人教版高中数学必修四导学案：3.1.3两角和与差的正切Word版

绍兴市柯桥区高中数学学科导学案

高一数学（必修四）第 1 页 共 4 页 《必修4》第三章 三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式单元小结

【学习目标】

1.熟练掌握两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式。

2.能熟练运用以上公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用。

【复习回忆】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sinα±π4.

4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；

必修4第三章三角恒等变形

第3课时两角和与差的正切

【考点要求】运用两角和与差的正切公式，解决相关数学问题

【教学目标】理解两角和与差的正切公式的推导过程，熟记并灵活运用两角和与差的正切公式

1、通读教材P121-P122页内容，对概念、关键词等进行梳理，做好必要的标注和笔记。

2、看洋葱视频，完成金版新学案P34《自主学习 新知突破》知识点及自主练习部分

3.知识梳理

（1）两角和的正切公式 -Ttan+=：（）

（2）两角差的正切公式 +Ttan-=：（）

对于两角和差的正切公式T（）要特别注意，的取值范围

预习

（1）两角和差的正切公式的推导

（2））求tan15°，tan75°的函数值

基础知识过关

重难点过关 1tan=2tan=-,.322(1)tan-2+已知，，其中0<

例1：求值

tan71-tan2611+tan71tan26（） 1-tan751+tan75（2）

变式训练1：

tan12-tan3311-tan12tan33（） 1-3tan753+tan75（2）

例2：

.

11tan=tan=+.32已知，为锐角，，，求2tantan-6=0tan+tan-xx已知，是方程+5的两根，求，（）和（）的值2tantan3+4=0-+2xx已知，是方程+3的两根，且，（,0）求的值

变式训练2．

例3：

变式训练3：

20213人教A版

第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

知 识 梳 理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。

tan(α±β)＝错误!。

2。二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

tan 2α＝错误!。

3.函数f（α）＝asin α＋bcos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.

[常用结论与微点提醒]

1。tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。 20213人教A版

2。cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，

sin α±cos α＝错误!sin错误!。

诊 断 自 测

1。判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ）

(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（ )

（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β

＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。（ ) （4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。( ）

第三章 三角恒等变换

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

自主学习

知识梳理

1.如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A点坐标是________________，B点坐标是______________，向量OA→＝______________，向量OB→＝______________.OA→·OB→＝______________.另一方面OA→·OB→＝|OA→| ·|OB→|·cos∠AOB＝____________.

2．两角差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.

自主探究

灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．

对点讲练

知识点一 给角求值

例1 求下列各式的值．

(1)sin 195°＋cos 105°；

(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．

回顾归纳 (1)公式C(α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；

(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，„)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．

变式训练1 求下列各式的值．

(1)cosπ12；

(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．

知识点二 给值求值

例2 设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cos α＋β2.