勾股定理

园老师吐血刷题200道整理

天行健，君子以自强不息！ 这一节我们学习了勾股定理，俗话说，学好勾股，四个境界！哪四个境界呢，我

们一起来看一看。

第一层境界：知道勾股定理及逆定理，并且知道如何证明。（勾股定理我们学了五

种证明方法：内弦图，外弦图，总统法，火柴盒法，欧几里得证法，至少要会两

种，逆定理证明过程，不会的赶紧翻书看一看哦！）

1. 勾股定理

如果直接三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c，那么

2. 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长为a,b,c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。

有兴趣的同学不防看看以下图形怎么证明勾股定理呢？第一个是欧几里得证法，

第二个是邹元治证法，第三个是赵爽证法。当然还有其他证法，有兴趣的同学可以去研究一下。

常用勾股数：（3、4、5）

，（5、12、13），（7、24、25），（8、15、17），

（6、8、10），（9、40、41）

直角三角形中边角关系：

特殊直角三角形（30,60,90

），他们之间边对应的比例关系是：13:2：

特殊直角三角形（45,45,90），他们之间对应边的比例关系是：1:12：

记住几句话：（1）直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

（2）直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半

知识点： 222

abc

222

abc

园老师吐血刷题200道整理

天行健，君子以自强不息！ 直角三角形的性质：

（1） 有一个角是直角；

（2） 两锐角互余；

（3）三边满足勾股定理；

（4）斜边上的中线等于斜边的一半；

（5）30所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，若直角边

为a,b，斜边为c，斜边上的高为h，则ab=ch。

第二层境界：会使用勾股定理解决实际问题。（不就是做题嘛，俗话说熟能生巧，

同学们赶紧刷起来！）

第三层境界：错题整理，总结出易错点。（园老师曰：题不二错，必成学霸！）

1. 一直角三角形的两边长是3和5，则第三边边长的平方是______

．

【答案】34或16

2. 已知直角三角形的两边长x

、y

满足22

4560xyy，则第三边长为______ 【答案】

22或

13或

5

3. 已知直角三角形的两边长x

、y

满足22

4560xyy，则第三边长为______

【答案】

22

或

13

或

5

4. 下列说法正确的是（ ）

A

．若a

、b、c

是ABC△的三边，则222

abc

B

．若a

、b、c

是RtABC△的三边，则222

abc

C

．若a

、b、c

是RtABC△的三边，90C，则222

abc

D

．若a

、b、c

是RtABC△的三边，90A，则222

abc

5. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）

A

．钝角三角形 B

．直角三角形 C

．锐角三角形 D

．等腰三角形

【答案】B

6. 把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4倍，则其斜边扩大到原来的（ ）倍，所

得的三角形仍为直角三角形

A

．2 B

．4 C

．8 D

．16

【答案】B

7. 在RtABC△中，90C，周长为60

，斜边与一条直角边之比为13:5，则这个三角

形三边长分别是（ ）

A

．5

、4

、3 B

．13

、12

、5 C

．10

、8

、6 D

．26

、24

、10 园老师吐血刷题200道整理

天行健，君子以自强不息！ 【答案】D

8. 在RtABC△中，90C，周长为60

，斜边与一条直角边之比为13:5，则这个三角

形三边长分别是（ ）

A

．5

、4

、3 B

．13

、12

、5 C

．10

、8

、6 D

．26

、24

、10

【答案】D

9. 如果直角三角形的三边长为10、6、x

，则最短边上的高为____________．

【答案】8或10

类似的题目还有很多，你们一定要耐心整理哦！

接下来是我们的重头戏，也是最最最重要的部分了！

第四层境界：总结题型

毕氏树模型

1) 如图，以Rt△ABC的三边分别向外作三个正方形ACDE、BCNM、ABGH，其面积分

别为S

1，S

2，S

3，设Rt△ABC的两条直角边长为a，b，斜边长为c，请证明：

S

3=S

1+S

2．

证明：∵ 在Rt△ABC中，AC2

+BC2

=AB2

，

又由正方形面积公式得S

1=AC2

，S

2=BC2

，S

3=AB2

，

∴ S

3=S

1+S

2．

2) 如图，以Rt△ ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．

解：半圆D的面积等于半圆E的面积与半圆F的面积之和．

证明：在直角△ ABC中，AC2

=BC2

+AB2

， 园老师吐血刷题200道整理

天行健，君子以自强不息！

∵

半圆

D

的面积为

π•

，半圆

E

的面积为

π•

，半圆

F

的面积

为π•， ∴ 半圆E与半圆F面积之和为π•+π•=π•=半圆

D的面积

故半圆D的面积等于半圆E的面积与半圆F的面积之和．

3) 如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰

直角三角形的面积之间的关系．

解：∵S

△ABE，S

△BCF和S

△ACH分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC

为斜边向外作的等腰直角三角形的面积，

∴ S

△ ABE=AB2

，S

△ BCF=BC2

，S

△ ACH=AC2

，

∵ AC2

+BC2

=AB2

，

∴ S

△ ABE=S

△ BCF+S

△ ACH．

4) 在直角△ABC中，∠C=90°．如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形（如

图），那么面积S

1，S

2，S

3之间有什么关系？ 园老师吐血刷题200道整理

天行健，君子以自强不息！

解：在直角

△

ABC

中，

∠

C=90°， ∴ AB2=AC2

+BC2

，

根据正三角形面积计算S

3=，

S

1=，S

2=，

∴ S

1+S

2=（BC2

+AC2

）=AB2

=S

3，

故S

1+S

2=S

3．

答：S

1，S

2，S

3之间关系为S

1+S

2=S

3．

10. 如图，已知直角△ABC

的两直角边分别为6

，8

，分别以其三边为直径作半圆，求图中

阴影部分的面积．

解：∵直角△ABC的两直角边分别为6，8，

∴AB==10，

∵以BC为直径的半圆的面积是 π=8π，

以AC为直径的半圆的面积是 π=，

以AB为直径的面积是 ×π=，

△ABC的面积是 AC•BC=24， 园老师吐血刷题200道整理

天行健，君子以自强不息！ ∴阴影部分的面积是8π++24﹣=24，

梯子模型

11. 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，ACBC，当梯子的顶端A沿AC方向

下滑x

米时，梯子B沿CB方向滑动y

米，则x

与y

的大小关系是（ ）

A.xy

B.xy

C.xy

D.

不确定

【答案】选B

，设ACBCa

米，由勾股定理得2222

()()aaaxay，

化简得22

2()0axyxyxy，.

折叠模型&折叠模型（俗话说，折叠必出全等，折叠模型这里考察的知识点通常就

是雷劈模型的变形，同学们要注意理解哦！）

12. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下

端拉开5m

后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）

A

．8m B

．10m C

．12m D

．14m

解：由题意得，AB为旗杆的高，1ACAB，5BC米．

已知ABBC

，根据勾股定理得

2

22

125ABACBCAB

解得12AB米

13. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边6cmAC，8cmBC，现将直角边AC沿直

线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）

A

．2cm B

．3cm C

．4cm

D

．5cm

【答案】

B A

B

C