及方向角随时间的变化关系，很好的实现了动态求解，降低了非线性处理问题的难度，在t
满足可行域内实现了最优化解。与此同时理想化的处理中也忽略了很多关键因素，拉大了与实际飞行问题的差距。
五、模型的建立与求解
5.1模型准备：
6架飞机边长160公里的正方形区域内飞行，当0t =时刻六架飞机的飞行状态：
（红色表示飞机的飞行方向） 5.2模型的建立与求解；
两架飞机i ，j 不发生碰撞的条件为
22max (()())(()())64
15,16,00.283(0.283)
i j i i x t x t y t y t i i j t t h -+->≤≤+≤≤≤≤=当飞机飞行对角线的时间
其中,i j T T 分别表示第i ，j 架飞机飞出正方形区域边界的时刻。这里
()(0)cos ,()(0)sin ,1,26;
(0),||1,26;
6
i i i i i i i i i i x t x vt y t y vt i i ααπ
αααα=+=+==+??≤= ，
把以上公式带入不发生碰撞的约束条件，加强未对所有的时间t 都成立，记
222(()())(()())64(,)(,)(,)t i j i i Q x t x t y t y t a
i j t b i j t c i j =-+--=++ 其中 22
(,)4sin ,2
i i
a
i j v αα-=
(,)2[((0)(0))(cos cos )((0)(0))(sin sin )i j i j i j i j b i j a x x y y αααα=--+-- 22(,)((0)(0))((0)(0))64i j i j
c i j x x y y =-+-- 求解一元二次方程;对于方程的根，我们做以下三种情况的讨论：
情况一：当抛物线开口向上，(0,0.283)t ∈,为了避免撞机，只要满足(,)0i j ?<即可。
2(,)(,)4(,)(,)0i j b
i j a i j c i j ?=->
情况二：当(000,(,)0t t i j Q =<
）b (i,j)时，只要满足
且>0即可-2a(i,j)
避免撞机
2(,)(,)4(,)(,)0i j b
i j a i j c i j ?=-> 情况三max max max (),(,)0t t t t t i j Q =>>?>
b (i,j)=0.283h 时，只要满足
且>0即可-2a(i,j)
避免
撞机
2(,)(,)4(,)(,)0i j b
i j a i j c i j ?=-> 这样我们建立如下的非线性规划模型：
6
2
min ()(,)0,15,16.||1,266i i i
i i j i i j s t i απ
α=??<≤≤+≤≤????≤=??
∑ 目标函数：，
利用lingo 求的最优解：6架飞机的飞行角度调整如下：
356min || 4.12003i a αααO ?=?+?+?=∑
六、模型的评价
6.1 模型的优点：
本文给出了区域内任何位置、方向6架以内飞机的调整对策，如果飞机在规定域内飞行，则可实现及时调整飞行线路，避免发生撞机的可能，具有计算时间短，精度高，灵活性高等特点。为了完善优化模型，本文还采用了非线性处理模型，目标加强转化等诸多方法。使得模型逐渐趋于现实情形。为实际的飞行管理提供了有力的参考依据。 6.2 模型的不足：
在模型性的处理中，为了便于计算，我们忽略了飞机的转向时间。但在实际的
飞行问题中这一因素是不容忽略的。其次是当飞机数目增多时，非线性规划的规模增大，导致计算量的上升，给问题的处理带来很大的麻烦。最关键的一点：本文假定：为了避免撞机，6架飞机在飞行区域内只能调整一次航向，虽然这样大大减少了数据的处理量，但在实际生活中这种情况这中理想化的模型是不存在的。
6.3模型的改进：
本文应该在简化模型的同时，应该把飞机的转向时间、飞机的转向次数、等因素纳入实际模型的构建中。其次非线性处理中只是得到一个最优解。至于这个解是局部的还是整体的，很难确定。所以应对模型处理结果进行检验。最后，飞机的转弯是曲线，需要一定的时间，非线性规划比线性规划时间略长，还有忽略了空间高度的影响，推广：采用球型模型和相对速度出来该类问题会更好。
参考文献
[1] 张丽华，周永芳，数学建模，北京：科学出版社，2010.12。
[2] 王孝良，戴永红，周义仓，数学建模竞赛赛题简析与论文点评，西安交通大学出版社，2002.5。
[3] 杜红，应用运筹学，浙江大学出版社，2009.12。
[4] 王正林，刘明编著，精通MATLAB（升级版），电子工业大学出版社，2006.4。
[5]刘卫国，lingo程序设计与应用，科学出版社，2010.7.
附录一：
model:
sets:
row/1..6/;
col/1..6/:A,B,V00,V11;
matrix(row,col):G,H,V0,V1,X,Y;
endsets
min=@sum(col:(B-A)^2);
@for(col:@bnd(A-0.5236,B,A+0.5236));
@for(col:V00=800*@cos(B));
@for(col:V11=800*@sin(B));
@for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:V0(i,j)=V00(i)-V00(j)));
@for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:V1(i,j)=V11(i)-V11(j)));
@for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:(@cos(H(i,j)))^2*(V0(i,j)^2+V1(i,j)^2) *(X(i,j)^2
+Y(i,j)^2)=(V0(i,j)*X(i,j)+V1(i,j)*Y(i,j))^2));
@for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:@bnd(0,H(i,j),3.14159)));
@for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:H(i,j)>=G(i,j)));
@for(row(i):@for(col(j)|i#EQ#j:H(i,j)=0));
@for(row(i):@for(col(j)|i#EQ#j:V0(i,j)=0));
@for(row(i):@for(col(j)|i#EQ#j:V1(i,j)=0));
@for(row(i):@for(col(j):@free(V1(i,j))));
@for(row(i):@for(col(j):@free(V0(i,j))));
@for(row(i):@for(col(j):@free(X(i,j))));
@for(row(i):@for(col(j):@free(Y(i,j))));
@for(col:@free(V00));
@for(col:@free(V11));
data:
A=4.2410 4.1189 3.8483 2.7750 4.0141 0.9075;
X=
0 65 0 5 20 150
-65 0 -65 -60 -45 85
0 65 0 5 20 150
-5 60 -5 0 15 145
-20 45 -20 -15 0 130
-150 -85 -150 -145 -130 0;
Y=
0 55 -15 90 -10 140
-55 0 -70 35 -65 85
15 70 0 105 5 155
-90 -35 -105 0 -100 50
10 65 -5 100 0 150
-140 -85 -155 -50 -150 0;
G=
0 0.0941 0.5625 0.0889 0.3659
0.0390
0.0941 0 0.0838 0.1154 0.1014
0.0666
0.5625 0.0838 0 0.0762 0.3985
0.0371
0.0889 0.1154 0.0762 0 0.0792
0.0522
0.3659 0.1014 0.3985 0.0792 0
0.0403
0.0390 0.0666 0.0371 0.0522 0.0403 0; enddata
end