大庆市2017届高三第三次教学质量(三模)数学试题(理)含答案

1 黑龙江省大庆市2017届高三第三次教学质量检测（三模）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2|02,N,|450,NAyyyBxxxx，则AB （ ）

A．1 B．0,1 C．0,2 D．

2. 已知复数34iz12i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 设nS为等差数列na的前n项和，若201720172017aS，则首项1a（ ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017

4. 在区间0,1内随机取两个数分别为,ab，则使得方程2220xaxb有实根的概率为（ ）

A．14 B．25 C.13 D．12

5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n（ ）

A．3 B．2 C.4 D．5

6. 给出下列四个命题：①若xAB，则xA或xB；

②2x,都有22xx；

③若,ab是实数，则ab是22ab的充分不必要条件；

2 ④“2000R,23xxx” 的否定是“2R,23xxx” ；

其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C.3 D．4

7.已知等比数列na的公比2210.1,6nnnqaaaa，则na的前4项和4S（ ）

A．152 B．152 C.15 D．30

8. 函数sinfxx（其中2）的图象如图所示，为了得到singxx的图象，只需将fx的图象（ ）

A．向右平移12个单位长度 B．向左平移12个单位长度

C. 向左平移6个单位长度 D．向右平移6个单位长度

9. 在平行四边形ABCD中，2133,5,,,cos335ADABAEADBFBCA，则EF（ ）

A．14 B．25 C. 42 D．211

10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．272 B．27 C.272 D．273

11. 已知点2,FP分别为双曲线222210,0xyabab的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2222,OMOPOFOFFM，且2222cOFFM，则该双曲线的离心率为（ ）

3 A．23 B．32 C.3 D．312

12. 设函数322lnfxxexmxx，记fxgxx，若函数gx至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）

A．21,ee B．210,ee

C. 21e,e D．2211e,eee

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知02sincos22xxadx，则a ．

14. 不等式组031xxyyx表示的平面区域为，直线1ykx与区域有公共点，则实数k的取值范围为 ．

15. 某校高三年级要从5名男主和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ．

16. 巳知函数fx是定义在R上的奇函数，且当0,x时，都有不等式'0fxxfx成立，若0.20.244441144,log3log3,loglog1616afbfcf，则,,abc的大小关系是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,且coscos23sin3sinBCAbcC.

（1）求b的值；

（2）若cos3sin2BB,求ac的取值范围.

18. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动.

（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；

（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖

4 金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是14，请问: 商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

19. 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD, ABCD是直角梯形，,ABADABCD，且222,ABADCDE是PB的中点.

（1）求证: 平面EAC平面PBC；

（2）若二面角PACE的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率1e2，且椭圆过点31,2.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆左、右焦点分别为12,FF，过2F的直线l与椭圆交于不同的两点,AB，则1FAB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

21. 已知函数22lnfxxxax.

（1）当5a时，求fx的单调区间；

（2）设1122,,,AxyBxy是曲线yfx图象上的两个相异的点，若直线AB的斜率1k恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设函数fx有两个极值点1212,,xxxx且2ex,若12fxfxm恒成立，求实数m的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

将圆2cos(2sinxy为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C.

（1）求出C的普通方程；

（2）设直线:220lxy与C的交点为12,PP，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

5 求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数3fxxx.

（1）解关于x的不等式5fxx；

（2）设,|mnyyfx，试比较4mn与2mn的大小.

理科数学 参考答案：(请各位阅卷教师核对答案和评分标准后，再开始阅卷）

一．BABDC BADBD DA

二．13．2 14．,3 15．53 16． bac

17．解：

（1）由CAcCbBsin3sin32coscos，

应用余弦定理，可得

caabccbaabcbca33222222222

化简得32b则23b

（2）2sin3cosBB

1sin23cos21BB即1)6sin(B

),0(B26ππB 所以3πB

6 法一.1sin2BbR,

则CAcasinsin

=)32sin(sinAA

=AAcos23sin23

=)6sin(3A

又,320A323ca

得acca3)(432，

又因为2)2(caac，当且仅当ca时“”成立。

所以acca3)(4324)()2(3)(222cacaca

3ca又由三边关系定理可知23bca

综上3,23ca

18．解：⑴设选出的3 种商品中至少有一种是家电为事件A，从2 种服装、3 种家电、4 种日用品中，选出3 种商品，一共有39C种不同的选法，

选出的3 种商品中，没有家电的选法有36C种，

所以，选出的3 种商品中至少有一种是家电的概率为211621511)(3936CCAP

⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为0，n，n3，n6.（单元：元），

0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以6427)411()41()0(3003CP，

同理6427)411()41()(2113CnP;

649)411()41()3(223CnP;

641)411()41()6(0333CnP;

顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

7 161564166493642764270nnnnE，

由601615n，解得64n，

所以n最高定为64元，才能使促销方案对商场有利.

19.解： （1）PC平面,ABCDAC平面,ABCDACPC ,

2,1,2ABADCDACBC ，

222,ACBCABACBC，∴AC又,BCPCCAC平面PBC，AC

平面,EAC平面EAC平面PBC．

(2)如图，以C 为原点，(CMM为AB中点）、