三角恒等变形同角三角函数的基本关系(含解析)
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三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
例题：已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sin B＋cos B，cos C)，ON→＝(sin C，sin B－cos B)，OM→·ON→＝－15.
(1)求tan 2A的值；
(2)求2cos2A2－3sin A－12sinA＋π4的值．
解：(1)∵OM→·ON→＝(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－15，
∴sin A＋cos A＝－15，①
两边平方并整理得：2sin Acos A＝－2425，
∵－2425<0，∴A∈(π2，π)，
∴sin A－cos A＝1－2sin Acos A＝75.②
联立①②得：sin A＝35，cos A＝－45，
∴tan A＝－34，
∴tan 2A＝2tan A1－tan2A＝－321－916＝－247.
(2)∵tan A＝－34，
∴2cos2 A2－3sin A－12sinA＋π4＝cos A－3sin Acos A＋sin A＝1－3tan A1＋tan A
＝1－3×－341＋－34＝13.
A组
1．已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．
解析：∵α、β均为锐角，∴－π2
∵sinα＝55，∴cosα＝ 1－(55)2＝255.
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.
∵0
2．已知0
解析：∵0
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－2425
3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝31－3＝－32.答案：－32
4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是___．
解析：由已知得32cosα＋12sinα＋sinα＝453，即12cosα＋32sinα＝45，
得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－45
5．(原创题)定义运算a*b＝a2－ab－b2，则sinπ12*cosπ12＝________.
解析：sinπ12*cosπ12＝sin2π12－sinπ12cosπ12－cos2π12＝－(cos2π12－sin2π12)－12×2sinπ12cosπ12＝－cosπ6－12sinπ6＝－1＋234.答案：－1＋234
6．已知α∈(π2，π)，且sinα2＋cosα2＝62.
(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值．
解：(1)因为sinα2＋cosα2＝62，两边同时平方得sinα＝12.
又π2
(2)因为π2
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.
B组
1.cos2α1＋sin2α·1＋tanα1－tanα的值为________．
解析：cos2α1＋sin2α·1＋tanα1－tanα＝cos2α－sin2α(sinα＋cosα)2·1＋tanα1－tanα
＝cosα－sinαsinα＋cosα·1＋tanα1－tanα＝1－tanα1＋tanα·1＋tanα1－tanα＝1.
2．已知cos(π4＋x)＝35，则sin2x－2sin2x1－tanx的值为________．
解析：∵cos(π4＋x)＝35，∴cosx－sinx＝352，
∴1－sin2x＝1825，sin2x＝725，∴sin2x－2sin2x1－tanx＝2sinx(cosx－sinx)cosx－sinxcosx＝sin2x＝725.
3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tanα＝________.
解析：cos(α＋π3)＝cosαcosπ3－sinαsinπ3＝12cosα－32sinα，sin(α－π3)
＝sinαcosπ3－cosαsinπ3＝12sinα－32cosα，
由已知得：(12＋32)sinα＝(12＋32)cosα，tanα＝1.
4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.
解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.
∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]
＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，
即sin(α＋β)＝5665.
5．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．
解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.
6．已知角α在第一象限，且cosα＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________.
解析：∵α在第一象限，且cosα＝35，∴sinα＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cosα＝2cos2α＋2sinαcosαcosα＝2(sinα＋cosα)＝2(45＋35)＝145.
7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(π2，π)，若a·b＝25，则tan(α＋π4)的值为________．
解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝25，∴sinα＝35，又α∈(π2，π)，∴cosα＝－45，tanα＝－34，∴tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17.
8.tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°的值为______．
解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°＝3，
故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33.
9．已知角α的终边经过点A(－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________．
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cosα＝－2.
10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°
＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°
＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°
＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°
＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2.
11．已知向量m＝(2cosx2，1)，n＝(sinx2，1)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1.
(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝513，f(B)＝35，求f(C)的值．
解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cosx2，1)·(sinx2，1)－1＝2cosx2sinx2＋1－1＝sinx.
∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1,1]．
(2)∵f(A)＝513，f(B)＝35，∴sinA＝513，sinB＝35.
∵A，B都为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝1213，cosB＝1－sin2B＝45.
∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝513×45＋1213×35＝5665.∴f(C)的值为5665.
12．(2010年南京调研)已知：0
(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ＝22cosβ＋22sinβ＝13，
∴cosβ＋sinβ＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.
法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos2(β－π4)－1＝－79.
(2)∵00，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.
∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)
＝－35×13＋45×223＝82－315.
