黑龙江省大庆第一中学高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B.2．已知集合{(){}2,log 2M xy N x y x ====-∣∣ ，则MN =（ ）A ．[]0,1B ．[)1,2C ．[]1,2D ．[)0,2【答案】B【解析】化简集合M 和集合N ，根据集合的交集计算即可. 【详解】由10x -≥得1x ≥ ，所以[1,)M =+∞，由20x ->得2x <，所以(,2)N =-∞， 故[1,2)MN =，所以选B.【点睛】本题主要考查了集合的概念，集合的交集运算，涉及函数定义域的相关知识，属于中档题.3．已知双曲线222:12x y C a a-=-，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2-C ．1 或2-D ．1-【答案】C【解析】分析：可用排除法，验证1a =与2a =-是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当1a =时，22212x y a a-=-化为221x y -=，离心率为1=当2a =-时，22212x y a a -=-化为22122y x -=，=，符合题意, a 的值为1,2-，故选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.4．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．13【答案】A【解析】根据框图，结合条件分支结构和循环结构，即可求出结果. 【详解】第一次执行程序后，1,1,1,1i t S P ====，第二次执行程序后，2,1,2,1i t S P ====，第三次执行程序后3,2,3,2i t S P ====，第四次执行程序后4,3,5,3i t S P ====，因为44<不成立，跳出循环，输出5S =，故选A. 【点睛】本题主要考查了框图，涉计循环结构和条件分支结构，属于中档题.5．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】根据等差数列的性质可知2017201920182a a a +=，代入方程可求出2018a ，再根据等比数列的性质2201720192018=b b a ⋅ 即可代入()220172019log b b ⋅求解.【详解】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以2220172018201920182018224=0a a a a a -+=-，因为各项不为零，所以2018=4a ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2201720192018==16b b a ⋅所以()2201720192log =log 16=4b b ⋅，故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列中，当m n p q +=+时，m n p q a a a a +=+，等比数列中，当m n p q +=+时，m n p q b b b b ⋅=⋅，属于中档题.6．若设sin a xdx π=⎰，则6⎛⎝的展开式中的常数项是（ ）A ．160-B ．160C ．20-D ．20【答案】A【解析】ππa sinxdx cos |2==-=⎰,所以66⎛⎛= ⎝⎝展开式的通项为：663166((1)2r rr rr r r r T C C x ---+==- ，令3r = ，常数项是3336(1)2160C -=-，故选A.7．已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A ．14B ．13C ．47D ．49【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率， 以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于122ABPSAB h h =⨯=， 则三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是()41643133⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯. 故选D.8．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ）A ．()2ln xf x x=B ．()2ln x f x x=C ．()211f x x =- D ．()11f x x x=-【答案】B【解析】对于A ，()2ln xf x x=为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，()211f x x =-在()1∞+，上单调递减，不符合题意； 对于D ，()11f x x x=-在()1∞+，上单调递减，不符合题意；故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．9．已知奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，若当()1,1x ∈-时，()1lg 1xf x x+=-，且()20181f a -=，则实数a 的值可以是（ ） A ．47.0810-⨯ B ．911 C ．911-D ．119-【答案】C【解析】根据奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知函数周期4T =，因此()2018()1f a f a -=-=，当()1,1x ∈-时，令()1lg=11x f x x+=-，可得911x =，故可得a 的可能取值. 【详解】由()()11f x f x +=-可得()()2f x f x =-，因为()f x 为奇函数， 所以()()2()f x f x f x -=+=-，故()()4f x f x =+，函数周期为4T =， 所以()2018()1f a f a -=-=， 当()1,1x ∈-时，令()1lg =11x f x x +=-，可得911x =，所以911a -=可以，即911a =-，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性，属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆：若1()(),()()f x f x a f x f x -=+-=可知函数的周期2T a =， 若()()1f x a f a +=-，可知函数对称轴x a =. 10．下列命题正确的个数是（ ）（1）“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期是π”的充分不必要条件是“1a = ”；（2）设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x = 的定义域是R 且为奇函数的所有a 的值为1,1,3-;（3）已知函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，则0a ≥. A ．1 B ．2 C ．3. D ．0【答案】B【解析】根据给出的命题，逐个分析即可. 【详解】（1）因为22cos sin cos 2y ax ax ax =-=，所以最小正周期=||T a ππ=，所以1a =±，所以1a =是充分不必要条件正确；（2）因为a y x = 的定义域是R ，所以1a ≠-，故所有a 的值为1,1,3-错误； （3）因为函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，所以()0f x '≥恒成立，即20ax+≥恒成立，由2,0a x x ≥->恒成立可知0a ≥，命题正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件，函数的定义域、奇偶性，利用导数确定函数的增减性及恒成立问题，属于中档题.11．在ABC ∆中，239,AB AC AC AB AC ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++ 取得最小值时，PA BC ⋅= ( ) A ．24- B ．26 C ．92D ．24【答案】D【解析】2AC AB AC ⋅=以C 为坐标原点，直线CB,CA 分别为x,y 轴建立直角坐标系，则(0,3),A B ，设),,(y x P 222PA PB PC ++22222222=(3)(62)3(3(1)54x y x y x y x y +-+-+++=-+-+当1x y ==时222PA PB PC ++取得最小值，PA BC ⋅=(2)(24-⋅-=，选D.点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.12．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()1k x f x -<对任意的>1x ，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】因为()f x x xlnx =+，若k Z ∈，且()()k x 1f x -<对任意的x 1>恒成立， 即(1)ln k x x x x -<+ ，因为1>x 即ln 1x x xk x +<- ，对任意x 1>恒成立，令ln ()1x x x g x x +=-，则'2ln 2()(1)x x g x x --=- 令()ln 2(1)h x x x x =--> ，则()1110x h x x x='-=-> 所以函数()h x 在(1,)+∞ 上单调递增.因为(3)1ln30,(4)22ln 20h h =-<=->所以方程0)(=x h 在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足)4,3(0∈x当01x x << 时，()0h x < ，即'()0g x < ，当0x x > 时，()0h x > ，即'()0g x >所以函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1.)x 上单调递减，在0(,)x +∞ 上单调递增所以00min 000(12)()()(3,4)1x x g x g x x x +-===∈-所以=所以0min )(x x g k =< ，因为)4,3(0∈x ，故整数k 的最大值为3 ，故选B. 点睛：不等式恒成立问题常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.二、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________ 【答案】0.76【解析】由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ,则曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<， 则()()204240.76P P X X <=<<<= 故答案为：0.76． 【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示；正态曲线的主要性质是：（1）正态曲线关于x μ=对称；（2）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.14．已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______【答案】( 【解析】由过点P 可作圆的两条切线知，点P 在圆的外部，根据点与圆的位置关系可得关于k 的不等式，结合22220x y kx y k ++++=为圆的一般方程，可知k 满足的不等式，联立即可求解. 【详解】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得k <<, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知33k -<<.故k的取值范围是(33-.【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系的应用，圆的一般方程，圆的切线的条数，属于中档题.15．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若521212f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为_______ 【答案】5ππ(π,π),1212k k k -+∈Z 【解析】因为π5π2111212f f ⎛⎫⎛⎫--==--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（），所以()12(),1262f k k Z πππϕπ=∴+=+∈ 所以=+2()()sin(2+2)sin(2)333k k Z f x x k x πππϕππ∈∴=+=+，由52(2,2)()(,)()3221212x k k k Z x k k k Z πππππππππ+∈-++∈⇒∈-++∈得单调增区间为5πππ,π,1212k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间 16．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*111222,>2,3n n n n T T T T n N n a --+=∈=. 若1n n nb a a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S 为________． 【答案】11222n n -++ 【解析】1122n n n n T T T T --+=111113112(1)22222n n n n n n T T T T n --⇒-=⇒=+-=⇒=+11131(2),1,222n n n n T n n a n n a a T n n -++==≥==∴=++ 21111122121222n n n n b S n n n n n n ++∴=+=-+∴=-++++++ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.三、解答题17．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。
